四章正弦交流电路.ppt

第四章 正弦交流电路,第一节 正弦交流电的基本概念 第二节 正弦交流电的相量表示法 第三节 单一理想元件的交流电路 第四节 RLC串联的交流电路 第五节 阻抗的串联与并联 第六节 正弦交流电路的分析方法 第七节 功率因数的提高 第八节 正弦交流电路的谐振 第九节 非正弦交流电路,目录,习 题,第一节 正弦交流电的基本概念,正弦量 正弦量的三要素,返回,一、正弦量: 大小和方向随时间按正弦规律变化 的电压、电流和电动势统称为正弦量。,正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号。,当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号。,返回,i=Isin(t+ ),其波形如图,t,i,T,从表达式可以看出,当Im、确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素。,正弦电流 i 用三角函数表示为,返回,O,二、正弦量的三要素,1.周期T、频率f 和角频率 2.最大值和有效值,3. 相位、初相、相位差,返回,周期T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s)。 频率f : 1s正弦量变化的次数称为频率。 单位是赫兹(Hz)。 显然 f =1/T 或 T =1/f,1.周期、频率f 和角频率,角频率 :,单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度/秒（rad/s）。 =2/T=2f,返回,周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个。,2最大值和有效值,正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。Im、Um、 Em分别表示电流、电压和电动势的 最大值。,表示交流电的大小常用有效值的概念。,返回,把两个等值电阻分别通一交流电流i 和直流电流。如果在相同的时间内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流定义为交流电流的有效值。,所以交流电的有效值是瞬时值的方均根。,即,将电流的三角式带入上式中有:,返回,同理:,3.相位、初相、相位差,相位：我们把 t+ 称为相位。 初相：t0时的相位称为初相。 相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用 表示。,返回,例1、,两者的相位差为:,0 电压超前电流角 (或电流滞后电压 角) =0 电压与电流同相位 0 电流超前电压角 = ± 电流与电压反相,若:,返回,返回,u、i,t,O,解： =314rad/s，=2f f = /2=50Hz，T=1/f = 0.02s,i= 30°， u= 45° = u i=75°,例2、已知：i =10sin(314t+30°) A， ，试指出它们的角频率、周期、幅值、有效值和初相，相位差，并画出波形图。,返回,t,30°,u、i,10A,如图所示：,45°,u 滞后 i 75°, i 超前 u 75°。,返回,O,第二节 正弦交流电的相量表示,相量图表示法 相量表示法（复数表示） 基尔霍夫定律的相量形式,返回,一、相量图表示法 正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度Im 矢量初始角 矢量旋转速度,如图：,返回,O,O,该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值。,一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以速度旋 转相对位置保持不变。因此 ，在同 一相量图中，以t0时刻的相量表示 正弦量。,相量的写法为大写字母的上方加一 个“.”。,返回,例、用相量图来表示下列正弦量。,解：,120°,120°,u1 =Um sint V,120°,u2 =Um sin（t 120°）V,u3 =Um sin（t 240°）V,返回,注 意 只有正弦量才能用相量表示； 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上； 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求。,返回,二、相量表示法（复数表示）,我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示。,1. 复数表示法：,A=a+jb 代数式 A=r(cos +jsin)三角式,A=r e j 指数式 A=r 极坐标式,返回,O,其中, =arctan(b/a),a=r cos,b=r sin,2. 有关复数的计算,加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或相减。