浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第18练圆锥曲线的定义方程及性质试.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 18 练 圆锥曲线的定义、方程及性质第 18 练 圆锥曲线的定义、方程及性质 明晰考情 1.命题角度 ： 圆锥曲线是高考的热点， 每年必考， 小题中考查圆锥曲线的定义、 方程、离心率等.2.题目难度：中档难度或偏难 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 方法技巧 (1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化， 抛物线上的点到焦点的 距离等于到准线的距离 (2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法 1已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一 个焦点F的轨迹方程是( ) Ay21Bx21 x2 48 y2 48 Cy21(y1) Dx21(x1) x2 48 y2 48 答案 C 解析 由两点间距离公式，可得|AC|13，|BC|15，|AB|14，因为A，B都在椭圆上， 所以|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|20，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的 x2 a2 y2 b2 2 直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为( ) A.1B.1C.1D.1 x2 4 y2 4 x2 8 y2 8 x2 4 y2 8 x2 8 y2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 由e知ab，且ca.双曲线渐近线方程为y±x.22 又kPF 1，c4，则a2b28. 40 0c 4 c c2 2 故双曲线方程为1. x2 8 y2 8 3 已知椭圆1 的两个焦点是F1，F2， 点P在该椭圆上， 若|PF1|PF2|2， 则PF1F2 x2 4 y2 2 的面积是_ 答案 2 解析 由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，2 所以|PF1|3，|PF2|1. 又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F12 为直角， 所以 1 2 PF F S |F1F2|PF2| ×2×1. 1 2 1 2 22 4已知抛物线yx2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|24，则线段AB的中点P离x轴 1 16 最近时点P的纵坐标为_ 答案 8 解析 由题意得抛物线的标准方程为x216y， 焦点F(0,4)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AB|AF|BF|(y14)(y24)y1y28， y1y216，则线段AB的中点P的纵坐标y8， y1y2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为 8. 考点二 圆锥曲线的几何性质 要点重组 在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ； c a 1(b a) 2 在双曲线中：c2a2b2，离心率为e . c a 1(b a) 2 5(2018·全国)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为( ) x2 a2 y2 b2 3 Ay±xBy±x23 Cy±xDy±x 2 2 3 2 答案 A 解析 双曲线1 的渐近线方程为bx±ay0. x2 a2 y2 b2 又离心率 ， c a a2b2 a 3 a2b23a2，ba(a0，b0)2 渐近线方程为ax±ay0，即y±x.22 故选 A. 6(2018·全国)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标 x2 a2 y2 b2 原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为( )6 A.B2C.D.532 答案 C 解析 如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知， 四边形PF1PF2为平行四边形，且PPF2是直角三角形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a. 又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，6 所以|F2P|ab，2 所以ca，所以e .a2b23 c a 3 7 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2 x2 a2 y2 b2 2py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_ 答案 y±x 2 2 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得a2y22pb2ya2b20， y1y2.又|AF|BF|4|OF|， 2pb2 a2 y1 y2 4× ，即y1y2p， p 2 p 2 p 2 p，即 ， ， 2pb2 a2 b2 a2 1 2 b a 2 2 双曲线的渐近线方程为y±x. 2 2 8已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A x2 a2 y2 b2 与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60°，则C的离心率为_ 答案 2 3 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0， b a 点A到l的距离d. ab a2b2 又MAN60°，|MA|NA|b， MAN为等边三角形， d|MA|b，即b，a23b2， 3 2 3 2 ab a2b2 3 2 e . c a a2b2 a2 2 3 3 考点三 圆锥曲线的综合问题 方法技巧 (1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法 (2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明 9 如图， 点F1，F2是椭圆C1的左、 右焦点， 椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1PF2， 椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则( ) AeBe 2 2 1e4 1 1e2 1 2 2 2e4 1 1e2 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 CeDe 2 2 1e4 1 2e2 11 2 2 e4 1 2e2 11 答案 D 解析 设椭圆C1的方程为1， x2 a2 y2 b2 点P的坐标为(x0，y0)，由图知x00，y00， 因为点P在椭圆C1上，所以|PF1|PF2|2a. 