2020版数学新优化浙江大一轮试题：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点规范练25 Word版含答案.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 25 平面向量的应用平面向量的应用 考点规范练第考点规范练第 32 页页 基础巩固组基础巩固组 1.已知 a=(3,4),b=(sin ,cos ),若 ab,则=( ) sin + cos sin - cos A.7BC.-D.-7. 1 7 1 7 答案 D 解析因为 ab,所以 3cos -4sin =0,即 tan = ,所以=-7.故选 D. 3 4 sin + cos sin - cos = tan + 1 tan - 1 = 3 4+ 1 3 4 - 1 2.已知|a|=2|b|,|b|0,且关于 x 的方程 x2+|a|x-a·b=0有两个相等的实数根,则向量 a 与 b 的夹角是 ( ) A.-B.-CD 6 3 . 3 .2 3 答案 D 解析设向量 a 与 b的夹角为 .由已知可得 =|a|2+4a·b=0,即 4|b|2+4×2|b|2cos =0,cos =- 又 1 2. 0, = 2 3 . 3.在ABC中,已知向量满足=0 且,则ABC 为( )与 ( | | + | |) · | | · | | = 1 2 A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 D 解析设BAC 的角平分线为 AD,则=由已知得 ADBC,ABC 为等腰三角形.又 | | + | | . | | ,即 cos A= ,A=60°,ABC 为等边三角形.故选 D.· | | = 1 2 1 2 4. 在ABC中,AB=8,AC=6,AD 垂直 BC 于点 D,E,F 分别为 AB,AC 的中点,若=6,则 BC=( )· A.2B.10 13 C.2D.14 37 答案 A 解析令 BC=a,则由条件可知,)=)=6.· = 1 2( + · 1 2( + 1 4(· + 2 )=24,又在 RtADC,RtADB 中有=64,()2+=36,2 ( 2+ 2 2 联立解得=52.a=2故选 A.2 13. 5.已知三个向量 m=,n=,p=共线,其中 a,b,c,A,B,C 分别是ABC 的三条边及 (,cos 2) (,cos 2) (,cos 2) 相对三个角,则ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 答案 B 解析m=与 n=共线,acos =bcos 由正弦定理,得 sin Acos =sin Bcos (,cos 2) (,cos 2) 2 2. 2 2. sin A=2sin cos ,sin B=2sin cos , 2 2 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2sin cos cos =2sin cos cos , 2 2 2 2 2 2 化简,得 sin =sin 2 2. 又 00,即 a=3,即点 A 的横坐标为 3. 能力提升组能力提升组 9.已知函数 f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图 象交于 D,E两点,则()·()的值为( ) + A.-1B.- 1 2 CD.2. 1 2 答案 D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 f(x)=sin(x+)的周期为 2.|=1.D,E 关于点 C对称,C 是线段 DE 的中点,()·( + )=2()=2=2.故选 D. · + 2 10.已知ABD 是等边三角形,且,|=,那么四边形 ABCD 的面积为( ) + 1 2 = 3 ABC.3D. 3 2 .3 2 33 .9 2 3 答案 B 解析如图所示, = = 1 2 , 2=( 1 2 - ) 2 即 3= 1 4 2 + 2 ·. |=|,|2-|cos 60°=3. 5 4| |=2.又, = = 1 2 |=|=1.|2+|2=|2.BCCD. 1 2| S四边形 ABCD=SABD+SBCD=22×sin 60°+1,故选 B. 1 2 × 1 2 ×× 3= 3 2 3 11.设 P 为ABC 所在平面上一点,且满足 3+4=m(m0).若ABP 的面积为 8,则ABC 的面积 为( ) A.7B.8C.14D.16 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析由 3+4=m,设,(如图所示)于是可得点 D 在 得 3 7 + 4 7 = 7 = 3 7 + 4 7 = 7 边 AC上,且 3=4,则,由,所以 SABP=SABD,所以 SABD=8.又因为 | |A| = 4 7 ,= | | 所以,则 SABC=14. 8 = 4 7 12.在ABC中,D 是 BC 中点,AD=m,BC=n,则等于( )· A.m2- n2B.m2+ n2 1 4 1 4 C m2+n2D m2-n2. 1 4 .1 4 答案 A 解析由已知 BD=DC=-=()·()=()·()= n 2, ,· + + + 2 2 =m2-=m2- n2.故选 A. ( 2) 2 1 4 13.设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与 C 交于 M,N 两点,则=( ) 2 3 · A.5B.6C.7D.8 答案 D 解析根据题意,过点(-2,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x+2),与抛物线方程联立消元整 2 3 2 3 = 2 3( + 2), 2= 4, 理得,y2-6y+8=0,解得 M(1,2),N(4,4),又 F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),则=0×3+2×4=8,故选 D.