1、应用矛盾对立统一的观点解题*9教学中充满矛盾也充满了对立统一的关系.数学问起解趋很好的处理了特殊性和一般性之间的关系，正面与反面之间关系数与形蚱换的美系等，常版达到事半功倍之效，印运用矛盾对立统一的现点解超。关健词数学问建解决矛盾对立统一对立统一规律是函数的三大规律之一，是啡物辩证法的根本规律，又称对立面的统和斗争的规律.它揭示了普遍陕系的根本内容和事物发展的内在动力，揭示了事物发展的动力和源泉，揭示了事物和联系的本质，它揭示出自然界,人类社会和人类思维等领域的任何事物都包含着内在的矛盾性，事物内部矛盾推动事物发展.任何事物都存在对立面和统面，他们相互斗争，相互依存，在定条件下相互转化.这在数
2、学中俯拾皆是.本文研究运用数学中的矛盾转换，如对立与统一，正面与反面，正向思维与逆向思维，特殊与一般，数与形等的转换，正数与负数、常量与变量等对立统一等概念的教学,寻求解题思路和方法：分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比、化归、分类等数学思想方法的应用，一次又一次地证实了事物是普遍联系、对立统一、运动变化的。一、对立与统一的转换例1已知“+c=0,3RiiE(-+-)+ZH-+-)+(-+-)+3=0bcCaab解；(-+)+c(-+-)+3bccaab1.a,1、bxcbcacababcJ11.,JIkJI1、bcacbaabc-(a+b+c)(-+-+-)ahc=O例2设64SinA+
3、8COSB+tanC=O,cosB4SinAtanC=O求证：tanC=61sinA证明：若SinA-O,则tanC=O,且64SinA=O,从而IanC-64SinA：若SinAH0,用什么方法来证？显然，直接由条件化结论不容易。但由条件cos?B4sinAtanC=O的形态，考虑64SinA+8cosB+tanC=O能否化成二次方程？可以。因为64=8：,所以64SinA+8cosB+tanC=O即是这样一个以8为主元的二次方程：sin8?+CosB8+tanC=0。由8是实数，且这个二次方程的判别式=cos-4sinIanC=O,知这个方程有两个相等的实数根8,从而8x8=64=处C,S
4、inA即有tanC=64sinA总之，若64SinA+8cosB+tanC=O.COSirB4SinAtanC=0,则tanC=64SinA。从例I与例2可以看到，集中精力解决主要矛盾是一种解趣策略。二、特殊与一般的转换例3如下左图，在半圆的直径AB上取一点C,分别以AC、BC为直径作半圆，过C作CD_1.AB交大的半圆于D,设CD的长为h,则阴账部分的面积为()解tC为AB上点，应包括AB的中点(即大的半圆的圆心)这特殊点，而I1.由题意，一般情况与特殊情况下，阴影部分面积的表达式是不变的，变的只是表达式中参数h的长短。如上右图所示。当C为AB中点时，阴影部分的面积是1.t-21A2=-2所
5、以在一般情况下阴影部分的面积也是儿故选及22244例4比较V60与2+6的大小解无法直接计霓大小：倘若将两与2+:叵分别立方，又变得更为耳杂，怎么办呢？考虑到6O=V4(8+7),2+7=唬+阴，既然要比较。与2+中的大小,不如索性一般化地比较4(+y)与小必y0)的大小。事实上，Vv+yj2Vx+47。可以这样来证明：设=F0,v=fy0,则R&x+y)=4(“+V),(Vx+Vy)?=(+v)而IV4Cr+.V)P-(Vx7)j=40/+vj)-(m+v)j3(m,+V3-mv(w+v)=3(w+v)(w-V)20.当且仅当Xw时,等号成立.令*=8,y=7,即得V4(8+7)我+5,也就
