第三章控制系统的稳定性和特性主编修改版.ppt

第三章 控制系统的稳定性及特性 版本2.0 2011年6月主编修改版,深圳大学 机电与控制工程学院,第三章 控制系统的稳定性及特性,3.1 引言 3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数 3.3 闭环系统的稳定性 3.4 反馈控制系统的特性 3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性 3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性 3.7 小结,3.1引言,控制系统的结构及其传递函数,闭环系统的稳定性,反馈控制系统的特性,复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,反馈控制系统,本章知识体系,3.1引言,一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。 反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。 如何定义系统的稳定性？ 如何判定系统的稳定？ 反馈控制系统的特性如何？有什么优势？,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,典型的反馈控制系统 如图3-1所示。,3.2.1 开环传递函数,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,开环控制系统的控制器与反馈控制系统的控制器都串联在控制系统的前向通道中，其区别在于： 1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制 ，以Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。 2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。 3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直接为参考输入信号，则为开环控制器。,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2.2 闭环传递函数,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,参考输入和干扰输入同时作用下系统的总输出：两种情况的线性叠加结果为,闭环是实现了负反馈还是正反馈由信号B(s)进入相加点的符号和GL(s)的符号共同决定。闭环系统可能是负反馈系统，也可能为正反馈系统。,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2.3 偏差传递函数,1）参考输入R(s)作用下的偏差传递函数,2）干扰输入D(s)作用下的偏差传递函数,3）总偏差,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,3.2 反馈控制系统的结构及其传递函数,闭环传递函数各表达式的公共分母多项式均为： 特征多项式方程：,若考虑多项式有理分式形式,NL和DL和均为首一多项式，即最高阶项系数为1，而Kg称为开环增益。,3.3 闭环系统的稳定性,系统能否工作及工作状态如何？ 1、能够工作：稳定性(稳) 2、反应能力：动态特性(快) 3、工作效果：稳态特性(准),1.系统稳定性一般概念可表述为 假设某一有界外部干扰输入瞬间作用于一个处于平衡状态的系统，并且导致其偏离平衡状态。若在瞬间干扰消失后，系统最终能够回到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则，称该系统是不稳定的。 2.定义3-1（稳定的动态系统定义） 在零初始条件下，若一个闭环系统在有界输入（参考输入或干扰输入）的作用下，其输出响应也有界。 3.定义3-2（数学上严格的有界输入-有界输出稳定性定义） 输入：r(t)，|r(t)|N (t0) 输出：y(t),3.3 闭环系统的稳定性,3.3.1 稳定性的概念和定义,3.3 闭环系统的稳定性,其中，单实极点个数n1，共轭极点对(n-n1)/2,则要求t时，|g()|趋近于0。从g(t)入手分析系统稳定的充分必要条件与闭环传递函数零极点之间的关系。