· 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 14.已知ABC 的面积是 4,BAC=120°,点 P 满足=3,过点 P 作边 AB,AC 所在直线的垂线,垂足 分别是 M,N.则= . · 答案 33 8 解析不妨令ABC 为等腰三角形,BAC=120°, B=C=30°,b=c.SABC= bcsin A=4,b2=c2=由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=16 1 2 16 3. 48 3 3. =3, |=|= ,|=|= 1 4| 4 3 4| 3 4 . 过点 P 作边 AB,AC 所在直线的垂线,垂足分别是 M,N, 故|=|·sin B=,|=|sin C= 3 8 8. MPN=180°-A=60°, =|·|cos 60°=故答案为 · 3 8 · 8· 1 2 = 32 128 = 33 8 . 33 8 . 15.在ABCD 中,BAD=60°,AB=1,AD=,P 为ABCD 内一点,且 AP=,若=+(,R), 3 3 2 则 +的最大值为 . 3 答案 1 解析=+,|2=(+)2, 即=2|2+2|2+2 ( 3 2) 2 ·. 又 AB=1,AD=,BAD=60°, 3 =|cos 60°= · 3 2 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =2+32+ 3 4 3 . (+)2= 3 3 4 + 3 3 4 +( + 3 2 ) 2 . (+)21. 3 +的最大值为 1,当且仅当 = ,=时取等号. 3 1 2 3 6 16.(2017浙江高考)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值 是 . 答案 4 2 5 解析设向量 a,b的夹角为 , 由余弦定理有:|a-b|=,|a+b|=12+ 22- 2 × 1 × 2 × cos = 5 - 4cos ,12+ 22- 2 × 1 × 2 × cos( - ) = 5 + 4cos 则|a+b|+|a-b|=, 5 + 4cos+5 - 4cos 令 y=, 5 + 4cos+5 - 4cos 则 y2=10+216,20,25 - 16cos2 据此可得:(|a+b|+|a-b|)max=2,(|a+b|+|a-b|)min=4,即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值 20516 是 2 5. 17.已知 a=(2cos x,2sin x),b=,函数 f(x)=cos. (sin(x - 6),cos( - 6) (1)求函数 f(x)零点; (2)若锐角三角形 ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 f(A)=1,求的取值范围. + 解(1)由条件可知,a·b=2cos x·sin+2sin x·cos=2sin, ( - 6) ( - 6) ( 2 - 6) f(x)=cos=sin · |·| = 2sin( 2 - 6) 2 ( 2 - 6). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 函数 f(x)零点满足 sin=0,由 2x- =k,kZ,解得 x=,kZ. ( 2 - 6) 6 2 + 12 (2)由正弦定理得,由(1)f(x)=sin,又 f(A)=1,即 sin=1,2A- =2k+ + = sin + sin sin ( 2 - 6) ( 2 - 6) 6 ,kZ,又 A(0,),A= , 2 3 A+B+C=,C=-B.代入上式化简得, 2 3 + = sin + sin(2 3 - ) sin = 3 2sin + 3 2cos sin = 3sin( + 6) sin =2sin,又在锐角三角形 ABC 中,有 0B ,0C=-B ,BB+,则有sin ( + 6) 2 2 3 2 6 2, 3 6 2 3 3 2 1,即2. ( + 6) 3 + 18.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQl,垂足为 Q,且( + 1 2)· =0. 1 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求的最值.· 解(1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 由=0, ( + 1 2)·( - 1 2) 得|2-|2=0,即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 1 4| 1 4 化简得=1. 2 16 + 2 12 所以点 P 在椭圆上,其方程为=1. 2 16 + 2 12 (2)因=()·()=(-)·()=-1,· 2 2= 2 P 是椭圆=1上的任一点,设 P(x0,y0), 2 16 + 2 12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则有=1,即=16-,又 N(0,1), 2 0 16 + 2 0 12 2 0 42 0 3 所以+(y0-1)2=-2y0+17=- (y0+3)2+20.因 y0-2,2,所以当 y0=-3 时,取得2= 2 0 1 3 2 0 1 3 33 2 最大值 20,故的最大值 19.· 当 y0=2时,取得最小值 13-4(此时 x0=0), 3 2 3 故的最小值为 12-4· 3.