6、是胸2+.特殊与般是对立的，也是统的，从例3与例4可以看到，“退中求进”与“先进后退”利用的恰好就是特殊与一般的对立统一思想。三、正面与反面的转换例5若a、b、C为互不相等的正数，则a+2Z+c=O,hx2+2cx+=0.c+20r+,=0这三个方程不能同时有等根.证明：假设这三个方程同时有等根，那么就同时有-4.C=0,4-4M=0,42c=0,将此三式两边分别相加并除以2,得(-hy+(Z-e)+(c-a)=0,所以a=Z=c,这与已知a、b、C为互不相等的正数矛盾，所以“三个方程同时有等根”的假设是错误的，正碑的结论是“三个方程不能同时有等根工例6判断命题”设a、是方程a+u+c=0的两
7、根，若a+尸与a?均为整数，则a与尸均为整数”是否正确.解：肯定一个结论要做严格的证明，而否定一个结论只须举出一个反例。这里，设a=2+J5/?=2-V3则a+=4,a=显然a、P是方程/-4x+1.=0的两根，且a+6与a?均为整数，但a与夕均不是整数，故原命题是错误的。由例5与例6可以看到，当从正面着手考虑很难找到解题突破口时，尝试从侧面或反而去考虑问即往往总能得到好的思路，这种数学解题策略叫做正难则反，四、正向思雉与逆向思雉的转换逆向思维也是辩证思维的一种重要形式.利用逆向思维方法可以解决诸如下面例7、例8之类看似很难的问题。例7已知不等式/一t-bO的解为2x3,求不等式Z-x-1.O
8、的解。不等式一一/,0的解为纥当上弛x丝斗士竺,乂为2x3,所以；+叽2,而+&；+必=3,解之得日石、加6,而不等式尿2-a-1.O的解，即不等式6-5x-1.O的解为x|FD,合起来就是FM+N6H),所以GTp+而二赤72y(+b)i+c2o上面的例9,用代数运算助几何证明，例10则是构造图形助代数运算。“用数助形”与“以形助数”合起来叫做“数形结合二从例9与例10可以看到“数形结合千般好，形数分开万般难六、已知与未知的转化例I1.已知x、y.Z满足方程组3x+7y+z=31.54x+10y=42-z.求x+y+z的值.解：把Z看作己知数，解关Fr,y的方程组3x+7y=31.5-z得x
9、IO.5-1.5z4x+IOy+z=42y=O.5z.x+y+z=(10.51.5z)+0.5z+z=10.5在这个问腮中，从表面上是无从下手的，不妨把其中的一个未知数看做己知的去表示另外的未知数，再代入求值，从而把题目简单化。例12.求满足52I2xy+8k-4x+4y+1.=0的实数X和y.解：把y看作已知数，则原方程可化为关于X的一元二次方程：5x24(3y+1.)x+(8yz+4y+1.)=0：x、y是实数=16(3y+1.)-20(8y2+4y+1)=-4(2y-1.)j0.-4(2y-1.)2=0,.y=21.把y=21.代入得x=1.在这个问题中，把y看做已知的，再利用方程中根
10、的判别式求值代入。同样也可以把X看做己知的。从例I1.与例12可看出在解题是可以适当转换思想，把题目中未知的量看作是已知的，更加的便于解题。七、常量与变融的转换在运用函数与方程的思想解题时，如果是一个多元函数或方程,这时,我们应设定个或两个主元，即自变量,而视其它为次元,即常量：,然后再考虑如何解决问题。化归思想是中学数学最基本的思想方法之一。如下面的例题就是讲解常域与变增之间的转换。例13.已知关Tx的方程xi-Px2-2Px+P,-1.=0有且只有一个实数根，求实数P的取值范围.解：把X看作常量，原方程可化为关于P的元二次方程：P7-(x2+2x)P+(X,-1)=O解得P=X-1.或P=