,1、稳定充要条件的推导,闭环传递函数的一般形式为：,共轭极点对,3.3.2 闭环传递函数的极点与系统的稳定性,3.3 闭环系统的稳定性,情况1：对T(s)的单实数极点-p，,情况2：对T(s)的k重极点-p，,g(t)的表达式：,3.3 闭环系统的稳定性,情况3：对于T(s)的共轭复数极点，,均为实数,3.3 闭环系统的稳定性,3.3 闭环系统的稳定性,对于Al和Bl为常数情况，两种类型响应与极点位置的对应关系分别如图3-7和图3-8所示。,3.3 闭环系统的稳定性,g(t)存在上界的充分必要条件：,即，系统的闭环传递函数极点均具有负实部。,闭环系统稳定性的充分必要条件：,3.3 闭环系统的稳定性,如何判定系统的稳定性？ 直接求解出系统的闭环特征根 根据劳斯判据通过特征方程的系数判定根的分布 劳斯判据 系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 闭环系统的特征方程的一般形式：,3.3.3 劳斯判据及其应用,3.3 闭环系统的稳定性,1.稳定性的必要条件,各因子相乘展开所得的多项式的系数就是这些正数的乘积组成的，因此也必定为正数，即方程（3-25）的所有系数均为正， al0。,3.3 闭环系统的稳定性,2. 劳斯表,说明：任意正数乘或除表中某一行不会影响其下面导出行的符号,3.3 闭环系统的稳定性,3.劳斯判据 特征方程(s)=0具有正实部根的数目与劳斯表第1列中符号变化的次数相同。 4.利用劳斯判据判断系统的稳定性 各项系数是否都大于0； 列写劳斯表； 若第一列元素出现符号改变, 则系统不稳定; 第一列元素符号改变次数 = 实部为正的闭环极点个数;,(1) 稳定的充要条件：a00,3.3 闭环系统的稳定性,(2) 稳定的充要条件：ai0,例3-1,3.3 闭环系统的稳定性,例3-2：,第1列中符号改变了2次，根据劳斯判据该特征方程有2个根在右半s平面，所以系统是不稳定的.,3.3 闭环系统的稳定性,例3-3：考虑单位负反馈系统稳定的K的范围,解：闭环系统的特征方程为,根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是,劳斯表为：,3.3 闭环系统的稳定性,5. 劳斯表的特殊情况 情况1 劳斯表首列中出现零元素，但其所在行其余各元素不全为零。 处理方法：用一个很小的正数代替首列中的零元素来参与劳斯表的计算，在构成劳斯表后，再令0 进行判定即可。,稳定性判定： 劳斯表首列有2次符号变化，所以有2个特征根位于s平面的右半平面，系统是不稳定的。,该特征方程的根为：-1.9571， 0.0686j1.2736和-0.0901j0.5532。,3.3 闭环系统的稳定性,情况2 劳斯表首列中出现零元素，且其所在行的其他元素均为零。 （1）特征多项式中存在一对根形如(s)(s+)或者(sj)(s+j)的因子； （2）特征多项式中存在两对根形如(s+j)(sj)和(s+j)(s+j)的因子。 处理方法：利用全零行的前一行构造一个辅助多项式方程 ,对辅助多项式方程求导，得到多项式的系数代替原来的全零行，继续完成劳斯表。,3.3 闭环系统的稳定性,稳定性判定：完成的劳斯表中第1 列元素全部为正，特征方程在s平面的右半平面没有根。,但是，上述劳斯表是借助辅助多项式方程完成的，这意味着存在对称于原点的一对特征根或者两对特征根，根据稳定性定义，两类情况均意味着系统是不稳定的。借助计算机可求得该特征方程的根为：j, j2和 ，系统有2个虚根，临界稳定。,3.3 闭环系统的稳定性,例3-6,稳定性判定：劳斯表首列有2次符号变化，所以有2个特征根位于s平面的右半平面，系统是不稳定的。,注意到劳斯表采用辅助多项式方程才完成，说明存在对称于原点的特征根。事实上，可求得该特征方程的根为：1j2和1j2。,3.3 闭环系统的稳定性,6、相对稳定性 定义3-3（相对稳定性）：设一个n阶闭环系统的特征根为pl(l=1,2,.,n)，且对于所有l=1,2,.,n，特征根的实部均满足Re(pl)0使得对于所有l=1, 2, ., n，有Re(pl)0，则称该系统具有稳定裕度 。,以s=w代入原特征方程,得出以w为变量的新特征方程(w)=0，用劳斯判据判定方程(w)=0在w平面上虚轴右边根的个数，等价于判定原特征方程在s平面上垂线s=右边特征根数目。,3.3 闭环系统的稳定性,设系统的特征方程如下，试判断系统是否稳定？如果稳定，有多大的稳定裕量？,解：系统的劳斯表为：,系统稳定，采用试凑法，将s=w-2带入特征方程，,3.3 闭环系统的稳定性,系统的劳斯表为：,说明多项式方程在w平面的虚轴上存在对称于原点的特征根。根据定义，该闭环系统的稳定裕量为：=2。事实上，多项式方程的根为：w1,2=j和w3=1。