又因为PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|24c2， 在 RtPF1F2中，易得|PF1|·|PF2|2c·y0， 联立，得y0， b2 c 代入椭圆方程，得x0. a c c2b2 因为点P在双曲线的渐近线上， 所以双曲线的渐近线的斜率k， y0 x0 b2 a c 2b2 a2c2 a2c2a2 1e2 1 2e2 11 又在双曲线中易得其渐近线的斜率k，e2 21 所以， 1e2 1 2e2 11 e2 21 化简得e，故选 D. 2 2 e4 1 2e2 11 10设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上 的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( ) A.B. 3 3 2 3 C.D1 2 2 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图， 由题意可知F，设P点坐标为，显然， ( p 2，0)( y2 0 2p，y 0) 当y00 时，kOM0. 要求kOM的最大值，不妨设y00， 则OM OF FM ()OF 1 3FP OF 1 3 OP OF 1 3OP 2 3OF ， ( y2 0 6p p 3， y0 3) kOM， y0 3 y2 0 6p p 3 2 y0 p 2p y0 2 2 2 2 2 当且仅当y2p2时等号成立故选 C. 2 0 11过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长 分别为m，n，则_. mn mn 答案 1 4a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为ykx，与yax2联立，消去y得ax2kx 1 4a 0， 1 4a 设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1x2 ，x1x2， 2 12 2 k a 1 4a2 xx，max，nax，mn·，mn，. 2 12 2 k2 a2 1 2a2 2 1 1 4a 2 2 1 4a 1 4a k21 a k21 a mn mn 1 4a 12已知椭圆1(ab0)的短轴长为 2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆 x2 a2 y2 b2 的左、右焦点，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取 2 3 2 1 |PF1| 1 |PF2| 值范围为_ 答案 1，4 解析 由已知得 2b2，故b1， F1AB的面积为， 2 3 2 (ac)b， 1 2 2 3 2 ac2，3 又a2c2(ac)(ac)b21， a2，c，3 1 |PF1| 1 |PF2| |PF1|PF2| |PF1|PF2| ， 2a |PF1|4|PF1 | 4 |PF1|24|PF1| 又 2|PF1|2，33 1|PF1|24|PF1|4， 14， 1 |PF1| 1 |PF2| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即的取值范围为1，4. 1 |PF1| 1 |PF2| 1若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支 x2 a2 上的任意一点，则·的取值范围为( )OP FP A32，) B32，)33 C.D. 7 4，) 7 4，) 答案 B 解析 由题意，得 22a21，即a，3 设P(x，y)，x，(x2，y)，3FP 则·(x2)xy2OP FP x22x1 2 ， x2 3 4 3(x 3 4) 7 4 因为x，所以·的取值范围为32，)3OP FP 3 2若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同 侧顶点的距离为，则椭圆的方程为_3 答案 1 或1 x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 解析 由题意，得Error!所以Error! 所以b2a2c29. 所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为1； x2 12 y2 9 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为1. x2 9 y2 12 故椭圆的方程为1 或1. x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 3已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与AP BP x2 a2 y2 b2 动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_ 答案 (1,2) 解析 设P(x，y)，由题设条件， 得动点P的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0， 即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆 又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x，即bx±ay0， x2 a2 y2 b2 b a 由题意，可得1，即1， 2a a2b2 2a c 所以e 1，故 10，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1 x2 a2 y2 b2 5 2 x2 12 y2 3 有公共焦点，则C的方程为( ) A.1B.1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C.1D.1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 答案 B 解析 由yx，可得 . 5 2 b a 5 2 由椭圆1 的焦点为(3,0)，(3,0)， x2 12 y2 3 可得a2b29. 由可得a24，b25. 所以C的方程为1. x2 4 y2 5 故选 B. 3过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标 为 3，|PQ|10，则抛物线的方程是( ) Ay24xBy22xCy28xDy26x 答案 C 解析 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由抛物线的定义可知， |PQ|PF|QF|x1 x2 p 2 p 2 (x1x2)p， 线段PQ中点的横坐标为 3， 又|PQ|10， 106p，可得p4， 抛物线的方程为y28x. 4 已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1， x2 m2 x2 n2 C2的离心率，则( ) Amn且e1e21Bmn且e1e21 Cmn且e1e21Dmn且e1e21 答案 A 解析 由题意可得m21n21， 即m2n22， m0，n0，故mn. 