11、x、x+1Ax=P+1,或x2+x+1.P=OY原方程有且只有一个实数根，.方程X2+X+-P=O没有实数根由A=H4(I-P)3.证明：由已知条件可知，a、b、C三个数中只能是一个正数和两个负数，由对称性，不妨设a0,b0,c0,于是IaI+IbI+IcI=abc=2a由b+c=-a.bc=a1.b、C是关于x的方程x2+ax+a1.=0的两个实数根.-a40及a()得a343827=23.IaI+IbI+IcI3.例15.已知K为实数.求关于X的方程(K，+1.)X?+Kx-1=0的最大实数根和最小实数根.解：原方程可化为关于K的一元二次方程x2K2+xK+(x2-I)=()显然XWo,又
12、K是实数，=x2-4x2(x2-1.)=x2(5-4x2)0解得0x25(x0).最大实数根为25,最小实数根为0八、相等与不等的转换数学离不开相等和不等。从其意义来说,这是两个既统一乂对立的概念,没有相等就无所谓不等,没有不等也无所谓相等。它们之间有若内在的、本质的、密切的联系,在某种条件卜.可以相互转化。这种转化贯穿着数学基本方法,从而使我们能用整体观点去看待中学数学问题,并进而提高综合解题效率。如下例题：例16.求满足(2+2x+3+1.)=2的实数X和y.解：Vx2+2x+3=(x+1.)1+22,y2+1.1.,(x3+2x+3)(y3+1.)2.等号当且仅当K+2x+3=2,y2+
13、1.=1.时成立即(x+1.)?=0,尸=(),x=-1,y=0.例17.求满足不等式M+5b2+5c?4ab+4bc+2c的整数a、b、C的值.解：.原不等式两边都是整数，原不等式等价-户a2+5b2+5c2+14ab+4bc+2c移项、配方得(a-2b)2+(b-2c)2+(c-D,WO.又.(a-2b)2+(b2c)2+(c-1)2NO.：.(a-2b)2(b-2c)+(c-1)*=0,解得a=4.b=2.c=I.初中课程设计体例的设置需要改变难、繁、偏旧的现状，进一步满足学生.发展的需要,翻开初中教材，不难看出其中所溢出的学术理性主义课程观念，一幅幅远离学生生活和现实的模式化的图景，缺
14、乏生活意义的课程体例迫使不家务事在课程运作中被动学习，学生没有真实生活的愉快体效，这种体例充斥若单调、枯燥、乏味甚至无聊的机械重复练习，更没有生活的激性，丧失对未来生活的愧憬.众所周知，中国学生通过这种体例的学习，基本知识，基本技能、解题技巧等方面可能具有很强的优势、但中国学生的实践能力，创造力不强，缺乏情感体验，自尊、自信不足，为了适应科技的飞速发展，参与世界各国的政治经济竞争，必须彻底改变这种落后体例，才能J正地提高教育质量。在初中数学课程体例安排上要注意创设，工动情景，现代教学论指出，教学过程中是师生交往，枳极互动，共同发展的过程，通过对话与交往，建造一种人道的，和谐的、民主的，平等的师
15、生关系，教学不是教师教，学生学的机械相加,而是彼此形成的个共同体。初中数学课程设计应贯彻新的教育理念，引导学生不断创设问题情境，激励学生带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴致参与课堂活动，使其成为课堂教学不可分割的一部分，否则只能死记硬背。教册的职贵不仅在于引导学生认识和积累事实，更重要的是使学生有总结、归纳、推理等方法的学习和运用的机会，这就需要创设互动情景，只有这样才能调动学生的主动性、积极性，使学生具有充分的动力，主动学习，善于学习，才能真正提高教育质量。总而言之，设计一个好的课程内容，更有利于提高不同U次学生的成绩，从而提尚学生的素质，一切设计为了学生，为了学生的一切而设计，设计为了学生的一切，弁考文献J钱双平.教学解题方法论M.云雨：云南科技出版社出版社，2004.2李淑文.中学中学教学概论概.北京：中央广播电视大学出版社，2003.华卫红.试论如何将镌育寓于数学教育M.江西:教育学院学如19971九年义务教育全日制初级中学*数学教学大纲讥人民教育出版社
