第六单元资料之叙述.ppt

第六單元：資料之敘述 統計與生活 【本著作除另有註明外，採取本著作除另有註明外，採取創用創用CC姓名姓名 標示非商業性相同方式分享標示非商業性相同方式分享臺灣臺灣 3.0版版 授權釋出授權釋出 】 1 授課教師：國立臺灣大學數學系 陳 宏 教授 目錄 2 集中測量數（ measure of central tendency） 平均數 mean、中位數 median 和眾數 mode 離散測量數（ measure of dispersion) 全距range、四分位距 interquartile range、變異數 variance 和標準差 standard deviation。 l盒鬚圖及五數綜合 l常態分布 l查表 3 紐約尼克隊 2011/12年薪水（百萬美元） 球員球員薪水薪水球員球員薪水薪水 安森尼18.52Harrellson0.47 Balkman1.68Jeffries 0.85 比盧普斯14.20林書豪0.76 Bibby0.85諾瓦克0.85 泰森錢德勒13.11尚波特1.56 巴隆戴維斯0.85史陶德邁爾18.22 Douglas1.15Walker0.89 費爾德斯0.76 4 紐約尼克隊 2012年薪水（百萬美元） 0 | 58899999(1.2)(1.6)(1.7) 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 1 14 | 2 16 | 18 | 25 5 思考問題 2011-2012紐約尼克籃球隊 15位隊員薪水（百 萬美元）的平均數是4.98百萬，中位數是 0.89 百萬。 . 試問如何算出平均數及中位數? 何者是該隊 典型薪水較佳的量測？ 平均數還是中位數 ? 6 圖表 v.s 數字 從前頁表中可看出大部份尼克隊球員的年薪少於 100萬，少數會超過 1000萬。 想更精確的知道資料的中心位置和分散度，該怎 麼辦？ 7 思考問題 人類的孕期，足月平均為二百八十天左右，標 準差為十六天。 足月平均的四十週中，其中兩週是虛假的，因 為排卵期之前還未受精，但已計入。 試問何謂標準差 ? 試問超過 296天才生產是常見的嗎? 8 圖表 v.s 數字 圖表是以視覺化的方式來呈現資料的分布情形， 掌握資料全貌與呈現出的訊息。 使用測量數的數值可進一步提供與資料相關的更 精確資訊，亦可作為統計推論所需的數值來源。 9 資料的狀態 資料的中心 集中測量數 (measure of central tendency)：用來 描述資料的中心位置 n 筆資料分別為 x1, x2, , xn則均數為 均數為 的解。 10 平均數 l所有資料的總和除以資料個數所得的商 l代表資料的平均水準，維持整個資料分 布平衡的支點 ，則以下圖形可以達到平 衡，不會歪斜。 l容易受極端值的影響 例子：小華微積分小考成績 成績為 76、80、85、76、90分，則平均成績多少 ？ 將小考成績總和除以小考個數， 則 (76+80+85+76+90)/5=407/5=81.4 11 例子：小明歌唱比賽的得分 給分為 85、86、84、89、88、89、85、90、85、 89 ，則平均得分為何？ 將全部總和除以評審個數， 則 (85+86+84+89+88+89+85+90+85+89)/10=87 12 13 平均數受極端值影響 一筆資料中若 有一個極端值 ，則平均數會 因為它而改 變。 14 中位數 將資料的數值從小到大排序後，當資料個數為奇將資料的數值從小到大排序後，當資料個數為奇 數時，最中間的那一個數，就是中位數。數時，最中間的那一個數，就是中位數。 例如例如 小華微積分 小考成績的中位 數為數為 8080 15 中位數 將資料的數值從小到大排序後，當資料個數為偶將資料的數值從小到大排序後，當資料個數為偶 數時，最中間兩數之平均，就是中位數。數時，最中間兩數之平均，就是中位數。 例如小明歌 唱比賽得分唱比賽得分 的中位數為的中位數為 87 87 16 中位數 只考量資料數值的位置，而沒有考量資料數值的只考量資料數值的位置，而沒有考量資料數值的 大小大小 ，故不適合作代數運算。，故不適合作代數運算。 中位數較不易受到極端值的影響。中位數較不易受到極端值的影響。 17 中位數不受極端值影響 即使資料中 有一個極端 值，中位數 也不會因此 而有很大的 改變。 18 眾數 l資料數值中出現次數最多的那一個數 l眾數不是只有一個，它可能會有一個 ，或兩個以上的眾數，甚至沒有眾數 19 例子：小華微積分小考成績 762次、801次、851次、901次， 所以小華微積分小考成績的眾數為76 20 例子：小明歌唱比賽的得分 841次、853次、861次、881次、 893次、901次， 所以小明歌唱比賽得分的眾數 為85和89 21 眾數的判斷 22 資料分布形狀 左偏 對稱 右偏 23 資料的分布形狀 1.資料的分布為對稱，平均數中位數眾數 24 資料的分布形狀 2.資料的分布為右偏，平均數中位數眾數 25 資料的分布形狀 3.資料的分布為左偏，眾數中位數平均數 26 資料的狀態 資料的分散度 離散測量數 (measure of dispersion) ：用來描述資料 的分散程度。 常用的有全距 (range)、四分位數 (interquartile range) 、變異數 (variance)、標準差 (standard deviation)。 27 全距 資料的數值中最大值與最小值的差距 全距 =最大值 -最小值 瞭解資料分布的全部範圍，用來表達資料分散 的狀況 28 例子：小華微積分小考成績 最大值為 90、最小值為 76， 全距=最大值 -最小值 =90-76 =14 所以小華微積分小考成績的全距為14 29 例子：小明歌唱比賽的得分 最大值為 90、最小值為 84， 全距=最大值 -最小值 =90-84 =6 所以小明歌唱比賽得分的全距為6 30 四分位距 l資料的數值中第一四位數與第三四分位數 的差距 l第一四分位數：將資料的數值從小到大排 序後，排序居於前 25的那個數字 l第三四分位數：將資料的數值從小到大排 序後，排序居於前 75的那個數字 31 例子：小華微積分小考成績 所以小華微積分小考成績的四分位距為11.5 32 例子：小明歌唱比賽的得分 所以小明歌唱比賽得分的四分位距為4 33 生活中的 IQR：學測級分 學測級分五項標準之計算： 頂標：成績位於第88百分位數之考生級分。 前標：成績位於第75百分位數之考生級分。 