第五章波动.ppt

第五章 波动,振动在空间的传播过程叫做波动,机械振动在弹性介质中的传播称为机械波 如声波、水波、地震波等 交变电磁场在空间的传播称为电磁波 如无线电波、光波等,5.1 简谐波,一、波的基本概念,1. 机械波的产生条件,1）波源：产生机械振动的振源 2）弹性介质：由弹性力组合的连续介质,波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。,波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。,横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。,注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。,纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。,振动方向,传播方向,2. 横波和纵波,结论：,1）质元并未“随波逐流”： 波的传播不是介质质元的传播,2） “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,3）某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现-波是振动状态的传播,4) 同相点-质元的振动状态相同,3. 波是相位的传播,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,图中b点比a点的相位落后,4. 波形曲线(波形图),o,x,t,1）不同时刻对应有不同的波形曲线,2）波形曲线能反映横波、纵波的位移情况,5. 波的特征量,1）波长 : 两相邻同相点间的距离,2）波的频率 : 介质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数,3） 波速u : 单位时间波所传过的距离,波速又称相速度(相位传播速度),2.平面波和球面波,波线,波面,波前,二、几何描述,1.波阵面和波射线,波阵面(波面)：相位相同的点连成的面；波前,波线（波射线）：波的传播方向,例题：,平面简谐波以波速 u 沿x 轴正向传播，波长为 。已知 在 处的质元的振动表达式为y(x0, t)=Acos t 。 求：（1）写出波函数； （2）在同一张坐标图中画出t =T 和t = 5T/4 时的波形图,解： （1）,（2）,（2）在同一张坐标图中画出t =T 和t = 5T/4 时的波形图,例题：,已知 ：波函数 =0.02cos(10t+6 y) （SI） 求：（1）传播方向；T、u； （2）波谷经过原点的时刻； （3）t =6 s 时各波峰的位置。,解：（1）比较沿x 正方向传播的平面简谐波标准式,波沿Y轴负方向传播,（2）波谷经过原点的时刻,再过T/2 = 0.1 s 第一个波谷经过原点，以后每过T=0.2s 时间波谷经过原点。,（3）t = 6 s 时各波峰的位置,6s 时原点是波峰，而且每隔 1/3 m就是一个波峰，即：,例题,已知：平面简谐波波函数,解：,求：原点和 处质点的振动表达式， 并画出振动曲线 。,1）原点：x0，该处的振动表达式为：,A,A/2,原点的初相位 0 =,处比原点落后/2，其相位是:,2) 求 处质点的振动表达式， 并画出振动曲线 。,A,A/2,例题：,例题,已知：平面简谐波波形图,求：（1）用箭头标明 t = 0.05s 时平衡位置在0.1、 0.15、 0.2、0.35m 处质点的速度方向 ; （2） T、 、u ; （3） 0.5m处的质点比原点落后相位; （4）t = 0.1s 时平衡位置在 0.3m 处质点的振动速度.,( 2 ),解：,0,1 2 3 4 5,X（0.1m）,（3）0.5m处的质点比原点落后相位,法1,法2,（4）t = 0.1s 时平衡位置在 0.3m 处质点的振动速度,已求得： T0.2s 0.4m,平面简谐波的波函数：,5.2 波动方程与波速,将平面简谐波的波函数分别对时间和空间求二阶偏微商，可得：,波速,一、 波动方程,一维简谐波的表达式就是上述波动方程的解。,为波速,在三维空间中：,(t,x,y,z)表示三维空间中随时间变化的物理量。,x段的平均应变（线应变）:,变形后的长度,二、 长杆中的纵波,由胡克定律，应力与线应变成正比：,x处截面 t 时刻 : 线应变为 /x ，应力为 F(x,t)/S,杆上各处 x 不同， 线应变和应力不同，各质元作加速运动,将应力、线应变关系代入:,设质心坐标为x，位移为, x0,四、固体中的横波,G - 切变模量,G Y, 固体中 横波纵波,三、 弦上的横波,T ：弦的初始张力； ：绳的线密度,五、 流体中的声波,B-体变弹性模量, 0-无声波时的流体密度, = Cp /Cv , 摩尔质量,容变,V0+ V,理想气体:,声压：,5.3 波的能量 波的强度,一、传播介质的能量,振动动能 形变势能,1.