2020版高考数学大一轮复习第七章立体几何第43讲空间向量及其运算课时达标理含解析新人教A.doc
第43讲 空间向量及其运算课时达标一、选择题1(2019·大冶一中月考)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有xyz(x，y，zR)，则x2，y3，z2是P，A，B，C四点共面的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件B解析 当x2，y3，z2时，即232，则23()2()，即32，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理mn，即m()n()，即(1mn)mn，即x1mn，ym，zn，这组数显然不止2，3,2.故是充分不必要条件故选B.2(2019·通州期末)已知两个非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是()A.Ba1·b1a2·b2a3·b3Ca1·b1a2·b2a3·b30D存在非零实数k，使akbD解析 应选D，首先排除B，C项表示ab，A项表示a，b的单位向量相等，但两向量方向相反也叫平行3已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)B解析 因为bx2a，所以x4a2b即x(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)4已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则()A9 B9C3 D3B解析 由题意知cx ay b，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，所以解得9.5若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确C解析 由n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，因为n1和n2不平行，所以与不平行；又因为n1·n26320290，所以与不垂直6平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两夹角均为60°，且|1，|2，|3，则|()A5 B6C4 D8A解析 由题可得，故22222(···)1492(1×21×32×3)cos 60°25，故|5.二、填空题7在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为_解析 依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.答案 (0，)8如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.解析 由题意知().答案 9(2019·晋江模拟)设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为_解析 如图所示，取BC的中点E，连接AE.()()()()，所以xyz.答案 (，)三、解答题10如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.解析 (1)E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，所以(x，a，a)，(a，xa，a)，所以·axa(xa)a20，所以，所以A1FC1E.(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，所以，共面选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，所以解得1，21.于是.11(2019·安庆模拟)已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求k的值；(4)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，应满足的关系证明 (1)因为c，所以cmm(2，1,2)(2m，m,2m)所以|c|3|m|3.即m±1.所以c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以a·b(1,1,0)·(1,0,2)1.又|a|，|b|，所以cosa，b.所以a和b夹角的余弦值为.(3)方法一因为kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，所以(k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k280.所以k2或k.即当kab与ka2b互相垂直时，k2或k.方法二由(2)知|a|，|b|，a·b1，所以(kab)·(ka2b)k2a2ka·b2b22k2k100，得k2或k.(4)因为ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，所以(ab)(ab)(2，22)因为(ab)(ab)·(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直12已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解析 (1)由题意可得(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，所以sin，.所以以，为边的平行四边形的面积为S2×|sin，14×7.(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1)13选做题在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB.若存在，求出点G的坐标；若不存出，试说明理由解析 (1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.，(0，a,0)因为·0，所以，即EFCD.(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则.若使GF平面PCB，则由··(a,0,0)a0，得x；由··(0，a，a)a0，得z0.所以G点的坐标为，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点