均標：成績位於第50百分位數之考生級分。 後標：成績位於第25百分位數之考生級分。 底標：成績位於第12百分位數之考生級分。 34 應用：學測級分 由五項標準定義可知 第一四分位距 =後標 =成績位於第 25百分位數之考 生級分 第三四分位距 =前標 =成績位於第 75百分位數之考 生級分 學測級分之 IQR=前標 -後標。 35 應用：學測級分 100學年度學科能力測 驗總級分之 IQR=58- 37=21 其餘各科分別為 3,7,7,4,5 100學年度學科能力測驗 總級分與各科成績標準一總級分與各科成績標準一 覽表覽表 標準頂標前標均標後標底標 項目 國文13 12 11 9 8 英文14 13 10 6 4 數學13 11 7 4 3 社會13 12 10 8 7 自然13 12 9 7 6 總級分64 58 48 37 28 36 變異數 l所有資料到平均數差距的平方總和除以資 料個數減一所得的商 l在測量所有資料到平均數的平均距離 37 例子：小華微積分小考成績 所以小華微積分小考成績的變異數為36.8 38 例子：小明歌唱比賽的得分 所以小明歌唱比賽得分的變異數為4.9 39 標準差 l將變異數開平方來表示資料的分散程度 l標準偏差的單位與資料的單位有一致性 40 例子：小華微積分小考成績 先算出微積積分小考成績的變異數為36.8 再來將變異數開平方為 所以小華微積分小考成績的標準偏差為6.07 41 例子：小明歌唱比賽的得分 先算出歌唱比賽得分的變異數為4.9 再來將變異數開平方為 所以小明歌唱比賽得分的標準偏差為2.21 42 盒鬚圖 五數綜合：資料數值的 最小值、第一四分位 數、中位數、第三四分 位數以及最大值。 盒鬚圖：使用五數綜合 數字所呈現出一種表示 料特性的統計圖形 43 盒鬚圖與資料分布的關係 44 常態分布 (normal distribution) 大部份的值都極中在平均值兩側，極端值不多， 圖形以平均值為中心左右對稱且成鐘形分布。 45 常態分布 某些真實數據的分布，常接近於常態分布 身高 、體重 、考試成績 天文學家或測量員仔細重複度量同一個數量時，會有 小誤差， 高斯 用這些曲線來描述這些小誤差。 有些生物學或心理學的變數也大致是常態分布。 當我們從同一母體抽取出許多樣本時，諸如樣本比例 及樣本平均數這類統計量的分布，常與常態曲線相距 不遠。 46 奎特雷 1817年蒐集的 5732位 蘇格蘭軍人胸圍數據 胸圍 (英吋)頻率 胸圍 (英吋)頻率 33341935 341942646 358143313 3618944168 374094550 387534618 391062473 401082481 47 胸圍數據的直方圖，平均值及標準差 分別為 39.85及2.07 總體而言，該直方 圖呈現鐘型， 對稱於其平均值。 或是男人胸圍數據 之分布，是平均值 加上離差，而離差 為一期望值為 0的隨 機變數，其分配為 常態分配。此時可 將一軍人的胸圍表 為平均值及離差的 和。 48 圖中的鐘型曲線為一平均值及標準差分別為 39.85及2.07的常態分配密度函數 49 常態分布的位置因平均數而異 標準差相同而平均數不同之常態分布，形狀相同 ，但位置不一樣。 50 常態分布的形狀由標準差決定 平均數相同標準差不同之常態分布，中心位 置相同，但高度形狀不一樣。 51 68-95-99.7規則 68%的資料落在距平均數一個標準差的範圍 裡。 95% 的資料落在距平均數兩個標準差的範圍 裡。 99.7%的資料落在距平均數三個標準差的範圍 裡。 52 68-95-99.7規則 53 例子： IQ測驗 成績為常態分布，平均為100分，標準差為 10 分 則測驗成績在 90分到110分之間，約佔 68 測驗成績在 80分到120分之間，約佔 95 測驗成績在 70分到130分之間，約佔 99.7 54 例子：班上同學的身高 991的調查可得知修習統計與生活的學生身高為 165.8公分，標準差為 12.38公分。 身高在 153.42分到 178.18公分之間，約佔 68 在141.04公分到 190.56公分之間，約佔 95 在128.66公分到 202.94公分之間，約佔 99.7 55 資料標準化 (standardization) 用來比較兩個平均和標準差不同的常態分布。 標準計分 (standard score)Z (觀測值 -平均數 )/標準偏差 標準化後的標準常態分布的平均數為0，標準差 為1 56 例子：統計學 VS 經濟學 小明的統計學 67分，平均為 65分，標準偏差 10 分 經濟學 72分，平均為 75分，標準偏差 5分 則統計學的標準計分為(67-65)/10=0.2 經濟學的標準計分為(72-75)/5=-0.6 所以小明的統計學在班上的排名比較好 57 例子：統計學 VS 經濟學 0.20-0.6 58 認識標準常態分布的累積機率表 Z=0.12 0.5438=54.38% 59 例子：標準常態分布的累積機率表之應用 你這學期必修大刀教授所開設的統計學，心中忐忑 不安，擔心這門課沒辦法過。根據大刀教授所教過 的1000名學生中分數紀錄所得知，成績合乎常態分 布，其平均成績為 73 分，標準差 10 分，想知道被當 的機率有多少？過去分數不及格(60分以下 ) 的人數 約有幾人？ 60 例子：標準常態分布的累積機率表之應用 先標準計分得到 Z=(60-73)/10=-1.3，查表得知 60分 以下人數約佔 9.68，也就是說大約有9.68%的機 率被當， 1000x9.68=96.8，過去大概有 96個人不及 格。 61 統計人物小傳 - William Snedecor 62 統計人物小傳 - William Snedecor 在1913年夏天快結束前， Snedecor拎著一個裝滿隨身物 品的皮箱從肯塔基大學(University of Kentucky)離開，準 備搭車前往愛荷華大學(University of Iowa)應徵當數學教 授。可是他對於愛荷華州的地理概念似乎不太好，他沒 去到位於愛荷華市 (Iowa City)的愛荷華大學，而是來到 了位於 Ames的愛荷華州立大學 (Iowa State College)。雖然 愛荷華州立大學並沒有徵求數學教授，但是正好他們招 收了一群數學背景比較差的學生，需要他開授一門代數 課。自此 Snedecor就留在愛荷華州立大學教書。 63 統計人物小傳 - William Snedecor Snedecor在愛荷華州立大學創立統計研究中心，最後成 立美國第一個統計系。