,返回,3、 正弦量的相量表示,一个复数的辐角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量。,R = a+jb 是t = 0 固定相量的复数形式。,返回,例、写出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,画出相量图。,解：,İ1= 2060°A,İ2=10-30°A,İ = İ1+ İ2 =(2060°+10 30°)A =20(cos60 ° +jsin60 °)+ 10cos(30°)+jsin (30°)A,返回,=22.3633.4°A,=（18.66+j12.39）A,=（10+j17.39+8.66j5）A,相量图为:,返回,三、基尔霍夫定律的相量形式,KCL i = 0 KVL u = 0,İ= 0 U= 0,i=i1+i2,返回,U=U1+U2,u u1u2,陷井挖好了，跳吧,返回,下列表达式书写正确的是：,来了？,来了？,哈哈，没掉下去！,第三节 单一理想元件的交流电路,电阻电路 电感电路 电容电路,返回,设,一、电阻电路,u,1. 电压与电流关系,i,为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量。,u、i 满足欧姆定律,返回,Im、Um（U、I）同样满足欧姆定律：,复数形式,复数形式欧姆定律,返回,可见：电压与电流同相位,i,u,相量图,返回,t,O,可见:P0 电阻是一个耗能元件。,2功率关系,瞬时功率,p= ui =UmImsin2t =UI(1-cos2t),(2)平均功率 = UI = I2R = U2/R,UI,返回,O,O,二、电感电路,u,i,1.电压与电流关系,设 i =Imsint u = L di/dt = LImcost =Umsin(t+90°) Um= LIm,感抗 U=XLI,XL= L,返回,单位：欧姆（）,因此:,相量表达式为:,电感中的电流滞后电压90° （电压超前电流90°）。,相量图,返回,2功率关系,(1) 瞬时功率,在正弦交流电路中，电感功率以2按正弦规律变化。,波形如图所示,pu i =ImUmsint cost IUsin2t,返回,显然,第一个 1/4 周期p0，电感吸收能量。 第二个 1/4 周期 p0，放出能量。它与电源间进行能量的互相交换。,t,u、i,t,p,i,u,返回,O,O,平均功率(有功功率),电感是储能元件,不消耗电能。,无功功率,无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模。,QL= U I = I 2 XL = U 2XL 单位: 乏（var）,返回,解：,XL= L=520 IL=UL/ XL=0.336A 电感中电流落后电压90º,QL=ULIL=69.54var,例、设电感1.65H, = 314 rad/s ，求XL、iL、QL 。,返回,三、电容电路,u,i,C,1.电压与电流关系,设：,返回,容抗,电容中的电流超前电压,相量图,返回,单位：欧姆（）,相量表达式为：,2. 功率关系,（1）瞬时功率,返回,t,u、i,t,p,显然,第一个1/4周期p0，电容储存能量。 第二个1/4周期p0，放出能量。,u,i,返回,O,O,（2）平均功率（有功功率）,电容是储能元件，不消耗电能。,（3）无功功率,无功功率反映的是电容与电源间能量 互相交换的规模。,单位是乏（var）,返回,例1、设电容C0.1F, = 6280 rad/s uC=10sin(t+30°)V，求XC 、İC 、QC。,解：,XC= 1C=1.59k,电容中电流超前电压90º İC =4.45 30º+90º = 4.45 120ºmA QC=UCIC=31.6×103 var,返回,例2、已知XL=10，R= 2，A2表读数2A，设个表均为理想电表,求其余各表读数。,A,A1,A2,V,R,L,解：,U=I2XL=2×10V=20V,I1=U/R=20/2A=10A,İ = İ 1+ İ 2 =(10j2)A =10.2 11.3°A,设İ1= 100 °A =10A,İ2= 290 °A =j2 A,A1: 10A、A: 10.2A、V:20V,返回,例3、已知各电流表读数为A1=5A, A2=20A， A3=25A，求(1)A表读数 (2)若维持A1读数不变,而把电路频率提高一倍，再求其它表读数。,R,L,C,解：,设 İ1=50°A= 5A İ2= 2090°A=j20A İ3= 2590°A=j25A,İ = İ 1+ İ 2+ İ 3 =(5+j5)A,·,·,A:7.07A,返回,(2)若维持A1读数不变, R两端电压不变，,U = RI1 = XLI2 = XCI3 XL = L , XC = 1/C f 提高一倍，'=2 U =L I2' = 2L I2' = 2L I2' I2' = 0.5I2 =10A XCI3 =0.5XCI3 ' I3 ' = 2I3=50A İ = İ1+ İ2+ İ3 =40.3182.9°A A2: 10A 、A3:50A、A:40.31A,返回,第四节 RLC串联的交流电路,电压与电流关系 功率关系,返回,一、电压与电流关系,i,R,L,C,u,以电流为参考正弦量， i = Im sint 即İ =I0°,1. 