弹性波的能量密度,(以细长棒为例),动能,动能密度,势能密度,势能,势能密度,棒中有纵波时,能量密度,能量密度:单位体积介质内的波动能量,能量密度,2.平面简谐波的能量密度,(x,t)=Acos( t-kx),能量密度,wk、w p均随 t 周期性变化,(1) 固定x,物理意义,w k = w p,(2) 固定t,wk、w p随x周期分布,=0w k 、w p最大, 最大 wk 、w p为 0,o,T,t,wk,wp,x = x0,二、能流(能通量)、波的强度,能流(能通量)： 单位时间内通过S 面(垂直于传播方向)的能量,能流:,w 能uS,能流密度:,w能u,平面简谐波:,w 能u= u 2A2sin2( t-kx),2. 波的强度平均能流密度,能流密度的时间平均值,平面简谐波:,介质特性阻抗: Z = u,1.能量密度:单位体积介质内的波动能量,平面简谐波的能量密度：,2.能流: 单位时间内通过S 面(垂直于传播方向)的能量,w 能uS,3.能流密度:,w能u,总结：,通过单位面积(垂直于传播方向)的能流,一、惠更斯原理,1. 原理 :,媒质中波传到的各点, 都可看作开始发射子波的波源 (点波源)。,在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前 。,2. 应用 :,t 时刻波面 t+t 时刻波面波的传播方向,5.4 惠更斯原理 反射与折射,二. 波的衍射,1. 现象,波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象。,2. 作图 可用惠更斯原理作图,比较两图, 如你家在大山后,听广播（AM，波长100m）和看电视（TV，波长1m）哪个更容易?,（若广播台、电视台都在山前侧）,三、波的反射与折射,介质1,M,N,在同一介质中：,可得：,（n1）,（n2）,A B C D,M,N,介质2,A B C D,5.5 波的叠加 波的干涉和驻波,一、波传播的独立性,介质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率等), 不受其它波的影响 。,二、波的叠加原理,1. 叠加原理:,在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独 传播时在该点引起的振动的合成。,波的强度过大非线性波,2. 波动方程的线性决定了波服从叠加原理,电磁波,叠加原理不成立,光波在媒质中传播时,弱光 媒质可看作线性媒质,强光 媒质非线性, 波的叠加原理不成立,麦可斯韦方程组的四个方程（书P220）都是线性的 , 如果,也是线性关系 - 则满足叠加原理。,三. 干涉现象和相干条件,1. 干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布,2. 相干条件,(1) 频率相同,(2) 有恒定的相位差,(3) 振动方向相同,S1 10 = A10cos( t+ 10) S2 20 = A20cos( t+ 20),p点两分振动,1 = A1cos( t 10kr1) 2 = A2cos( t 20kr2),四. 波场的强度分布,1 . 波场中任一点的合振动,设振动方向屏面,相位差: = ( 20 10) k(r2r1),(角波数）,强度,合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2,2 . 减弱条件,加强条件 ( 相长干涉 ), = ( 20 10)k(r2r1) 2m,(m=0,1,2,),p点合振动,若 A1 = A2 ,则 Imax = 4 I1,减弱条件, = ( 20 10) k(r2r1) (2m+1),(m=0,1,2,),若 A1=A2 ,则 Imin= 0,特例：, 20= 10,加强条件,减弱条件 (相消干涉),五. 驻波,两列相干波沿相反方向传播而叠加,设 x = 0 处两波初相均为0,波腹处：,波节处：,1. 驻波的特点：,1） 振幅：各处不等大，出现了波腹和波节,2）相位：相位中没有x 坐标，没有相位的传播,3）能量：合能流密度为：,没有能量的单向传播,4）半波损失,反射点 B 固定不动形成波节，反射波与入射波间有相位突变，而相距半波长的两点相位差， 的相位突变称为“半波损失”。,反射处是固定端，有半波损失，反射点为波节,反射处是自由端，无半波损失，反射点为波腹,2. 驻波的应用,1）两端固定的驻波系统弦乐器,（n=1、2、3.）,本征频率简正模式,（n= 0, 1, 2.）,本征频率简正模式,2）两端自由的驻波系统管乐器,3）两端自由的驻波系统金属细棒,（n= 1、2.）,频率,波速,基频,谐频,解 ：弦两端为固定点，是波节.,例题：波长为的平面谐波沿 x 轴正向传播， xa= /2 处 振动表达式为 y（x a ， t ）=A cos t 。求:（1）波函数; （2）在 x b= 3 处放一反射面，设反射波能量不损失，求反射波的波函数。