导数在不等式证明中的应用毕业论文.doc

山东财经大学 本科毕业论文本科毕业论文( (设计设计) ) 题目：题目： 导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用 Applications of Derivatives in Proving of Inequality 学学 院院 统计与数理学院 专专 业业 信息与计算科学 班班 级级 2008 级一班 学学 号号 20080534132 姓姓 名名 朱秋实 指导教师指导教师 苏 华 山东财经大学教务处制 二一二年五月 山东财经大学学士学位论文 山东财经大学学士学位论文原创性声明山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年 月 日 山东财经大学关于论文使用授权的说明山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校 有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日 山东财经大学学士学位论文 导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用 摘 要 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、分析法、综 合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是 一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。 关键词：关键词：导数，不等式， 证明， 函数。 Applications of Derivatives in Proving of Inequality ABSTRACT The proof of inequality is one of the important contents of the mathematics learning. The commonly used methods are comparison, analysis, synthesis method, inductive method and special inequality method. As the basic content of derivative of calculus, use it to prove inequality is a kind of effective method. It make the proof of inequalities is more easier. Keywords: Derivatives；inequality；prove；Function 山东财经大学学士学位论文 目录 一、引言1 二、 、利用微分中值定理证明不等式1 1、利用拉格朗日中值定理证明不等式1 2、利用柯西中值定理证明不等式2 三、利用函数的单调性证明不等式3 四、利用两导数的不等性证明不等式4 五、利用函数的凹凸性质证明不等式5 六、利用泰勒公式证明不等式6 七、利用两导数的不等性证明不等式7 小结8 参考文献8 山东财经大学学士学位论文 1 一、引言 导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导 数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。它包 括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有：Rolle 定理、lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理。 导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个 很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有 不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证 明不等式最主要的是要先构建一个函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数 的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。 二、利用微分中值定理证明不等式 若函数含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有的函数值，特别是的表达式 xf xf xf 不知道时，或不等式中含有的导数时，常用lagrange中值定理去证明。 xf 1、拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续；在开区间内可导. 则在内 xfba,ba,ba, 至少存在一点使得.)(ba)( ')()(abfafbf 在拉格朗日公式中由于是内的一个点，故可以表示成的形式，于ba,) 10)(aba 是定理的结论就可以改为在中至少存在一个值，使.) 1 , 0( ab afbf abaf 例例 1 1：证明对一切 成立不等式0, 1hh hh h h )1ln( 1 证 设，则 )1ln(xxf ， h h hh 1 1ln)1ln()1ln(10 当时，由可推知0h10 ，.hh111h h h h h 11 当时，由可推得01h10 ，01.11hhh h h h h 11 从而得到所要证明的不等式. 由上可知：当所要证明的不等式与朗格朗日公式在形式上相似、但不)( ')()(abfafbf 山东财经大学学士学位论文 2 完全相同时，则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下： 1 分析不等式的具体特点，构造一个函数， 。