相量图法,相量图为：,返回,可见：,UR,ULUC,U,电压三角形,返回,总电压有效值 U=UR+UL+UC U 2= UR2+（ULUC）2,电抗与阻抗,U 2= UR2+UL2 +UC2,返回,式中 X=XLXC 称为电抗,称为阻抗，单位,U=Iz,相位关系,可见 是由R、L、C及决定的。,返回,90° 0 电压超前电流电路呈感性。 90° 0 电流超前电压电路呈容性。 = 0 电压与电流同相,电路呈纯阻 性。,2.复数形式分析法,返回,Z为复阻抗,Z=R+j(XLXC) = z,复数形式欧姆定律,阻抗三角形, 角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角。,R,XL-XC,z,R= z cos X= z sin,返回,在RLC串联交流电路中，R=15， L=12mH, 电源电压 ， C=5F,求:电路中的电流i 和各部分电压uR ,uL ,uC (2)画相量图。,例1、,解：,=60,=5000×12×103,XL=L,=40,=15000×5×106,XC=1/C,返回,返回,相量图如图：,返回,例2、已知R1=1k，R2=300，L=0.4H，=103rad/s，电压表V1的读数为2V，试求其余电压表的读数。,R2,L,u,i,R1,V2,V1,解：,设u1为参考正弦量,则I=U1/R1=2mA İ = 20°mA,=(300+j400) ×2×103V =500 53.2°×2×103 =1 53.2°V,返回,相量图：,=2V+1 53.2 °V = 2.72 17.1°V, V2表读数1V，V表读数2.72V。,返回,例3、RC串联电路中,总阻抗z = 2000, f =1000Hz , u与uC夹角为30°, 试求R、C。,解：,设i 为参考正弦量 İ=I0°,作相量图：,30°,可得,z、R、XC满足阻抗三角形 有 R= zcos =1000 XC= zsin =1732 C = 1/XC=0.1F,返回,1. 平均功率 (有功功率）,在RLC电路中，只有电阻消耗功率,所以电路的有功功率为：,P = URIR,P =UIcos,式中cos为功率因数。,在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和。,Z = R + jX,二、功率关系,返回,2. 无功功率,电路中无功功率包括电感和电容两个 元件的无功功率。,QL=ULI QC=UCI,Q = QLQC,Z = R + j(XL-XC),QUIsin,返回, 0， Q0 电路呈感性 0 ， Q0 电路呈容性,P = UIcos = Scos Q = UIsin = Ssin,3.视在功率,S=UI,单位是伏安（VA）,一般它表示发电设备的容量。,返回,得出功率三角形：,P,Q,S,返回,阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 是三个相似的三角形。,总结：,返回,例4、某感性负载端电压 P=7.5kW,Q=5.5kvar,试求感性负载的 功率因数及其串联参数。,解：,= 0.81 =35.9°,电路为串联,= 42.1A,R = PI 2 = 4.2,XL=Rtan =3.04,L=XL = 9.7mH,返回,U=IZ,i İ1İ2,陷井挖好了，跳吧,R= Zcos,返回,下列表达式书写正确的是：,来了？,来了？,哈哈，没掉下去！,第五节 阻抗的串联与并联,阻抗串联的交流电路 阻抗并联的交流电路,返回,一、阻抗串联的交流电路,i,Z1,Z2,串联等效复阻抗为：,分压公式为：,返回,二、阻抗并联的交流电路,Z1,Z2,分流公式：,返回,已知 R1=100 ，R2=1000 ， L=2H，C =10F， ,求u、i 。,例、,R2,L,u,i,R1,解：,C,iC,iL,İCm= 160°A,按分流公式：,XC=318,XL=628,返回,= 0.8945.1°A,= 10035775.1° =39561°,返回,第六节 正弦交流电路的分析方法,例 题,返回,X2,u,R1,X3,X1,解：,a,b,Z1=jX1+R1=(j10+2) Z2=jX2=j10 Z3=jX3=j5 Zab=Z2Z3=10j =1090°,Uab=I1 zab=10×10V=100V,返回,=(j10+j20)(2+j10)V+100V =j20V=2090°V,İ1 = j10 A=10 90°A = 0, cos =1,返回,PUIcos 10×20×1W200W Q UIsin 10×20×00var SUI200VA,返回,例2、已知U=100V, =314rad/s,I=IC=IL,电 路消耗功率P866W，试求iL、iC、i 。,R,L,u,i,C,iC,iL,解：,设u为参考正弦量, iL+iC = i 且 I= IC=IL所以İC 、İL和İ 组成等边三角形,30°,= 10A,作相量图：,返回,有些情况借助于相量图求解方便。