毕业设计（论文）-直线一级倒立摆的计算机控制.doc

直线一级倒立摆的计算机控制 直线一级倒立摆的计算机控制摘 要倒立摆是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，基于牛顿欧拉方法建立了直线一级倒立摆系统的数学模型，并分析其稳定性及可控性。论文中应用的两种控制算法是PID控制和状态反馈极点配置控制:PID控制器结构简单，容易调节,但是PID控制器存在的缺陷是只能单一的对摆杆进行控制而不能对小车进行控制。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，基于极点配置控制器进行了MATLAB仿真，并且结合实物实验完成直线一级倒立摆的控制研究。关键词：直线一级倒立摆， PID控制，极点配置，MATLAB仿真Computer control of Linear inverted pendulumAbstract The controlled system of the inverted pendulum is an absolutely instability , high time, multivariable, the nonlinear system of strong coupling , mathematical model of Linear inverted pendulum system is established by Newton Euler method, and analyzed its stability and controllability.PID controller its simple structure, easy to adjust, and without needing to build an accurate model of the system, the control application is more extensive. However, defect of PID controller is that it can only control the pendulum and can not control the car. Pole placement will configure closed-loop systems pole of multivariable system in the desired position, going on the MATLAB simulation based on Pole placement controller, and combined physical experiments to complete Linear Inverted Pendulum Control.Key words: linear inverted pendulum, PID control, pole placement, MATLAB simulation33目 录第一章 绪论11.1 课题的背景及意义11.2 倒立摆的控制目标11.3 倒立摆的控制方法11.4 倒立摆系统的发展状况21.5 本文研究的主要内容和思路3第二章 直线一级倒立摆数学模型的建立52.1 直线一级倒立摆系统运动方程的推导52.2 系统的物理参数92.3 系统的实际模型92.4 直线一级倒立摆系统的分析102.5 本章小结13第三章 直线一级倒立摆的PID控制143.1 PID控制原理143.2 仿真软件MATLAB/Simulink简介163.3 PID控制参数设定及仿真163.3.1 PID参数整定的基本方法163.3.2 采用PID控制的仿真研究173.5 本章小结22第四章 状态反馈极点配置控制234.1 状态空间分析234.2 极点配置及仿真254.2.1 反馈矩阵的设计254.2.2 状态反馈极点配置仿真284.3 极点配置实时控制实验294.3.1 实时控制软件简介294.3.2 实时控制结果304.4 本章小结31结束语32参考文献33致谢34 第一章 绪论1.1 课题的背景及意义倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉、结构简单、物理参数和结构易于调整的优点。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其控制系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统是研究变结构控制、非线性控制、目标定为控制和智能控制等多种控制方法的理想实验平台，被誉为：“控制领域中的一颗明珠”。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，是检验某种控制理论或控制方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。1.2 倒立摆的控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有较大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。直线倒立摆控制的目的是：小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。1.3 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移(即位置)和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力平行于轨道的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置(竖直向下)。为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下：用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。倒立摆刚开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动。经过几次摆动后，摆杆能自动直立起来。这种被控量既有角度，又有位置，且它们之问又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。1.4 倒立摆系统的发展状况倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领域研究的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。