又e·e·· 2 12 2 m21 m2 n21 n2 n21 n22 n21 n2 11， n42n21 n42n2 1 n42n2 e1e21. 5已知双曲线：1(a0，b0)的一条渐近线为l，圆C：(xa)2y28 与l交 x2 a2 y2 b2 于A，B两点，若ABC是等腰直角三角形，且5(其中O为坐标原点)，则双曲线OB OA 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的离心率为( ) A.B.C.D. 2 13 3 2 13 5 13 5 13 3 答案 D 解析 双曲线的渐近线方程为yx，圆(xa)2y28 的圆心为(a,0)，半径r2，由 b a 2 于ACB，由勾股定理得|AB|4，故|OA| |AB|1.在OAC，OBC 2 2 2 22 22 1 4 中，由余弦定理得 cosBOC，解得a213.由圆心到直线yx的距 a218 2a 52a28 10a b a 离为 2，得2，结合c2a2b2，解得c，故离心率为 . ab c 13 3 c a 13 3 13 13 3 6(2018·天津)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴 x2 a2 y2 b2 的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2， 且d1d26，则双曲线的方程为( ) A.1B.1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C.1D.1 x2 3 y2 9 x2 9 y2 3 答案 C 解析 如图，不妨设A在B的上方， 则A，B. (c， b2 a)(c， b2 a) 其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3. bcb2bcb2 a2b2 2bc c 又由e 2，知a2b24a2，a. c a 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 双曲线的方程为1. x2 3 y2 9 故选 C. 7已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右 x2 a2 y2 b2 顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 3 4 答案 A 解析 设M(c，m)(m0)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M (0， am ac)(0， am 2 ac) 三点共线， 所以，a3c，所以e . am 2 ac am ac 1 3 8 设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、 右焦点， 双曲线上存在一点P使得|PF1| x2 a2 y2 b2 |PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，则该双曲线的离心率为( ) 9 4 A. B. C. D3 4 3 5 3 9 4 答案 B 解析 不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2. 根据双曲线的定义，得r1r22a， 又r1r23b，故r1，r2. 3b2a 2 3b2a 2 又r1·r2ab，所以·ab，解得 (负值舍去)，故e 9 4 3b2a 2 3b2a 2 9 4 b a 4 3 c a a2b2 a2 ，故选 B. ( b a) 21 ( 4 3) 21 5 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9设F1，F2分别是椭圆1 的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)， x2 25 y2 16 则|PM|PF1|的最大值为_ 答案 15 解析 因为在椭圆1 中，a5，b4，所以c3，得焦点为F1(3,0)， x2 25 y2 16 F2(3,0)根据椭圆的定义，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|) 因为|PM|PF2|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立， 此时|PM|PF1|的最大值为 10515. 10已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN 的中点，则|FN|_. 答案 6 解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的 垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF. 由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2. 点M为FN的中点，PMOF， |MP| |FO|1. 1 2 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 11已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为 5，双曲线 x2 a2 y2 9 1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为_ 答案 3 解析 由题意知 1 5，p8.M(1,4)， p 2 由于双曲线的左顶点A(a，0)， 且直线AM平行于双曲线的一条渐近线， ，则a3. 4 1a 3 a 12已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上异于长轴 x2 a2 y2 b2 端点的任意一点，若M是线段PF1上一点，且满足2，·0，则椭圆C的离心MF1 PM MF2 OP 率的取值范围为_ 答案 (1 2，1) 解析 设P(x，y)(y0)，取MF1的中点N， 由2知，MF1 PM NF1 1 2PN 解得点N， ( x2c 3 ，y 3) 又·0，MF2 OP 所以，MF2 OP 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 连接ON，由三角形的中位线可知，ON OP 即(x，y)·0， ( x2c 3 ，y 3) 整理得(xc)2y2c2(y0)， 所以点P的轨迹为以(c，0)为圆心，c为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c，0)，要使得圆与 椭圆有公共点，则 acc，所以e ，又 0e1， c a 1 2 所以椭圆的离心率为. ( 1 2，1)