而Gertrude Cox就是在美國第一位 拿到統計碩士學位的學生。當初Cox有志於從事神職人 員並到偏遠的地區傳道，在愛荷華州的唸完高中後，她 需要大學的學歷才能夠申請到這樣的工作。Snedecor說 服Cox說唸統計學比較有趣，自此之後Cox就一頭栽進 統計學領域中並在統計研究中心工作。後來，Snedecor 推薦她到加州大學 (University of California)攻讀心理學博 士。Cox學成歸來後 Snedecor就將統計研究中心交給她負 責。 64 Gertrude Cox 65 統計人物小傳 - William Snedecor 北卡羅萊納州立大學(North Carolina State University)要成 立統計研究中心，最後如同愛荷華州立大學一樣模式演 變成統計系所。校長Frank Graham尋求Snedecor幫忙推薦 一位人選能 領導這個中心。 Snedecor擬了一份十人的名 單並找來 Cox幫他做確認。 Cox看了這份名單後問了一 句：那我呢？。Snedecor最後在這份十人的名單信 件上加了一句話，這十個人是我認為非常棒的人，但 是如果你需要最好的人，我會推薦Gertrude Cox。 66 統計人物小傳 - William Snedecor 雖然 Snedecor並沒有發展出許多統計原創理論， 但他對於統計學的應用發展有莫大的功勞。他的 眾多著作當中，最有名的就是1937年與 William G. Cochran共同編撰的統計學書籍Statistical Methods。 這本書成為當時修習統計學非讀不可的教科書。 七零年代時，各個科學領域所有發表的期刊當中 ，這本書被列入文章參考資料的次數是最多的。 67 複習 以課本圖 4.7例求平均數、中位數、眾數。 全距、四分位數、變異數、標準偏差 判斷資料分布形狀 繪製盒鬚圖 68 版權聲明 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 3 安森尼 0.89。 shamsports.com (http:/www.shamsports.com/content/pages/data/salaries/knicks.jsp)， 瀏覽日期 2012/04/30。依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 10 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 93， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 13 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 93， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 14 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 94， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 15 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 94， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 69 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 17 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 95， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 21 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 96， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 22 國立臺灣大學 農藝學系 劉仁沛 教授。 23 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 96， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 24 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 96， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 70 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 25 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 96， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 31 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 98， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 32 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 99， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 35 花蓮高中全球資訊網 (http:/www.hlhs.hlc.edu.tw/node/7332)， 瀏覽日期 2012/04/10。