画相 量图时,参考相量的选择很关键。一般, 串联电路选电流为参考相量,并联电路 选两端电压为参考相量,在串、并混联 电路选最基本的并联电路的端电压为 参考相量。,返回,例3、 图示正弦交流电路中, P = 200 W, U=40V， R=XC=8， 求İ、İ1、İ2、XL、UL 。,R,XL,XC,İ,İ1,İ2,45°,作相量图：,İ1=50°A,İ2=590°A,İ=7.0745°A,Uab=I1×R40V,a,b,返回,设 为参考正弦量,例4、已知 R1=1k，f =50Hz，I1=0.035A， I2=0.01 A，I=0.04A，求R、L。,R,L,u,i,R1,i2,i1,解：,İ=I = 0.04A İ2=I22= 0.012A,有 İ= İ1+İ2,0.04= 0.035+0.012 4= 3.5+12 4cos +j4sin = 3.5+cos2 +jsin 2,返回,设, 4cos = 3.5+ cos2 4sin = sin2,两式取平方相加 42=3.52+7cos2 +1 cos2=0.4，sin2 =0.916 U=I1R=35V z2=UI2=3500 R= z2 cos2 =1400 XL= z2 sin2 =3210 L=32102f = 10.2H,返回,第七节 功率因数的提高,负载的功率因数cos 低带来的问题 提高功率因数的方法,返回,一、负载的功率因数cos低带来的问题,1.电源设备的容量不能充分利用 交流电源的额定容量为SN=UNIN， 因为PSNcos ,发电机能够输出的有功 功率和负载的功率因数cos 成正比。,所以，负载的功率因数低，电源发出的有功功率就小，电源的容量得不到充分 利用。,例1、一个SN=50kVA的电源，向功率因数cos1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的日光灯_只,如果用来供应cos2=1的40W日光灯，则可供应_只？ P=n×40=SNcos n1=50×103×0.5/40=625 n2=50×103×1/40=1250,625,1250,返回,2. 供电效率低（输电耗能大）,P=UIcos I=P/Ucos 当输电线路的电压和负载的功率一定 时，输电线上的电流与cos 成反比。 cos 越小，I越大。设输电线的电阻为r, 则它引起的功率耗损为：,P = I2r =(P/Ucos)2r cos 低，功率损耗大。降低了供电效率。,返回,纯电阻电路,R-L-C串联电路,纯电感电路或 纯电容电路,电动机 空载 满载,日光灯 （R-L-C串联电路）,常用电路的功率因数,返回,二、提高功率因数的方法 工业负载多数是感性负载，因此提 高负载功率因数可在其两端并联电容。,提高功率因数的基本思想是减少无功功率。,返回,作相量图：,显然： cos cos II,电容的选择：,UI sinUIsin= QC =U2XC=U2C I=PUcos I=PUcos C=（PU2）(tantan ),返回,例2、 某发电厂以22万伏的高压向某地输送24 万千瓦电力,若输电线路的总电阻r =10， 试计算当电路的功率因数由0.6提高到0.9 时,输电线上一年少损耗多少电能?,解: 当cos1=0.6时, 线路中的电流 I1=P/Ucos1=1818.2A 当cos=0.9时,线路中的电流 I=P/Ucos =1212A 一年输电线上少损耗的电能为: W = (I12-I2) r t =1.609×1011W·h =1.609×108kW·h,返回,例3、感性负载功率 P=100W，cos =0.2 接于 U=750V， f =1000Hz的电源上 , 求（1）电源输出电流及无功功率； （2）若使功率因数提高到cos =1 C=？并计算此时电源输出电流 及无功功率。,解：(1),I=P/Ucos =667A,Q=U I sin=490.2kvar,(2) = 78.5° = 0°,C=（PU2）(tantan ) = 138.7F,cos=1, I=P/U =133.3A Q0,返回,呈电容性,呈电感性,功率因数补偿到什么程度？ 理论上可以补偿成以下三种情况:,呈电阻性,返回,结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。,过补偿,欠补偿,返回,第八节 电路的谐振,串联谐振 并联谐振,返回,在含有电感和电容元件的电路中,若出 现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯 电阻性,此时电路的状态称为谐振。,一、串联谐振,谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振。,Z=R+j(XLXC),返回,1.谐振条件 谐振时, =0 则有 XL=XC,2.谐振频率 根据谐振条件有L=1C,f0仅与L、C有关，改变、L、C可使电路发生或消除谐振,谐振角频率,谐振频率,返回,3.谐振特征 z0=R 最小, I0=U z0=UR 最大。 