这说明原特征方程在s平面上的根为：s1,2=2j和s3=3。,3.4 反馈控制系统的特性,瞬态响应 系统输出的一种时域响应，控制系统设计的主要目的就是使系统的输出满足预期的瞬态响应 控制系统的理想情况 使系统的输出完全跟踪或者复制参考输入。 对于开环控制系统，要求开环校正（补偿）控制器的传递函数是对象传递函数的倒数。 实际物理系统不可实现 串联Gc(s)不可能减少而只能将惯性添加到被控对象上。 为了减少开环控制系统的惯性，只剩下改变被控对象Gp(s), 手段十分有限。,3.4.1 瞬态响应的改进,3.4 反馈控制系统的特性,以开环速度控制系统为例：,当负载转动惯量Jm非常大而必须采用很大功率的电机时，若此时的时间常数Tm不能满足瞬态响应的要求，则只能期望选用品种有限的大功率电机来减小Tm。通过改变被控对象Gp(s)来改进系统瞬态响应的余地十分有限。,3.4 反馈控制系统的特性,加入反馈的改进,闭环系统的时间常数比开环系统减少，瞬态响应改进。若设计Kc使得KcKuKf=100，则瞬态响应改进程度可达100倍以上。,3.4 反馈控制系统的特性,对于开环控制系统，参考输入与系统输出的偏差为： 闭环偏差传递函数为 ：,开环控制系统的直流增益,在单位阶跃输入作用下，利用终值定理可求得稳态误差分别为,闭环系统环路直流增益,3.4.2 稳态误差的减少,3.4 反馈控制系统的特性,基于上式的分析，要使的稳态误差小，则： 开环：当Gc(0)=1/Gp(0)时，有 eF()=0 闭环：当Gc(0)足够大，有e()足够小。 右图的稳态误差 开环：设计Kc=1/Ku 闭环：设计Kc很大或直接串入积分环节。,开环控制的零稳态误差是建立在完全不考虑瞬态响应为前提，闭环控制系统具有对瞬态响应和稳态误差两者兼顾的优越特性 。,3.4 反馈控制系统的特性,定义3-4（系统的灵敏度）： 系统的灵敏度是其传递函数的变化率与对象传递函数的变化率之比。 开环传递函数的灵敏度 闭环传递函数的灵敏度,3.4.3 对内部模型的灵敏度,3.4 反馈控制系统的特性,闭环控制系统灵敏度的具体表达式,3.4 反馈控制系统的特性,可见，闭环系统对被控对象传递函数模型变化的敏感度远低于开环系统 。反馈能减小系统的灵敏度。 类似地，还可以推导出对系统内任何环节（比如测量环节）的传递函数的灵敏度以及对象传递函数内的任何参数的灵敏度。,3.4 反馈控制系统的特性,干扰输入对于控制系统来说则完全是多余的 ，比如，电子电路中的内部噪声，电动机的负载变化，燃烧系统中燃气的成分变化等干扰都是实际应用中无法回避的客观存在。 开环控制系统，进入系统的干扰经过对象或部分对象对输出产生直接的影响。 反馈控制系统具有抑制外部干扰的能力。,3.4.4 对外部干扰的抑制,3.4 反馈控制系统的特性,1开环控制系统,3.4 反馈控制系统的特性,2闭环控制系统,转速稳态值：,若闭环设计Kc使得KcKuKf=100，由于参考输入为零，则闭环控制稳态误差()比开环控制稳态误差F()小100倍以上，同时也实现了瞬态响应比开环控制改进达100倍以上,则有：,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,工程上，通常将具有单回路的控制系统称为简单控制系统。 因此，复杂反馈控制系统的结构特点为：多反馈回路或多控制通道。 3.5.1 内环反馈校正,通过设计Gh(s)，可改进系统的动态品质，达到削弱对象模型Gp(s)不确定影响的目的。,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,3.5.2 串级控制,分析：副回路主要干扰D2(s)被抑制，副回路成了一个时间常数为零的理想随动系统，可使整个系统的动态品质得到很大提高。,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,串级控制的另外一个特性： 阶跃输入激励下主参数的稳态误差,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,结论：要消除阶跃参考输入作用下主参数的稳态误差，主调节器必须含有积分环节。 类似地可以证明，对于进入副回路的阶跃干扰，主调节器和副调节器任一方具有积分作用都可消除主参数的稳态误差，但对于进入主回路的阶跃干扰，只有主调节器具有积分作用才可消除主参数的余差。,。,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,总结利用串级控制系统特性的基本原则： 1）对于存在较强外部干扰时，应通过选择适当的副参数尽量将较强的外部干扰包含在副回路，从而削弱主要干扰的影响。 