倒立摆系统研究最早始于上世纪50年代，麻省理工学院(MIT)机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。1966年Schaefer和Cannon应用BangBang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。1976年，Mori etc首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制。1993年，Wiklund等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆。1997年，Gordillo比较了LQR方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比遗传算法控制效果更好。国内对倒立摆的研究始于80年代，虽然起步较晚但发展迅速，取得了可喜的成果。对于单级倒立摆和二级倒立摆系统的研究已经历了很长的历程，并且有很多控制成功的报道。在此基础上，三级倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。1994年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制。李德毅教授利用反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，给出云发生器的生成算法，解释多条定性推理规则同时被激活时的不确定性推理机制，利用这种智能控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三级倒立摆的多种不同动平衡姿态，显示其鲁棒性，并给出了详细试验结果。朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制侧。2005年国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于LQR的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。总之，倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。目前应用在倒立摆上的算法主要有以下几类：(1)经典控制理论：PID控制。通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型，设计PID控制器实现控制。(2)现代控制理论：状态反馈。通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。常见的方法有：极点配置，线性二次型最优控制，状态反馈控制。1.5 本文研究的主要内容和思路本论文的主要工作研究了直线一级倒立摆的稳摆问题。采用了经典控制理论中的PID控制以及现代控制理论中的状态空间极点配置。建立了数学模型并用MATLAB/Simulink对系统进行仿真来设计并整定各方案的控制器参数，然后在固高科技(深圳)公司的实验平台上进行实验验证，通过倒立摆的实物系统的控制证明了仿真控制器的正确性和稳定性。主要内容如下：第一章主要简述了倒立摆研究的背景及意义，控制目标、控制方法，并且结合国内外的研究现状，详细介绍了倒立摆系统当前存在的问题及研究的若干关键方向。第二章主要介绍了直线一级倒立摆的数学模型的建立。基于牛顿-欧拉方法推导出直线一级倒立摆的运动方程，将运动方程进行拉普拉斯变换后利用现代控制理论原理得到直线一级倒立摆的状态空间方程的实际模型，并且通过MATLAB/Simulink仿真结果直观地看到直线一级倒立摆的稳定性、可控性等性质。第三章简要介绍了直线一级倒立摆的PID控制。通过直线一级倒立摆系统的控制结构框图建立PID控制器的传递函数，经过调节PID控制器的参数，在Simulink/MATLAB仿真软件中得到满意的控制效果，并简要介绍了MATLAB/Simulink仿真环境。第四章简要介绍了直线一级倒立摆的状态空间极点配置控制。由于在第二章已经得到了系统的比较精确的状态空间表达式，通过对状态空间的分析进行极点配置以及软件仿真，最后通过实物系统验证试验结果，并简单介绍了固高公司的实时控制软件以及该软件实验平台的主要特点。第二章 直线一级倒立摆数学模型的建立建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的前提。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。机理建模是对系统各部分的运动机理进行分析，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。实验建模就是通过激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用牛顿欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。2.1 直线一级倒立摆系统运动方程的推导倒立摆系统是一种复杂的要求快速性很高、有很强非线性的系统，为了简化直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，基于以下假设：(1)忽略空气阻力。(2)将系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统。(3)忽略摆杆与支点之间等的各种次要摩擦阻力。(4)皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 2.1 所示。图2.1 直线一级倒立摆模型图2.2是系统中小车的受力分析图，图2.3是系统中摆杆的受力分析图其中。N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2.2 小车受力分析图图2.3 摆杆受力分析图注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的合力，见图2.3,可以得到以下方程： (2-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (2-2)即： (2-3)把这个等式代入式(2-1)中，就得到系统的第一个运动方程： (2-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，见图2.3所示，可以得到下面方程： (2-5) (2-6)力矩平衡方程如下： (2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于 = + ,cos = cos ,sin = sin ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程： (2-8)设 = +（ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），该系统是明显的非线性系统。