通用版2020版高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理新人教A版20190313365.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 22 讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换第 22 讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 S2:sin 2= . (2)公式 C2:cos 2= = = . (3)公式 T2:tan 2= . 2.常用的部分三角公式 (1)1-cos = ,1+cos = .(升幂公式) (2)1±sin = .(升幂公式) (3)sin2= ,cos2= , tan2= .(降幂公式) (4)sin =,cos = ,tan = .(万能公式) 2tan 2 1 + tan2 2 (5)asin +bcos = ,其中 sin =,cos =.(辅助 b a2+ b2 a a2+ b2 角公式) 3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如 1=sin2+cos2=tan. 4 (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 常用结论 半角公式: sin =±,cos =±,tan =±=. 2 1 - cos 2 2 1 + cos 2 2 1 - cos 1 + cos 1 - cos sin sin 1 + cos 题组一 常识题 1. 教材改编 sin 15°-cos 15°的值是 . 3 2. 教材改编 已知f(x)=sin2x-(xR),则f(x)的最小正周期是 . 1 2 3. 教材改编 已知 cos(+)=,cos(-)=,则 tan tan 的值为 . 1 3 1 5 4. 教材改编 已知 sin =,为第二象限角,则 sin 2的值为 . 3 5 题组二 常错题 索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asin +bcos =sin(+)中值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求a2+ b2 解目标的符号确定). 5.已知 sin=,则 cos= . ( 6 - ) 1 3 ( 3 - 2) 6.已知,均为锐角,且 tan =7,tan =,则+= . 4 3 7.sin -cos =sin(+)中的= . 2 8.已知 sin 2=,2,则 sin -cos = . 3 4 (0, 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 探究点一 三角函数式的化简 例 1 2018·东莞考前冲刺 化简:cos2x- +sin2x+ =( ) 12 12 A.1+cos 2xB.1+sin 2x 1 2 1 2 C.1+cos 2xD.1+sin 2x (2)化简:tan +=( ) 1 tan( 4 + 2) A.cos B.sin C.D. 1 cos 1 sin 总结反思 (1)化简标准:函数种类尽可能少、 次数尽可能低、 项数尽可能少、 尽量不含根式、 尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 +=( )1 + sin61 - sin6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.2sin 3B.-2sin 3 C.2cos 3D.-2cos 3 探究点二 三角函数式的求值 角度 1 给值求值 例 2 (1)已知 sin(-)cos -cos(-)sin =,则 cos 2的值为( ) 3 5 A.B. 7 25 18 25 C.-D.- 7 25 18 25 (2) 2018·厦门外国语学校月考 已知 tan +=4,则 cos2=( ) 1 tan ( + 4) A.B. 1 5 1 4 C.D. 1 3 1 2 总结反思 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问 题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1) 2018·菏泽模拟 已知,sin=,则 tan(+2)=( 3 2 ,2)( 2 + ) 1 3 ( ) A.B.± 42 7 22 5 C.±D. 42 7 22 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2) 2018·广州七校联考 若 sin-=,则 cos的值为( ) 6 1 3 ( 2 3 + 2) A.-B.- 1 3 7 9 C.D. 1 3 7 9 角度 2 给角求值 例 3 2019·重庆南州中学月考 -tan 20°=( ) 2cos10° sin70° A.1 B. 3 - 1 2 C.D.3 3 2 总结反思 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊 角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=( )3 A.1 B.2 C.-1D.-2 角度 3 给值求角 例 4 若 sin 2=,sin(-)=,且,则+的值是 5 5 10 10 4, , 3 2 ( ) A.B. 7 4 9 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C.或D.或 5 4 7 4 5 4 9 4 总结反思 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则: 已知正切函数值,则选正切函数. 已知正、 余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是 0, ,则选正、 余弦皆可;若角的 2 范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围为-, ,则选正弦较好. 2 2 变式题 已知,(0,),且 tan(-)=,tan =-,则 2-的值为 . 1 2 1 7 探究点三 三角恒等变换的综合应用 例 5 已知函数f(x)=4cos x·sin+a的最大值为 3.(x - 6) (1)求a的值及f(x)的单调递减区间; (2)若,f=,求 cos 的值.(0, 2) ( 2) 11 5 总结反思 (1)求三角函数解析式y=Asin(x+)(A0,0)时要注意的取值范围.(2) 根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题 设函数f(x)=sin x+cos x+1.3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求函数f(x)的值域和单调递增区间; (2)当f()=,且0,00, 2tan 1 - tan2 2 × 1 3 1 -( 1 3) 2 3 4 0cos 30°cos 32°, cba.故选 C. 例 4 配合例 4 使用 已知,均为锐角,且 sin =,cos =,则-的值 5 5 10 10 为 . 答案 - 4 解析 ,均为锐角,sin =,cos =, 5 5 10 10 cos =,sin =,1 - sin2 25 5 1 - cos2 310 10 sin(-)=sin cos -cos sin =×-×=-. 5 5 10 10 25 5 310 10 2 2 又- -,-=- . 2 2 4