第四部分稳定分析方法的拓展李雅普诺夫方法.ppt

第四章 稳定性分析方法的拓展李雅普诺夫方法,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,2,5.2 关于稳定性的基本概念,第四章稳定性分析方法的拓展 李雅普诺夫方法,5.5 李亚普诺夫第二方法在线性 系统分析与设计中的应用,5.6 本章小结,5.1 稳定性的传统判别方法,5.3 李亚普诺夫第一方法,5.4 李亚普诺夫第二方法,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,3,线性系统稳定性分析的理论框架,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,4,一、稳定性基本概念 如果一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 因此，可以说“若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。”,5.1 稳定性的传统判别方法,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,5,推论1：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的脉冲响应 函数趋于零，则该线性定常系统稳定。,5.1 关于稳定性的基本概念,推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面， 则系统稳定。,推论3：如果当时间趋于无穷时，线性定常系统的阶跃响应函 数趋于某一个常数，则该线性定常系统稳定。,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,6,二、SISO系统脉冲响应的稳定问题,实根情况：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,7,虚根情况：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,8,三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,9,四、Routh稳定判据(Rouths stability criterion),将闭环特征方程的各项系数，按右面的格式排成Routh表。,系统闭环特征方程,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,10,系统渐进稳定的必要条件是特征方程的系数均大于零。 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则符号的变化次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,劳斯稳定判据,表中,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,11,五、Routh判据的两种特殊情况,劳斯表某一行中的第一项元素等于0，而该行的其余各项不等于0或没有其余项。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。,如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为临界稳定。,1,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,12,劳斯表某一行元素全为0。这表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。,2,利用系数全为0行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全0的行。从而完成劳斯表的排列。,解决办法,关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。,如果第一列上的元素没有符号变化，则表示该方程中有共轭纯虚根存在，相应的系统为临界稳定。,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,13,六、Routh判据的推广,实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。这种系统在系统参数发生一定变化时仍能保持稳定。,此法可以估计一个稳定系统的所有闭环特征根中最靠近虚轴的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,令s=s1-a，代入原系统地闭环特征方程中，得到以s1 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s1=-a右侧。,Routh判据的推广,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,14,七、Routh判据的应用,1 系统参数稳定范围的确定,已知某调速系统的特征方程式为,求该系统稳定的K值范围。,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,15,当K=2时，Routh表的第三、五列元素全为0。系统将有对称于原点的闭环特征根。,2 求特殊情况下系统的闭环特征根,已知某系统的闭环特征方程为：,试确定使系统有对称于原点的闭环特征根的K值，并求出此时 系统的所有闭环特征根。,，进而得,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,16,4.3 状态空间表示的系统稳定性判定,定理4.1: 线性定常系统,平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵 A的所有特征值均具有负实部.,必要性可以用反证法来完成，请同学们自己完成证明。,系统状态(内部)稳定条件,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,17,设系统的状态空间表达式为:,试分析系统的状态稳定性与输出稳定性.,1)有A的特征方程:,可知系统的状态是不稳定的.,2)由系统的传递函数:,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,18,说明:1)这种系统在实际应用时是极不可靠的.若系统 参数发生变化,则零、极点就无法实现对消. 这样输出就能表现出不稳定特性.,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,19,4.2 关于稳定性的基本概念,李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,20,4.2 关于稳定性的基本概念,一、系统状态的运动及平衡状态,状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为,(4-1),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,21,说明: 1) 对于任一个系统,不一定都存在平衡状态. 2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是 唯一的. 3)当平衡态的任意小邻域内不存在系统的别的平衡态时，称此平衡态为孤立的平衡态。,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,22,6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线 性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。因此对有多个平衡点的系统来说，要 讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐 个讨论。,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,23,二、稳定性的几个定义,李雅普诺夫根据 系统的自由响应是否(没有控 制信号u的驱动) 有界把系统的稳定性定义为四种情况:,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,24,说明: 1)这里实数 与 有关(类似于高数中极限 、收敛的概念) 。 2)一般情况下 与 也有关，当与 无关 时，则称为一致稳定的。,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,25,说明: 1)渐近稳定是个比稳定更加苛刻的限制定义.如果一个平衡 状态是渐近稳定的,那么它一定稳定,反之不一定成立。 2)不论是稳定还是渐近稳定,都有一个共同的限制条件,即要 求 。即初始状态要在一定范围之 内。,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,26,2)对于线性系统来说,如果平衡状态是渐近稳定的,则必然 也是大范围渐近稳定的.