2）对于具有大的时间常数和模型不确定性（参数摄动和非线性）的对象，应尽量将对象时间常数较大的和模型不确定性较强的部分包含在副回路，通过将副回路设计成随动控制系统使副参数在动态上实现1:1跟踪主调节器的输出，从而改进时间常数和消除模型不确定性的影响。 3）对于阶跃参考输入和进入主回路的阶跃干扰，主调节器必须含积分环节以便消除主参数的稳态误差。,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,内环反馈校正结构可以等效化为串级控制系统结构。 无论是内环反馈校正还是串级控制，都具有抑制进入内环的外部干扰、改进内环对象的时间常数和抵御内环对象模型误差和不确定性的能力。,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,不变性原理：不变性原理是一种可减小和消除外部扰动不利影响的控制系统设计方法。不变性原理适用于扰动量可直接测量的场合，其基本思想是利用基于扰动的控制作用来抵消扰动对系统输出的影响。 双通道结构是系统能够满足不变性原理的一个基本结构原则，即要求外部扰动作用点与系统输出测量点之间至少存在两个信号传递通道。 不变性原理建立了系统输出完全不受扰动影响的条件，为构成高精度和高性能的控制系统提供了理论依据。 按参考输入实现补偿，见图3-18 按扰动实现补偿，见图3-19,3.5.3 前馈-反馈控制,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,按参考输入R(s)补偿,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,按扰动D(s)输入补偿,3.5 复杂反馈控制系统的基本结构及其特性,前馈-串级反馈控制系统,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,delta=1,1,6,5,9,4,4; %输入多项式 r=roots(delta); %求(s)=0的根 运结果检验： r r= -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i,3.6.1 判定系统的稳定性 1、解特征方程法： 求出特征方程的根。 求多项式方程的根可调用的函数roots( ) ； 例3-8：,可知，系统处于临界响应，故是不稳定的。,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,pzmap(num,den) 来绘制系统特征方程的零极点图；通过零极点位置判断系统的稳定性。 例3-9,输入以下MATLAB命令 num=0 3 2 5 4 6 ; den=1 3 4 2 7 2; pzmap(num, den); title('系统的零极点图'),计算结果可知，特征根中有两个根的实部为正，所以闭环系统是不稳定的。,3.6.2 绘制零极点图判定系统的稳定性,3.6 利用MATLAB分析系统的稳定性及特性,MATLAB没有直接求解灵敏度的调用函数，所以需要根据灵敏度公式来写程序来计算。 例3-10,先建立一个M文件：sensifcn1.m，然后输入以下MATLAB命令： G=tf(3,18,1,12,35,24,0); Gc=tf(5,4,6,2); H=tf(0.01,6,2,4); S=feedback(1,Gc*G*H); zpk(S),3.6.3 求解灵敏度函数,3.7 小结,（1）反馈控制系统的典型结构 讨论贯穿于全书的反馈控制系统的典型结构，推导其开环传递函数、闭环传递函数以及偏差传递函数，正负反馈的识别； 开环控制系统和反馈控制系统的区别：参考输入信号产生控制作用和偏差信号产生控制作用。 （2）闭环系统的稳定性和劳斯判据 建立系统的有界输入-有界输出稳定性定义。若开环传递函数G(s)的形成过程在Res0内无零极点相消，则有界输入-有界输出稳定性与渐近稳定性、零输入稳定性和内部稳定性是等价的。 劳斯判据，判定实系数多项式方程在平面右半平面是否存在根的充分必要代数判据。由于系统的运动模态决定其瞬态响应，由此得出闭环系统稳定的充分必要条件是要求其特征方程的根均位于平面的左半平面内，故劳斯判据也称为劳斯稳定判据。,3.7 小结,（3）反馈控制系统的特性： 改进系统的瞬态响应； 减小系统的稳态误差； 减小内部模型变化的灵敏度 提高对外部扰动的抑制能力。 （4）复杂反馈控制系统的结构与特性 多回路或者多通道的控制系统； 两种构成方式：形成局部反馈内回路、添加前馈补偿通道。 内环反馈校正、串级控制和前馈-反馈控制三种基本结构。,本章结束！,