谐振时 XL=XC， UL=UC U=UR cos=1 UL=I0XL=（UR）XL =（XLR）U UC=I0XC=（UR）XC =（XCR）U,一般 XL=XCR， UL=UCU,返回,品质因数Q,Q是一个无量纲的参数,UL=QU=QUR UC=QU=QUR,功率,P0=UI0=I02R Q0=0,返回,电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗。,QL=I02XL=P0Q QC=I02XC=P0Q,相量图为：,返回,电流谐振曲线,4.电流频率特性,返回,I,O,f = f2 f1 可见,通频带f 越小，表明谐振曲线越尖锐，选择性越好。一般Q值越大曲线越尖。,Q2 Q1,返回,I,O,在RLC串联交流电路中，C=8F, 电压 ,要 使电路吸收功率P=Pmax=100W。求L、 R及电路的Q值。,例、,解：电路发生谐振时，电流I最大，则 P=RI2=100W最大 0=2500 rad/s L=1/ 02C=(1/25002×8×106)H= 0.02H RU2/P102/100=1 Q0L/R=2500×0.02/1=50,返回,收音机接收电路,接收天线,与 C ：组成谐振电路,将选择的信号送 接收电路,返回,L2C组成谐振电路 ，选出所需的电台。,e1、e2、 e3为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；,返回,已知：,解：,结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到e1的节目。,返回,二、并联谐振,图示为一线圈与电容并联的电路。,1.谐振条件 当XL/(R2+XL2)1/XC 或 2f L/R2+(2f L)2 2f C 时， 电压与电流同相位，发生谐振。,返回,3.并联谐振的特征 电路的阻抗最大，电流最小。 z0(R2XL2) R R2(2f0L)2 RLRC,2.谐振频率 由谐振条件可推出谐振频率为 一般 R2/L21/LC 那么有：,返回,谐振时ILICQI0 其中Q 0LR 10RC,相量图为：,谐振时 0 电路呈纯电阻性。,I0Uz0URCL,返回,4. 并联谐振特性曲线,返回,|Z|、I,O,例、电路如图，若无论电源频率为何值，电压u与电流i 都同相，则电路参数用满足什么条件。,R1,L,u,i,C,R2,解：电压与电流同相 位，发生谐振。,ZR,返回,虚部、实部分别相等有 R(R1+R2) R1R2+LC (1) R2LR1CRLR C (2),要使(2)对任意都成立则 RR1R2 代入(1) 2R2R2+ L/C,当满足RR1R2 时，电路对任意频率的信号都发生谐振。,返回,第九节 非正弦交流电,非正弦周期信号的分解 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电路的计算,返回,几种常见的非正弦波,返回,整流波形 矩形波电压 锯齿波电压,O,O,O,一、非正弦周期交流信号的分解,返回,周期为T的f(t)的傅里叶展开式为,2T ，k为1的正整数,返回,其中,由此，可得到另一种形式,返回,基波（和原 函数同频）,二次谐波 （2倍频）,直流分量,高次谐波,返回,其中,二、非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率,1. 有效值,假设一非正弦周期电流i(t)，分解后得：,若,则有效值:,返回,结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。,利用三角函数的正交性得：,返回,返回,非正弦周期变量平均值为：,2. 平均值,非正弦周期变量平均值等于它的直流分量,返回,3. 平均功率,返回,结论： 平均功率直流分量的功率 各次谐波的平均功率,利用三角函数的正交性，整理后得：,返回,三、非正弦周期电路的计算,2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波 信号分别计算。 （注意:对交流各谐波的 XL、XC不同，对直 流C 相当于开路、L相于短路。）,1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号。,求：,E,+,_,R4,4k,i1,R1,R3,R2,C2,C1,u4,e,4k,4k,2k,10µF,10µF,_,+,返回,(1) 直流电源作用,(E作用，e 短路),直流通道,返回,E,+,_,R4,4k,I1,R1,R3,R2,4k,4k,2k,(2)交流电源作用 （e作用，E1 短路）,（C2称旁路电容）,R4,4k,R3,R2,4k,4k,2k,返回,（C1称耦合电容）,返回,u4“,i1“,R4,4k,R1,R2,e,4k,2k,_,+,简化后的交流通道,对交流通道进行简化后的计算,返回,最后结果：交、直流叠加,返回,O,计算非正弦周期交流电路应注意的问题,1. 最后结果只能是瞬时值叠加。,不同频率正弦量不能用相量相加。,2. 不同频率对应的 XC、XL不同。,返回,