（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练（三）函数与导数（1）理.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (三)函数与导数(1)(三)函数与导数(1) 1(2018·江南十校模拟)设f(x)xln xax2(3a1)x. 3 2 (1)若g(x)f(x)在1,2上单调，求a的取值范围； (2)已知f(x)在x1 处取得极小值，求a的取值范围 解 (1)由f(x)ln x3ax3a， 即g(x)ln x3ax3a，x(0，)， g(x) 3a， 1 x g(x)在1,2上单调递增， 3a0 对x1,2恒成立， 1 x 即a对x1,2恒成立， 1 3x 得a ； 1 6 g(x)在1,2上单调递减， 3a0 对x1,2恒成立， 1 x 即a对x1,2恒成立， 1 3x 得a ， 1 3 由可得a的取值范围为. (， 1 6 1 3，) (2)由(1)知， 当a0 时，f(x)在(0，)上单调递增， x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增， f(x)在x1 处取得极小值，符合题意； 当 01， 1 3 1 3a 又f(x)在上单调递增， (0， 1 3a) x(0,1)时，f(x)0， (1， 1 3a) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增， (1， 1 3a) f(x)在x1 处取得极小值，符合题意； 当a 时，1，f(x)在(0,1)上单调递增， 1 3 1 3a 在(1，)上单调递减， x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意； 当a 时，00，f(x)单调递增， ( 1 3a，1) 当x(1，)时，f(x)0)， a x axex x 当a0 时，f(x)0 时，令f(x)0 得axex0，即xexa， 又yxex在(0，)上是增函数， 且当x时，xex， 所以xexa在(0，)上存在一解，不妨设为x0， 所以函数yf(x)在(0，x0)上单调递增， 在(x0，)上单调递减， 所以函数yf(x)有一个极大值点，无极小值点 综上，当a0 时，无极值点； 当a0 时，函数yf(x)有一个极大值点，无极小值点 (2)因为aN N* 0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(1)知，f(x)有极大值f(x0)， 且x0满足x0 0 exa， 可知f(x)maxf(x0)aln x0 0 ex， 要使f(x)0，所以 ln x00， 1 1.7 1 1.8 且yln x0在(0，)上是增函数 1 x0 设m为yln x0的零点， 1 x0 则m(1.7,1.8)，可知 00，a0，m(x)单调递增； 当x(e，)时，m(x)1 时，h(x)f(x)g(x)0 恒成立， 即 ln xex2ax2ae0 恒成立， 令t(x)ln xex2ax2ae， t(x) ex2a， 1 x 设(x) ex2a，(x)ex， 1 x 1 x2 x1，exe，0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (x)在(1，)上单调递增， 即t(x)在(1，)上单调递增， t(x)t(1)1e2a， 当a且a1 时，t(x)0， 1e 2 t(x)ln xex2ax2ae 在(1，)上单调递增， t(x)t(1)0 成立， 当a时， 1e 2 t(1)1e2a0， 1 ln 2a 存在x0(1，ln 2a)，满足t(x0)0. t(x)在(1，)上单调递增， 当x(1，x0)时，t(x)0 不恒成立 实数a的取值范围为(，1). (1， 1e 2 4(2018·福建省百校模拟)已知函数f(x)x1aex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x24. (1)解 f(x)1aex， 当a0 时，f(x)0，则f(x)在 R R 上单调递增 当a0，得xln， ( 1 a) 则f(x)的单调递减区间为. (ln( 1 a)，) (2)证明 由f(x)0 得a， 1x ex 设g(x)，则g(x). 1x ex x2 ex 由g(x)0，得x2. 故g(x)ming(2)1 时，g(x)0， 不妨设x14 等价于x24x1， 4x12 且g(x)在(2，)上单调递增， 要证x1x24，只需证g(x2)g(4x1)， g(x1)g(x2)a， 只需证g(x1)g(4x1)，即 11 11 4 13 ee xx xx ， 即证 1 24 e x (x13)x11h(2)0， h(x)在(1,2)上单调递增， h(x)4 得证 5(2018·长沙模拟)设函数f(x)xln(x)1x2 (1)探究函数f(x)的单调性； (2)当x0 时，恒有f(x)ax3，试求a的取值范围； (3)令an 6nln (nN N*)，试证明：a1a2anax3； 0， 16a 9a) ()当a0 时，h(x)0，同理可知f(x)ax3， 综上，a的取值范围是. 1 6，) (3)证明 在(2)中，取a ， 1 9 则x时，xln(x)x3， 0， 3 3) 1x2 1 9 即x3ln(x)0，都有f(x)f0. b x( 1 x) (1)用含a的表达式表示b； (2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x10； ( a2 2) (3)在(2)的条件下，判断yf(x)零点的个数，并说明理由 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)根据题意，令x1， 可得f(1)f(1)0， 所以f(1)ab0， 经验证，可得当ab时，对任意x0，都有f(x)f0，所以ba. ( 1 x) (2)由(1)可知，f(x)ln xax ，且x0， a x 所以f(x) a， 1 x a x2 ax2xa x2 令g(x)ax2xa，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则yg(x)有两个不相等的正实数 根， 所以Error!或Error! 解得 0h2ln 24ln 23ln e0. ( 1 2) 1 16 63 16 即当 00. 1 2( a2 2) (3)因为f(x) a， 1 x a x2 ax2xa x2 g(x)ax2xa. 令f(x)0，得x1，x2. 1 14a2 2a 1 14a2 2a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(2)知，当 00，g(0)a1. 又x1x21，可得x10 且 01， 1 x0 又ff(x0)0，f(1)0， ( 1 x0) 所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，. 1 x0 综上所述，yf(x)恰有三个不同的零点