为便于控制器的设计，需要将系统在工作点(=0)进行线性化处理。当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小，即 <<1时，则可以进行近似处理：为了与控制理论的表达习惯相统一，用U表示被控对象的输入力，经线性化处理后系统的数学模型成为如下微分方程表达式： (2-9) 对式(2-9)进行拉普拉斯变换，得到 (2-10) 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到： (2-11) 或 (2-12)如果令v = x，则有： (2-13)把上式代入方程组的第二个方程，得到： (2-14) 整理后得到传递函数： (2-15) 其中 由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式： (2-16) 式(2-16)中，u表示系统控制输入向量，x表示系统状态变量，y表示系统的输出向量，A表示系统的状态矩阵，B表示系统控制输入矩阵，C表示系统输出观测矩阵，D表示系统输入输出矩阵。方程组对解代数方程，得到解如下： (2-17) 整理后得到系统状态空间方程： (2-18) 只要将直线一级倒立摆的实际结构参数代入式(2-18)中，便可得到矩阵A、B、C、D。2.2 系统的物理参数实际系统的模型参数如下：M 小车质量 1.096 Kgm 摆杆质量 0.109 Kgb 小车摩擦系数 0.1 N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25 mI 摆杆惯量 0.0034 kg*m2.3 系统的实际模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数： (2-19)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： (2-20) 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： (2-21)以外界作用力作为输入的系统状态方程： (2-22)以小车加速度作为输入的系统状态方程： (2-23) 需要说明的是，本文的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入。如果需要也可以采用力矩控制的方法，把外界作用力作为输入。2.4 直线一级倒立摆系统的分析若系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，但扰动去除后，如果能恢复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则该系统就是不稳定的。前面已经得到系统的状态方程，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：运行程序后得到如下的曲线：图2.4 直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真 可以看出，在单位阶跃响应的作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的，即：直线一级倒立摆系统是不稳定的系统。在得到系统的数学模型之后，为进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。竖直向上位置是直线一级倒立摆系统的不稳定平衡点，可以设计稳定控制器来使直线一级倒立摆系统稳定在这个点。既然需要设计控制器稳定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。对于连续时间系统： 系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组是线性无关的，或n*n维矩阵的秩为n。系统的输出可控性条件为：当且仅当矩阵的秩等于输出向量y的维数。应用以上原理对系统进行可控性分析， 代入上式，并在MATLAB中计算：运行程序后的结果为：Ans = 4 ans = 2可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。所以，可以得知直线一级倒立摆系统是一个不稳定且状态以及输出都能控的系统。2.5 本章小结本章详细讨论了采用牛顿力学的分析方法建立直线一级倒立摆数学模型的过程，并将得到的非线性模型在倒立摆的平衡位置附近进行线性化，得到线性的状态方程，并以得到的线性化的数学模型为基础分析了其稳定性，输入输出的能控制性。由于倒立摆固有的特性，其平衡点均是不稳定平衡点，但其又是能控的。第三章 直线一级倒立摆的PID控制3.1 PID控制原理当今的自动控制技术都是基于反馈的概念，反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。PID(比例-积分-微分)控制是一种简单而又优秀的控制方法，在生产过程自动化控制的发展历程中，PID控制是一种历史最悠久、生命力最强的基本控制方法。PID控制器作为最早实用化的控制器已有50多年的历史，并且直到现在仍然是应用最广泛的工业控制器。在PID中因将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器，其原理图如下所示：图3.1 PID控制器原理图PID控制器各个校正环节的作用如下：(1)比例环节：成比例的反馈控制系统的偏差信号e(0)仪产生，控制器立即就产生控制作用，使被PID控制的对象朝着使偏差减小的方向变化。其控制作用的强弱取决于比例系数Kp的大小，Kp值越大则过渡过程越短，控制结果的静态偏差也越小。加大KP虽然可以减小偏差，但是Kp过大会导致系统的超调量增大或产生震荡现象，最终使系统的动态性能变差。(2)积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。从积分环节的数学表达式可以看出，只要存在偏差，其就会不断增加。