这是证明的关键一步。 xfbax, 2 判断函数在区间上是否符合拉格朗日定理的两个条件；若满足，得出结果： xfba, 。)( ')()(abfafbf 3 根据欲证不等式的特点，利用及的性质，将上式进行适当变形，使不等式得以证 xf x f 明。 2、柯西中值定理：函数，在闭区间上连续；在开区间内可导；在内 xf xgba,ba,ba, 每一点处，则在内至少存在一点，使得0)( 'xg),(baxba,)(ba . )( ' )( ' )()( )()( g f bgag bfaf 例例 2:2: 设都是可导函数，且，证明：当时， g(x)(xf xgxfax )()()()(agxgafxf 证：因为故单调增加， , 0')( 'xfxg)(xg 所以当时，ax )()(agxg 即.又在上满足柯西中值定理的条件.0)()(agxg g(x)(xfxa,)(ax 故由柯西中值定理知 ba g f agxg afxf , ' ' 从而 , 1 ' ' g f agxg afxf 故原不等式成立. 当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时可用柯西 中值定理证明。证明步骤有： （1） 、构造两个函数和，并确定它们的区间； xf xgba, （2） 、对与在上用柯西中值定理； xf xgba, （3） 、利用与a，b的关系，对柯西公式进行加强不等式。 山东财经大学学士学位论文 3 三、利用函数的单调性证明不等式 定理：设函数在上连续，在内可导，则有 xfba,ba, 1）如果在内那么函数在上单调递增.),(ba, 0)( 'xf xfba, 2）如果在内那么函数在上单调递减.),(ba, 0)( 'xf xfba, 若在上单调增加，则，反之亦然. xfba, bfxfaf 若在上单调增加，则，反之亦然. xfba, bfxfaf 例例 3:3: 证明不等式 ，xex10x 证： 设，则故当时，严格递增;当， xexf x 1 . 1 x exf0x 0 x ff0x ，严格递减.又由于在处连续，则当时0 x fff0x0x ， 00 fxf 从而得证 0,1xxex 例例 4:4:已知，求证.0x)1ln(xx 证： 构造函数，容易看出在区间上可导，且 , 0),1ln(xxxxF xF, 0 ，由于可得 )0(0limFxF x 11 1 1 x x x xf 当时，, 0x 00 f 所以在上是增函数， xF, 0 所以， 00 FxF 所以0)1ln(xx 所以当，求证.0x)1ln(xx 当要证明的不等式两端是给定的两个表达式，或者不等式一端或两端含，且知道 xf （或）则需要用函数的单调性区证明。 0 x f 0 x f 山东财经大学学士学位论文 4 利用函数的单调性证明不等式最主要的是构造辅助函数，构造辅助函数有以下几种方法： （1）用不等式的两边“求差”构造辅助函数. （2）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数. （3）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数. （4）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情 况由以上所列方法构造辅助函数. 四、利用函数的最值（或极值）证明不等式 由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断极大值还是极小值，再求出最大值或最小值， 从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路. 定理：令，令，求出点， xgxfxF 0xgxfxFa 如果， （或） ，则为极小（大）值点. 0 x F0a 而是函数在某区间上的最大（小）值，则有（或者） ， af xf afxf afxf 例例 5 5：证明不等式：10 , 01axaaxxa 证： 设， )1 (aaxxxf a 则 ) 1( 11 aa xaaaxxf 令，得唯一驻点，0)( x f1x 又当时，；当时，10 x0 x f1x0 x f 从而是在上的最大值，1f xf, 0 即 ， 01 fxf 即 ，01aaxxa 所以 .10 , 01axaaxxa 例例 6:6:证明当时，.1x x ex 1 1 证： 设，则)1 ()(xexxf xxx xeexexf)1 ()( 山东财经大学学士学位论文 5 令，求得唯一驻点， 0 x f0x 又，且 xx xeexf 010 f 所以在处取得极大值，也就是在内的最大值. xf0x 10 f xf1 , 于是，当时， 即1x1)1 ( xex x ex 1 1 当函数的导数在所要求证的区间内出现了导数的符号改变，也就是说出现了单调性改变的情况时， 就可以考虑利用函数在区间的最值(或极值)来进行证明。利用函数的最值性或极值性证明不等式的一 般步骤是，首先构造辅助函数，一般以作差或作商为主，然后对辅助函数在需要证明的区间内找出极 值或者最值，然后用极值或最值跟需要证明的条件比较，从而使命题得证。 五、利用函数的凹凸性质证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式，关键是构造出能够解决问题的函数.此方法虽然有一定的构造性， 但其过程却是十分的简便. 