（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：8＋6分项练4平面向量与数学文化理.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 86 分项练 4 平面向量与数学文化86 分项练 4 平面向量与数学文化 1 (2018·贵阳模拟)如图， 在ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点， 若a a，b b，AB AC 则等于( )AO A.a ab bB.a ab b 1 2 1 2 1 2 1 4 C.a ab bD.a ab b 1 4 1 2 1 4 1 4 答案 B 解析 在ABC中，BE是AC边上的中线， ，AE 1 2AC O是BE边的中点， ()，AO 1 2 AB AE ，AO 1 2AB 1 4AC a a，b b，AB AC a ab b.AO 1 2 1 4 2若两个非零向量a a，b b满足|a a|1，|b b|2，|2a ab b|2，则a a与b b的夹角为( )3 A. B. C. D. 6 4 3 2 3 答案 C 解析 设a a，b b的夹角为，0， 则由|a a|1，|b b|2，|2a ab b|2，3 得(2a ab b)212， 即(2a a)24a a·b bb b244a a·b b412， 所以a a·b b1，所以 cos ，所以. 1 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3(2018·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC2，则·AD 等于( )AE A. B. C. D. 4 9 8 9 26 9 26 3 答案 C 解析 如图， |2， ， 60°，AB AC AB AC D，E是边BC的两个三等分点， ···AD AE (AB 1 3BC ) (AC 1 3CB ) ( 2 3AB 1 3AC ) ( 1 3AB 2 3AC ) |2· |2 ×4 ×2×2× ×4. 2 9 AB 5 9AB AC 2 9 AC 2 9 5 9 1 2 2 9 26 9 4(2018·南昌模拟)在周易中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻有 放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238(种)组合方法，这便是系辞传所说“太 极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放 回地取阳爻和阴爻两次有四种情况， 有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况 所谓的 “算卦” ， 就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解 析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是( ) A. B. C. D. 1 7 5 16 9 16 5 8 答案 B 解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻， 基本事件的总数为n2664， 这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为mC 20， 3 6 所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P . m n 20 64 5 16 5(2018·聊城模拟)在ABC中，BC边上的中线AD的长为 2，点P是ABC所在平面上的任 意一点，则··的最小值为( )PA PB PA PC A1 B2 C2 D1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2) 设点P的坐标为(x，y)， 则，(x，y)，PA (x，2y)PO 故···2·2PA PB PA PC PA (PB PC ) PA PO (x2y22y) 222，当且仅当x0，y1 时等号成立x2(y1)2 所以··的最小值为2.PA PB PA PC 6(2018·大连模拟)关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的 蒲丰试验受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计 的值，试验步骤如下 ： 先 请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(00 且Error! x2y212 2xy 即x2y21 且Error! 面积为 1， 4 因为统计能与 1 构成锐角三角形三边的数对(x，y)的个数m113， 所以1，所以 . 113 500 4 387 125 7 (2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有 周髀算经 、 九章算术 、 孙子算经 、 五 曹算经 、 夏侯阳算经 、 孙丘建算经 、 海岛算经 、 五经算术 、 缀术 、 缉古算机 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 等 10 部算书，被称为“算经十书” 某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名 的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲 ： “乙 比丁少” ；乙：“甲比丙多” ；丙：“我比丁多” ；丁：“丙比乙多” ，有趣的是，他们说的这 些话中， 只有一个人说的是真实的， 而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四 个人对这十部书阅读本数各不相同) 甲、 乙、 丙、 丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A乙甲丙丁 B甲丁乙丙 C丙甲丁乙 D甲丙乙丁 答案 D 解析 由题意可列表格如下： 甲乙丙丁 甲说丁乙 乙说甲丙 丙说丙丁 丁说丙乙 对于选项 A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对 ； 对于选项 B，丙，丁说的都对，也不符 合只有一个人对 ； 对于选项 C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合 ； 对于选项 D，甲说的对， 也正好是最少的，符合，选 D. 8 已知在三角形ABC中，AB0 得，t的最大值为 3， 故判断框应填入的是t4？， 即m4. 13(2018·湘潭模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 ： “今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体 (记为ABCDA1B1C1D1)的粮仓，宽 3 丈(即AD3 丈)，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛，问该粮 仓的高是多少？”已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，一丈为 10 尺，则下列判断正确的是 _(填写所有正确结论的序号) 该粮仓的高是 2 丈； 异面直线AD与BC1所成角的正弦值为； 3 13 13 长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为 平方丈 133 4 答案 解析 由题意，因为 10 000×2.730×45×AA1，解得AA120(尺)2(丈)，故正确； 异面直线AD与BC1所成角为CBC1， 则 sinCBC1，故错误， 2 2232 2 13 13 此长方体的长、宽、高分别为 4.5 丈、3 丈、2 丈， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故其外接球的表面积为 4 2 (平方丈)， ( 4.523222 2) 133 4 所以是正确的 14 (2018·咸阳模拟)已知圆的半径为 1，A，B，C，D为该圆上四个点， 且， 则ABCAB AC AD 面积的最大值为_ 答案 1 解析 如图所示，由知，四边形ABDC为平行四边形，AB AC AD 又A，B，C，D 四点共圆， 四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， ABC的面积SAB·AC · 1 2 1 2 AB2AC2 2 AD2， 1 4 当AD是圆的直径时，ABC的面积最大 当ABAC 时， ABC的面积取得最大值 ×41. 1 4