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti的大小，Ti越大则积分作用越弱，反之则越强。当Ti较大时，积分作用较弱，这时系统在过渡过程中不易产生震荡，但是过渡时问较长：当Ti较小时，积分作用较强，这时过渡时间较短，但是有可能产生震荡。(3)微分环节：反映偏差信号的变化趋势(变化速度)，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修定信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。微分部分作用的强弱由微分时间常数TD的大小决定，Kd越大则抑制偏差变化的作用越强，反之则越小。同时Td的大小对系统的稳定性也有很大的影响。PID控制以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即，当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定rin(t)与实际输出值yout(t)构成控制偏差： （3-1）PID的控制规律为： （3-2）或写成传递函数的形式： （3-3）式中，为比例系数；为积分时间常数；为微分时间常数。PID控制具有以下优点：(1)原理简单，使用方便，PID参数可以根据过程的动态特性及时整定。虽然倒立摆模型是非线性的，但通过对其简化可以变成基本线性的系统，这样PID就可控制了。另外PID参数较易整定。也就是，PID参数Kp，Ki和Kd可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。(2)适应性强，按照PID控制规律进行工作的控制器早己商品化，使得其的应用范围十分广泛。虽然很多被控对象是非线性的或时变的，但是通过适当的简化，可以将基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样就可以通过PID控制了。(3)鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性的变化不太敏感。同时PID控制也具有其固有的缺点：PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不是很好。虽然PID控制具有以上缺点，但是其仍因其自身的优点而得到了最广泛的应用，PID控制规律仍是应用最普遍的控制规律。3.2 仿真软件MATLAB/Simulink简介倒立摆实物控制系统是一个典型的计算机控制系统，其控制是通过软件编程实现的，因此控制程序的编写是实现倒立摆实物系统控制的重要环节。Simulink是用来建模、分析和仿真各种动态系统的交互环境，包括连续系统、离散系统和混合系统。Simulink提供了采用鼠标拖放的方法建立系统框图模型的图形交互平台。通过Simulink提供的丰富的功能块，可以迅速地创建动态系统模型。同时Simulink还集成了Stateflow，用来建模、仿真复杂事件驱动系统的逻辑行为。另外，Simulink也是实时代码生成工具Real-Time Workshop的支持平台。控制系统仿真研究是一种很常见的需求，系统在某些信号驱动下，观测系统的时域响应，从中得出期望的结论。对于复杂的系统来说，单纯采用上述的方法有时难以完成仿真任务。比如说，若想研究结构复杂的非线性系统，用前面介绍的方法则需要写出系统的微分方程，这是很复杂的。如果有一个基于框图的仿真程序，则解决这样的问题就轻而易举了。Simulink 环境就是解决这样问题的理想工具，它包含一个庞大的模块库，用户可以通过鼠标点击和拖拉模块既快速又方便地对系统进行建模仿真，而不必编写任何程序代码。它还能在同一屏幕上进行仿真、资料显示和输出波形。Simulink环境是解决非线性系统建模、分析与仿真的理想工具。3.3 PID控制参数设定及仿真3.3.1 PID参数整定的基本方法PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小，使得自动控制系统工作在最佳的状态。从PID控制器的三个参数的作用可以看出三个参数直接影响控制效果的好坏，所以要取得较好的控制效果，就必须对比例、积分、微分三种控制作用进行调节。总之，比例主要用于偏差的粗调，保证控制系统的稳；积分主要用于偏差的细调，保证控制系统的准；微分主要用于偏差的细调，保证控制系统的快。PID控制器参数整定的方法很多，概括起来有两大类：1.理论计算整定法，主要是依据系统的数学模型，经过理论计算确定控制器参数。这种方法所得到的计算数据未必可以直接用，还必须通过工程实际进行调整和修改。同时理论计算整定法必须知道控制对象的数学模型，还需要用到控制理论和数学方面的相关知识，比较复杂，不易被工程技术人员所掌握。因此，理论计算整定法在实际中应用不是很广泛。2.工程整定方法，主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，并且不需要获得调节对象的准确动态特性。因其方法简单、计算方便、易于掌握，所以在工程实际中被广泛采用。PID控制器参数的工程整定方法，主要有稳定边界法、4：1衰减法、鲁棒PID参数整定法和ISTE(Integral Squared Time-weighted Errors)最优参数整定法。这四种方法各有其特点，稳定边界法和4：l衰减法的上升时间短、调节过程快：而鲁棒PID参数整定法和ISTE最优参数整定法超调量小，调节过程比较平稳，鲁棒性好。这四种方法中，稳定边界法简单方便、易于掌握；4：1衰减法超调量大，在一些特殊情况下，可能得不到4：1衰减比时的比例度和操作周期，有一定的局限性，此外其鲁棒性也差；ISTE调节时间长;鲁棒PID参数整定法在被控对象的有关工程参数比较准确时，该法整定的参数就比较偏保守。通过对以上四种PID参数整定方法的比较，我们可以看到，控制系统的快速性和鲁棒性是相互矛盾和相互制约的。这四种方法的共同点都是通过试验，然后按照工程经验公式对控制器参数进行整定。但无论采用哪一种方法所得到的控制器参数，都需要在实际运行中进行最后调整与完善。3.3.2 采用PID控制的仿真研究在PID参数整定中，工程整定法因其固有的优点而受到广大工程技术人员的欢迎。同时工程整定法中的稳定边界法由于简单易行而仍在广泛的使用，但是稳定边界法在常规的实验中还是有其固有的弱点，如在做实验时必须把控制系统调到等幅震荡，这样就可能会影响实验设备而使其受到损坏。此时，我们就想到利用软件仿真的形式来实现对PID参数的整定，而MATLAB/Simulink就给我们提供了一个良好的软件平台。下面我们在MATLAB/Simulink仿真环境下整定倒立摆控制系统的PID参数。