依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 37 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 99， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 71 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 38 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 100， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 42 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 102， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 43 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 102， 國立臺灣大學出版中心，2010年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 43 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 102， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 43 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 103， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 72 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 44 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 103， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 46 信賴區間與信心水準解讀相關之機率與統計知識(http:/0rz.tw/IFyBT)， 臺灣大學數學系 陳宏，頁 7，瀏覽日期 2012/04/30。 依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 47 信賴區間與信心水準解讀相關之機率與統計知識(http:/0rz.tw/IFyBT)， 臺灣大學數學系 陳宏，頁 8，瀏覽日期 2012/04/30。 依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 48 信賴區間與信心水準解讀相關之機率與統計知識(http:/0rz.tw/IFyBT)， 臺灣大學數學系 陳宏，頁 8，瀏覽日期 2012/04/30。 依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 49 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 104， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 73 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 50 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 104， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 52 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 104， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 57 國立臺灣大學 農藝學系 劉仁沛 教授。 58 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 109， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 58 統計與生活 ， 劉仁沛、洪永泰、蕭朱杏、陳 宏合著，頁 109， 國立臺灣大學出版中心，2010 年 3 月初版。 由所有權人國立臺灣大學出版中心授權，您如需利用本作品，請另行向權利人取得授 權。 74 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源 / 作者作者 61 South-Western (http:/www.swlearning.com/quant/kohler/stat/biographical_sketches/bio17.1.html)， 瀏覽日期 2012/1/9。依據著作權法第 46、52、65 條合理使用 。 62 在1913年大學教 書。 國立臺灣大學生物統計學程 (http:/biometry.ntu.edu.tw/index.php?option=com_content&view=article&id=58&catid=39&Itemid=6 8)，瀏覽日期 2012/03/19。依著作權法第 46、52、65 條合理使用。 63 Snedecor在交給他 負責。 國立臺灣大學生物統計學程 (http:/biometry.ntu.edu.tw/index.php?option=com_content&view=article&id=58&catid=39&Itemid=6 8)，瀏覽日期 2012/03/19。依著作權法第 46、52、65 條合理使用。 64 NCSU Libraries (http:/d.lib.ncsu.edu/collections/catalog/0003592)， 瀏覽日期 2012/1/9。依據著作權法第 46、52、65 條合理使用。 65 北卡羅萊納州 推 薦Gertrude Cox。 國立臺灣大學生物統計學程 (http:/biometry.ntu.edu.tw/index.php?option=com_content&view=article&id=58&catid=39&Itemid=6 8)，瀏覽日期 2012/03/19。依著作權法第 46、52、65 條合理使用。 75 頁碼頁碼作品作品授權條件授權條件來源來源/作者作者 66 雖然 Snedecor次數 是最多的。 國立臺灣大學生物統計學程 (http:/biometry.ntu.edu.tw/index.php?option=com_content&view=article&id=58&catid=39&Itemid=6 8)，瀏覽日期 2012/03/19。依著作權法第 46、52、65 條合理使用。