第三章多维随机变量学习的特点回顾及要求.ppt
第三章多维随机变量学习的特点回顾及要求,1.概念多，一定要清楚明白，比如：边缘分布，条件分布，和的分布等。 2.公式多：对应于概念都有相应的公式，是否真正掌握，比如：边缘密度公式和和的密度公式的区别和联系。 3. 随机变量独立是一个重点内容。 4.和的分布及最值分布是难点。,1,2,二维随机变量函数的分布：五个基本公式，随机变量和的分布函数公式有3个，其中卷积公式最为重要，最大值最小值分布函数公式各1个。,3,本次课的教学目的、教学要求,掌握 （1）数学期望的定义 （2）定理4.1.1 （3）定理4.1.2 （4）数学期望的性质 （5）方差的定义及计算方差常用的公式 重点难点：数学期望的定义、方差的定义及计算方差常用的公式。 教学要求：会运用定义、性质及定理4.1.1、定理4.1.2解决有关问题。,4,第四章 随机变量的数字特征,(1)分布函数往往都含有某些参数。参数一旦被确定，相应的分布函数的具体形式也就被确定了，因而这些参数反映了随机变量的某些重要特征。 (2)在实际问题中，还有一些随机变量，它的分布函数很难求出，但我们常常可以通过一定的方法，求出反映它的重要特征的某些数据。特别是当我们只需要了解所研究的随机变量一些重要特征而不太关心其具体的分布特征时，掌握求出这些数据的方法就显得十分重要了。 例如，冰箱的耗电量是其质量的一个重要指标。一种品牌的冰箱的平均日耗电量，在一定程度上决定了它的受欢迎程度。 (3)因此，本章将介绍“数学期望”、“方差”、“离散系数”等重要数字特征的概念及其求法。,5,§4.1 数学期望,定义4.1.1 设离散型随机变量X的分布律为 X x1 x2 xn pK p1 p2 . Pn. 若级数 绝对收敛，则称 的值为随机变量 的数学期望或均值，记作 或 。即,(4.1.1),我们要求上式的值存在，且各项可任意交换，故要求此级数绝对收敛。,6,随机变量的数学期望分析,(离散型)设离散型随机变量X的分布律为Px=xn=pn,n=1,2,., 若级数 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为,EX=,若,非绝对收敛,即级数,发散,则称X的数学期望不存在.,均值,例如:,则,EX=,=-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8,注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.,7,例题,例4.1.1 设 X 服从0-1分布 求：X数学期望 例4.1.2 设 ，求,的分布律为,解,8,9,10,11,12,13,14,例.设随机变量X的概率分布为,求E(X2+2).,(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解: E(X2+2)=,15,例题,例4.1.4 按节气出售的某种节令商品，每售出一公斤可获利a元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1公斤净亏损 b元。设某店在季度内这种商品的销售量X是一随机变量，在区间(t1,t2) 内服从均匀分布。问该店应进多少货才能使销售利润的数学期望最大？ 解 设 t (单位:公斤)表示进货数, ，进货t 所获利润记为 Y ，则 Y 是随机变量，,由于 X 的概率密度为,16,解续,令,得驻点,由此可知，该店应进,公斤商品才可以使利润的数学期望最大。,17,例.某种电子元件使用寿命X,规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为 30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值.,分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布.,解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,PY=0=,PX500,=1-e-0.5,PY=10 =,P500X1000,=e-0.5-e-1,类似可得:,PY=30=e-1-e-1.5 , PY=40=e-1.5,所以,EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30×( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5,=15.65(元),18,例题,例4.1.5 设风速 X 是一个随机变量，在 0,a 上服从均匀分布，而飞机机翼上受到的压力 Y 与风速的平方成正比。即 ，求 。,解 X 的概率密度为,19,例 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处，且 X在0，60上均匀分 布，求该游客等侯时间的数学期望。,解:由题意得:X,设Y表示旅客候车时间,则,Y=g(X)=,0X5, 5X25, 25X55, 55X60.,E(Y)=E(g(X)=,=11.67(分),5-X 25-X 55-X 65-X,20,21,22,例题,例4.1.6 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 求：,由的取值和的对称性，得,解,23,例（915）一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。求 X的概率分布 与E1/（1+X）。,解: X的取值为0,1, 2, 3,P(X=0)=1/2 P(X=1)=1/2×1/2=1/4 P(X=2)=1/2×1/2×1/2=1/8 P(X=3)=1/2×1/2×1/2=1/8,X的概率分布为,(2)E1/(X+1)=1×1/2 +1/2×1/4+1/3×1/8 +1/4×1/8,=67/96,24,数学期望的性质：,25,26,27,28,29,30,31,例(874)设,求 Z= 1/Y 的数学期望E（Z）.,解:EZ=E(1/Y)=,EZ,32,课堂练习2. (934)设X与Y同分布，X的概率密度为, 已知事件 A=X和 B=Y独立,且P(AB)=3/4.求常数； 求E(1/X2).,解:(1)由已知得:P(A)=P(B), A, B独立, 所以,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-P(A)2=3/4 故P(A)=1/2,0a=,=1/2,所以,(2)E(1/X2)=,33,课堂练习,1.计算均匀分布的数学期望，密度函数如下 2.用组合数公式计算二项分布的数学期望。,34,作业,129页，第1、3、5、10题,