我们很容易建立如下的倒立摆的PID控制的框图：图3.4 倒立摆PID控制框图根据以上的控制框图，代入倒立摆系统的开环传递函数MATLAB/Simulink中已有的PID控制模块，我们可以建立如下的输入信号为阶跃函数的仿真模型，并通过观察摆杆的角度随时问变化的曲线来整定PID控制器的参数。图3.4 倒立摆控制系统在MATLAB/Simulink下的仿真模型实际系统的物理模型：使用稳定边界法整定参数的步骤如下：1.将控制器的积分系数Kd和微分系数Ki均设置为0，比例系数Kp设置为较小的值，使系统投入稳定运行。2.逐渐增大比例系数Kp，直到系统出现等幅震荡，并记录下此时的临界震荡增益K和临界震荡周期T。3.根据K和T的值，采用表3.1中的经验公式，计算出调节器的各个参数，即 Kp、Ki 和 Kd 的值。表3.1 稳定边界法参数整定的计算参数在图3.4中双击模块Gain,Gain1,Gain2可以分别设置对应的参数Kp、Ki 和 Kd 的值。现在输入Kp=9, Ki=0, Kd=0, 双击Scope1可以得到如下仿真的摆杆的角度随时间变化的曲线图：图3.5 直线一级倒立摆P控制仿真结果图（Kp=9）从图3.5我们可以看出在在Kp=9时控制曲线不收敛，因此必须增大控制量，即增大Kp。随后我们不断通过增大Kp做相应的仿真，并观察仿真曲线变换情况，直到系统出现等幅振荡为止。现在输入 Kp=36 ，Ki=0 ，Kd=0，得到仿真结果如下：图3.6 直线一级倒立摆P控制仿真结果图（Kp=36）通过观察示波器Scope1的输出，即上图，由上图我们可以发现在Kp=36时系统出现了等幅振荡。同时记下此时的K，即为临界增益；此时曲线两峰值之间的距离即为临界振荡周期T。由上图我们可以看出K=60，T=0.6s。根据表3.1的公式我们可以得出Kp=36、Ki =30、Kd=89.1，输入到PID控制器模块后得到仿真曲线如下：图3.7 直线一级倒立摆PID控制仿真结果图（Kp=36, Ki=30，Kd=89.1）从上图我们可以看到在暂态时最大超调量比较小，曲线也比较平缓，几乎没有振荡，但是调整时间大，这么长的调整时间显然是不满足倒立摆这种对实时性要求非常高的控制系统，所以还必须进一步调整控制参数。为此我们通过减小Kd方法来达到来减小系统的调整时间，我们取Kd=10，得到的仿真结果如下：图3.8 直线一级倒立摆PID控制仿真结果图（Kp=36, Ki=30，Kd=10）从上面的仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。同时我们还可以通过双击Scope得到图3.9所示的小车位置的变化曲线：图3.9 直线一级倒立摆系统小车位置曲线从图3.9可以看出小车的位置曲线的发散的，即小车是向一个方向运动的，所以PID控制器并不能使小车处于平衡位置，这是由PID控制器的单输入单输出的特性决定的，所以为了实现对摆杆角度和小车位置的双重控制，我们必须寻求其他的控制方法。在下一章我们就现代控制理论的状态空间极点配置作详细的介绍，并试图用其对倒立摆系统实现良好的控制。3.5 本章小结本章简要介绍了PID控制算法，并推导出直线一级倒立摆的PID控制模型，并据此构建了MATLAB/Simulink下的仿真模型。在基于MATLAB/Simulink仿真环境下使用稳定边界整定法较好的整定的控制参数，对摆杆角度起到了良好的控制效果。通过系统最终的仿真曲线，我们看出PID控制器只能很好的控制摆秆的角度，而对小车的位移却无法控制，这也说明具有单输入单输出特性的PID算法是无法较好的控制倒立摆的，所以必须谋求新的控制算法。第四章 状态反馈极点配置控制经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。状态反馈控制系统设计简单，计算量小，可事先确定控制器可能产生的最大控制作用，反馈系数调整容易，易于改变闭环系统的极点位置，从而可以很容易改善控制系统的控制性能，抗干扰能力强、鲁棒性能好、在线调整方便灵活。单级倒立摆稳定控制有四个输入、一个控制输出，四个输入分别是：，一个输出就是u；即在本系统中四个输入分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置、摆杆角速度，输出u就是对小车施加的作用力(实际控制中以加速度体现)。可以选择为系统的状态变量。倒立摆系统是一个绝对不稳定的系统，它具有不稳定的开环极点，然而前面已验证，该系统是一个能控的系统，因此可以通过状态反馈极点配置的方法使系统保持稳定。通过仿真及实际实物证明，应用状态反馈方法设计控制器可以很好的实现对倒立摆的稳定控制。4.1 状态空间分析对于控制系统 式中 为状态向量（n维） 控制向量（纯量） n * n 维常数矩阵 n * n 维常数矩阵选择控制信号为： 图4.1 状态反馈闭环控制原理图求解上式，得到 （4-1）方程的解为： （4-2）可以看出，如果系统状态完全可控,K选择适当，对于任意的初始状态，当 t 趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。极点配置的设计步骤：1) 检验系统的可控性条件。2) 从矩阵 A 的特征多项式来确定的值。3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T:其中 M 为可控性矩阵，4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式并确定的值。5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定： （4-3）4.2 极点配置及仿真4.2.1 反馈矩阵的设计前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为： （4-4）于是有： （4-5）对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比 = 0.5）。下面按极点配置步骤进行计算反馈矩阵 K。1) 检验系统可控性：前面的内容已经分析过，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数4，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数2，所以系统可控。图4.2 倒立摆极点配置原理图2)计算特征值根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为 2），我们选取期望的闭环极点s =i (i= 1,2,3,4)，其中：其中，是