,解（1）：,x,y,0,xa,对于沿X轴正向传播波，x点的振动落后xa处t（xxa）/u，所以 x点的振动方程是：,x,y,0,xa,2/T u/T xa/2,问：若平面简谐波沿X轴负方向传播呢？,上式即为则沿X轴正向传播的平面简谐波的波函数。,（2）求反射波的波函数（反射点x b= 3 ）,入射波在反射点引起的振动为：,反射波在反射点引起的振动：,反射波的波函数：,xa,半波损失,例题：两相干波源S1、S2 相距 d= 30m ，设由S1、S2 分别发出的两列波，沿X轴传播时强度保持不变。 x1=9m, x2=12m 处的两点是相邻的波节。 求：（1）两列波的波长； （2）两波源间的最小相位差。,解（1）：,（2）两波源间的最小相位差。,已知在 x =9 m 处是节点 所以 = （2k+1）,解得：,4、在弦上有一平面简谐波， 欲在弦上形成驻波，且保证x =0 处为波节，求弦上另 一简谐波的表达式。,解：x = 0 波节 两波在该点引起的振动反相,解：由已知：,设另一简谐波为,O 点任何时刻反相，则,法1,法2,得,所以,从旋转矢量图上可见,媒质空气,定义： p = p - p0 为 声压,一小团空气的声压：,一、声波（纵波）,5.6 声波与声强级,B ：体变弹性模量,声波强度与声压的关系？,设声波是平面 简谐波,令,声压,声强,P76：5.30式,二、声强级,可听声强范围 与频率有关,能引起听觉的最低声强称为听觉阈； 声强的上限值为痛觉阈。,声强为 I 的声波的声强级为,（贝尔：B）,（分贝：dB ）,规定=1000Hz的声波的可听下限为标准声强,5.7 多普勒效应,多普勒效应:当波源 S 和接收器 R 有相对运动时, 接收器所测得的频率 R 不等于波源振动频率 S 的现象.,一、机械波的多普勒效应,参考系 : 媒质, 波在媒质中的速度为 u,符号规定 : S 和 R 相互靠近时，波源速度Vs 为正 , 接收器速度VR 为正，反之为负。,R,·,·,S,S : 波源振动频率； R : 接收器接收到的频率； W (= u / ) : 波（在媒质中）的频率。, = S, 但 R ,2. 波源静止, 接收器运动 ( VS =0, 设 VR0 ),1. 波源和接收器都静止 （VS=0, VR=0）,S = W = R （ W =u/）,单位时间内，接收器接收到的完整波的数目为：,即：,3. 接收器静止, 波源运动 （VR= 0, 设VS 0 ）, S , 但 R = ,S,·,·,实 = uTS VSTS,即：,4. 接收器、波源都运动（设 VS 、VR均0）,S R,若S和R的运动不在二者连线上,符号规定 : S 和 R 相互靠近时，波源速度Vs 为正 , 接收器速度VR 为正，反之为负。,对于电磁波：,二、马赫波 冲击波、艏波,锥面外无扰动，锥面处振幅极大 产生巨大的冲击力冲击波马赫波。,船在水中产生艏波。, 超音速飞机会在空气中激起冲击波,飞行速度与声速的比值 VS/u(称马赫数)决定 角, 角称马赫角,例题1：一平面简谐横波以400ms 的波速在均匀媒质中沿一直线传播。已知波源的振动周期为0.01s, 振幅为0.01m。设以波源振动经过平衡位置向正方向运动时作为计时起点，求（）以距波源m处为坐标原点写出波函数；（）距波源m和1m的两点间的振动相位差。,解： 先求出波源的初相位：由于t =0 时 , y0=0 ，速度 v00 , 可知 0 = -/2.,波源O点的振动方程：,设 x2 为距波源2m 处， x2 点的振动落后于波源O点,因此 ， x2 的振动方程为：,以 x2 为坐标原点的 波函数为：, 由波源的振动方程：,将 x2=2m, x1=1m 分别代入上式，得x2 , x1 点的振动方程分别为：,两点间的振动相位差为：,以 波源为坐标原点的波函数为：,例题2：有一平面简谐波，波速为u ，已知在传播方向上某点（坐标为x0)的振动方程为 y=Acos(t+0) , 试就图示的两种坐标取法，分别写出各自的波函数。,u,0 x0 X,y,y,X x0 0,u,(a) (b),解：要写出波函数，先写出坐标原点O 的振动方程：,(a) x点的振动相位落后于 x0 点 t （xx0） / u ， 则x点的振动方程为：,上式即为所求的沿X轴正方向传播的波的波函数,(b) x点的振动相位超前于 x0 点 t（xx0） / u ， 则x点的振动方程为：,y,X x0 0,u,上式即为所求的沿X轴负方向传播的波的波函数,(b),5.8 波的色散及非线性,一、波的色散,频率相同的简谐波合成后仍是简谐波；频率不同的简谐波合成后一般为复波。,波数,缓慢变化,令,群速度,其相速度为：,当,可求得波包的传播速度为：,群速度,相速度,色散波包扩散。,当,二、非线性效应叠加原理不再成立,实际介质的恢复力：,+ 非线性项,2、能量转移：,向高频转移,3、介质对高频的能量吸收大,被介质吸收,大振幅波 ，色散与非线性效应相抵消时形成孤波（定域性小范围、稳定性不变形）,+（完整性两孤波相遇后分开各自继续传播）,孤子,流体中的旋涡；超导体中的磁通量子；激光自聚焦；神经系统中的信号都是 孤子,