但对非线性统来说则不一定.,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,27,总而言之,球域 限制着初始状态 的取值,规定了系统自身 响应 的边界.,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,28,几何意义解释,4.2 关于稳定性的基本概念,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,29,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),李雅普诺夫第二方法又称直接法，它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。,李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x),作为虚构的广义能量函数，然后根据,的符号特征来判断系统的稳定性。这个V(x)叫做李雅 普诺夫函数。,李雅普诺夫第二方法的关键问题是寻找李氏函数V(x).,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,30,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,31,一：预备知识,标量函数的符号性质：,1) , 则称V(x)为正定的,例如：,2) , 则称V(x)为半正定的(或非负定的)，例如：,3) , 则称V(x)为负定的,例如：,4) , 则称V(x)为半负定的,例如：,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,32,5) V(x)0或V(x)0, 则称V(x)为不定的，例如：,例5.4：判别下列各函数的符号性质,2):,3): ，V(x)正定。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,33,二次型标量函数：,二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统稳定性中起着重要的作用。,定义：（二次型标量函数）设,是一向量，矩阵P为实对称矩阵,正交变换T,则称：,为二次型标量函数。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,34,于是，常称,为二次型函数的标准型。,定理5.4： 正定的充要条件是对称矩阵P的所有 特征值 均大于零。,简证：令正交变换阵T,且,则,令:,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,35,二次型标量函数V(x)中P的性质和说明： 1）若V(x)正定，则称P为正定， 记作P0； 2）若V(x)负定，则称P为负定， 记作P0； 3）若V(x)半正定，则称P为半正定，记作P0； 4）若V(x)半负定，则称P为半负定，记作P0。 由上可见，P的符号性质与V(x)定义的符号性质 完全相同。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,36,二次型标量函数性质的判别方法：,定义法：见例5.4。,例5.5,试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性。,(1),(2),半正定。,正定。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,37,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,38,若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普诺夫意义 下稳定称为李雅普诺夫稳定判据。,二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据,设系统的状态方程为, 平衡状态满足 ,如果,存在一个标量函数V(x),它满足：,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,39,如果进一步还有 ，则系统是大范围渐近 稳定的李雅普诺夫渐近稳定判据。,3) 若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的李雅普 诺夫不稳定判据。,几点说明：,1) 对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,40,2) 即使找不到使V(x)正定， 负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1)、2）、3）的V(x)不能下结论。,4) 若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与某特定 曲面 相切，运动轨迹通过切点后会继续向原点 收敛，因此此情况的属于渐进稳定。,3) 对于 ，则 ，这意味着运动将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原点，这相当于极限环或者临界稳定。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,41,解：（1）求平衡状态：,（2）选取李雅普诺夫函数V(x), （多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)）,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,42,(3) 求,可见只要 就有 成立。,下面需要讨论当 成立否。,可见 不可能成立。 该系统是稳定。,(4) 判断大范围渐进稳定性,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,43,另选一个李氏函数 ，请同学们用此李氏再判断这道例题的稳定性问题。,例3：已知非线性状态方程：,试判别系统的稳定性。,解：求平衡状态,由 得,是唯一解,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,44,取,求 ，因此该关系是渐进 稳定的。, 是大范围渐进稳定的。,例4：设系统状态方程为,试判定其稳定性。,解：求平衡点,取,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,45,求,稳定性分析,几点说明：,1) 李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法； 2) 对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性；,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,46,3）如果v(x)为标准二次型,5）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方 法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。,4）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域外情况 由 的情况来延伸。,则,在几何上表示状态空间中以原点为圆心的由大到小的一系列同心圆。 表征了系统相对原点运动的速度。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,47,三：线性定常连续系统渐进稳定性判据,说明：该定理相当于告知了我们一个怎样选择线性定常系 统P阵的方法也提供了一个更为简单的利用李氏函数判 断线性系统稳定性的方法。,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,48,例1：试分析如下系统的状态方程平衡点的稳定性。,解：设,Q=I,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),2006-3-26,北京科技大学 自动化系,49,故P是正定的，系统在平衡点一大范围渐近稳定的。,四线性定常离散系统渐近稳定判据,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),满足：,系统的李雅普诺夫函数为：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,50,例：设线性离散系统状态方程为：,试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。,解：取Q=I ，由,4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法),其中：,得：,由此可知要使P正定的 必须是：,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,51,本章小节：,本章讲的几个问题：, 平衡点的求取：,李雅普诺夫稳定，一致渐近稳定，大范围渐近稳 定不稳定等概念。, 明确李雅普诺夫函数及其在稳定性分析中的应用,线性定常离散系统,线性定常连续系统, 线性定常系统常可选 为李氏函数。,2006-3-26,北京科技大学 自动化系,52,本章结束,