定理：设在区间上连续，在内二阶可导，对内的任意不同的两点，： xfba,ba,ba, 1 x 2 x 1) 若，则在内上凹，有 0 x fbax, xfba, 21 21 2 1 2 xfxf xx f 2) 若，则在内上凸，有 0 x fbax, xfba, 21 21 2 1 2 xfxf xx f 例例 7 7：设，证明不等式.0x0yyx 2 ln)(lnln yx yxyyxx 证： ，由于，tttfln0t1ln ttf0 1 t tf 所以，在区间或，是凹的，tttflnyx,xy,0x0y 于是 ， 22 1yx fyfxf 即 2 ln 2 lnln 2 1yxyx yyxx 所以原不等式成立. 2 lnlnln yx yxyyxx 例例 8 8：设当时，证明不等式, 00baba ，10 p p ppp baba - 1 2 证 设由于 0,xxxf p ,1-, 2-1 -pp xppxfpxxf 山东财经大学学士学位论文 6 当时，对，10 p0)(, 0 xfx 所以，当时，是上凸的baba, 0, 0 p xxf 于是有 ， 22 1ba fbfaf 即 ， p pp ba ba 22 1 故原不等式成立 利用函数的凹凸性证明不等式，关键是要根据所要证明不等式选取相关的函数及适当的，选 1 x 2 x 取。特别是引进了辅助函数时，要注意考察它的上凸和下凹的特征，并要注意函数的定义域，否则容 易在解题时出差错。 六、利用泰勒公式证明不等式 用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形，把其中的函数用此公式展开，再把展开 式右边进行放大或者缩小，从而推证要证的不等式。 泰勒公式：若函数在点存在直至 n 阶导数，则有，即 xf 0 x n n xxoxTxf 0 - . nn n xxoxx n xf xx xf xxxfxfxf 00 0 2 0 0 000 - ! - ! 2 - 例例 9 9：当时，证明不等式成立. 2 0 x 22 cos-1 2 x x x 证 由于故, 2 0 , cos ! 4! 2 -1cos 42 x xx xcos 24 - 2 1 x cosx-1 2 2 x 显然有 ， 1 3 1 96 4 - 2 1 96 - 2 1 1 24 2 - 2 1 cos 24 - 2 1 2 1 22 2 2 x 即 1 cos-1 2 1 x 山东财经大学学士学位论文 7 两边乘以，得 2 x 22 cos-1 2 x x x 所以不等式成立. 如果函数的二阶和二阶以上导数存在且有界可以利用泰勒公式证明这些不等式。证题思路： xf （1）、写出比最高阶导数低一阶上的泰勒展开式； （2）、恰当选择等式两边与x 0 x （3）、根据最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩。 值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用，如当使用的不等式中含有积分号时，一般 要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明；当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混 合式时，需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方 便简捷。 七、 利用两导数的不等性证明不等式 定理 1、设函，满足： xf xg 在区间上可导， 1 ba, 在区间上有， 2 ba, xgxf ， 3 agaf 则在上有.ba, xgxf 2、设函，满足： xf xg 在区间上可导， 1 ba, 在区间上有， 2 ba, xgxf ， 3 bgbf 则在上有.ba, xgxf 例例 1010：证明,.x x xsin 6 - 3 0x 山东财经大学学士学位论文 8 证 设,显然，求导，得： 6 - 3 x xxf xxgsin 00gf ,. 2 -1 2 x xf xxgcos 为在上判断与的大小，再求一次导，得:0-， x f x g xxxgxxf-sinsin-,- 因，即，故即.0x0-x),(-sin-xx xgxf 又因为， 100gf 在上应用定理即知.0-， xgxf 再在上应用定理，知，即0-， xgxf ，x x xsin 6 - 3 0x 利用两导数的不等性证明不等式时，一定要注意，对应的区间上所需要的条件是否满 xf xg 足该定理的要求。其主要步骤是: （1）、由不等式建立两个端点值相同的函数并确定其对应的区间； （2）、比较两个函数在其对应区间内的大小： （3）、在对应区间内使用定理比较不等式的大小。 小结：小结： 通过对导数证明不等式的研究，我可以看出不等式的证明方法很多，但各种方法都不尽相同，我 们要充分理解各种方法的应用原理，挖掘导数的各种性质.多做此类难题不但有利于我们在学习和考试 中轻松解决同类问题更有利于培养我们的数学思维和推理论证能力。因而导数在不等式证明当中的应 用很有研究价值. 参考文献参考文献 1华东师范大学.数学分析M.高等教育出版社,1999:177 179(下册) .156293(上册) 2扈志明,韩云端. 高微积分教程M. 北京:清华大学出版社, 1998. 3刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一J .邯郸师专学报,2000,10(3):4. 4朱士信，唐烁，宁荣健编.高等数学M（上册）.中国电力出版社,2007.8. 5周晓农.导数在不等式证明中的应用J.金筑大学学报，2000（03）. 6陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式J.高等数学研究，2009（5）：40. 7马德炎.常见的代数不等式的证明J.高等数学研究，2009（5）：2729. 山东财经大学学士学位论文 9 8陶伟，高等数学习题集M.北京：国家行政学院出版社，2001.363393. 9曾捷，数学分析同步辅导及习题全解M.中国矿业大学出版社，2006.122159.