2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：第一章　单元质量测评 Word版含解析.pdf

第一章 单元质量测评 对应学生用书 P41 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟 第卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列说法中正确的是( ) A棱柱的侧面可以是三角形 B由 6 个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C正方体各条棱长都相等 D棱柱的各条棱都相等 答案 C 解析 根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但 是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等 2中心角为 135°，面积为 B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为 A， 则 AB 等于( ) A118 B38 C83 D138 答案 A 解析 设扇形的半径为 R，围成的圆锥的底面圆的半径为 r，则扇形弧长 l R， 135R 180 3 4 又 2r R，r R，S扇形R2 R2， 3 4 3 8 135 360 3 8 S圆锥全S底S侧r2S扇形 2 R2 ( 3 8R) 3 8 R2， ， 33 64 S扇形 S圆锥全 3 8R 2 33 64R 2 8 11 A B 11 8 故选 A 3一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯 视图的是( ) 答案 C 解析 由几何体的俯视图与左视图的宽度一样，可知 C 不可能是该锥体的俯 视图，故选 C 4给出下列四个命题： 三点确定一个平面； 一条直线和一个点确定一个平面； 若四点不共面，则每三点一定不共线； 三条平行线确定三个平面正确的结论个数有( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 中不共线的三点确定一个平面；中一条直线和直线外一点确定一 个平面；中若四点不共面，则每三点一定不共线，故正确；中不共面的三 条平行线确定三个平面 5设 l 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A若 l，l，则 B若 l，l，则 C若 ，l，则 l D若 ，l，则 l 答案 B 解析 若 l，l，则 或 m，lm，故 A 错误若 ，l， 则 l 或 l 在 内， 故 C 错误 若 ， l， 则 l 或 l 在 内或 l 或 l 与 相交，故 D 错误 6体积为 27，全面积为 54 的长方体( ) A必是正方体 B不存在 C有无穷多个 D最多只能有三个 答案 A 解析 设长、宽、高分别为 a，b，c，则 abc27 2(abbcac)54，abbcacabc 易知 abc，故应为棱长为 3 的正方体 7 如图， 平行四边形 ABCD 中， ABBD， 沿 BD 将ABD 折起， 使面 ABD 面 BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD 的四个面所在平面中，互相垂直的平面的 对数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 平面 ABD平面 BCD，平面 ABC平面 BCD，平面 ACD平 面 ABD 8棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体 积时，相应的截面面积分别为 S1，S2，S3，则( ) AS12，SPACSPAD，填66 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17(本小题满分 10 分)定线段 AB 所在直线与定平面 相交，P 为直线 AB 外 任一点，且 P，直线 AP，PB 与 交于 A，B求证：不论 P 在什么位置， AB过一定点 证明 设定线段 AB 所在直线与定平面 相交于定点 O AP，AB 相交于点 A，由 AP，AB 可确定平面 APA，PBB，ABO， A，B，O 为平面 与平面 的公共点 A，B，O 三点共线，即 AB过定点 O 18 (本小题满分 12 分)如图， 已知平面 ， O 为 ， 外一点， 三条射线 OA， OB，OC 分别交 于 A，B，C，交 于 A1，B1，C1 (1)求证：ABCA1B1C1； (2)若 OAa，AA1b，B1C1c，求 BC 的长 解 (1)证明：因为 ，平面 AOBA1B1，平面 AOBAB，所以 A1B1AB， 所以， 同理 B1C1BC， 所以 同理， OA1 OA OB1 OB A1B1 AB OB1 OB OC1 OC B1C1 BC A1C1AC，所以所以ABCA1B1C1 OA1 OA OC1 OC A1C1 AC A1B1 AB B1C1 BC C1A1 CA (2)由(1)知， 又因为 OA1OAAA1ab， ， BC OA1 OA B1C1 BC ab a c BC ac ab 19(本小题满分 12 分)如图所示的四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD，E 为 PC 的中点， 求证：(1)PA平面 BDE； (2)平面 PAC平面 PBD 证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE 四边形 ABCD 是菱形， AOCO E 为 PC 的中点，EOPA PA平面 BDE，EO平面 BDE， PA平面 BDE (2)PA平面 ABCD，BD平面 ABCD， PABD， 四边形 ABCD 是菱形，BDAC ACPAA，BD平面 PAC， BD平面 PBD，平面 PAC平面 PBD 20(本小题满分 12 分)如图，平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， C1CBC1CDBCD60° (1)求证：C1CBD； (2)当的值为多少时，可使 A1C平面 C1BD? CD CC1 解 (1)证明：连接 A1C1，AC，设 AC 和 BD 交于点 O，连接 C1O 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，BCCD 又BCC1DCC1，C1C 是公共边， C1BCC1DC，C1BC1D DOOB，C1OBD 又ACC1OO， BD平面 ACC1A1 又C1C平面 ACC1A1， C1CBD (2)由(1)知 BD平面 ACC1A1 A1C平面 ACC1A1， BDA1C 当1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形 CD CC1 同理可证 BC1A1C 又BDBC1B， A1C平面 C1BD 21 (本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面， ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点 (1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1； (2)求证：C1F平面 ABE； (3)求三棱锥 EABC 的体积 解 (1)证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1底面 ABC， 所以 BB1AB 又因为 ABBC，BB1，BC 为平面 B1BCC1内两条相交直线， 所以 AB平面 B1BCC1，又 AB平面 ABE， 所以平面 ABE平面 B1BCC1 (2)证明：取 AB 中点 G，连接 EG，FG，如图 因为 E，F，G 分别是 A1C1，BC，AB 的中点， 所以 FGAC，且 FG AC，EC1 A1C1 1 2 1 2 因为 ACA1C1，且 ACA1C1， 所以 FGEC1，且 FGEC1 所以四边形 FGEC1为平行四边形 所以 C1FEG 又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE， 所以 C1F平面 ABE (3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC， 所以 ABAC2BC23 所以三棱锥 EABC 的体积 V SABC·AA1 × ××1×2 1 3 1 3 1 2 3 3 3 22(本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2)，其 中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形 (1)求该几何体的体积； (2)D 是棱 A1C1上的一点，若使直线 BC1平面 AB1D，试确定点 D 的位置， 并证明你的结论； (3)在(2)成立的条件下，求证：平面 AB1D平面 AA1D 解 由三视图可知该几何为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的3 高 h3， (1)底面是高为的正三角形，易知底面边长为 2，3 所以底面面积 S ×2×， 1 2 33 所求体积 VSh33 (2)连接 A1B，且 A1BAB1O，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点 O 是 A1B 的中点， 解法一：若 BC1平面 AB1D， 连接 DO，BC1平面 A1BC1，平面 AB1D平面 A1BC1DO， 所以 BC1DO，所以 DO 是A1BC1的中位线，所以 D 为 A1C1的中点 即 D 为 A1C1的中点时，BC1平面 AB1D 解法二：若 D 为棱 A1C1的中点 连接 DO，所以 DO 是A1BC1的中位线 所以 BC1DO， 又 DO平面 AB1D， BC1平面 AB1D， 所以 BC1平面 AB1D 即 D 为 A1C1的中点时，BC1平面 AB1D 解法三 ： 在A1BC1中， 过 O 作 ODBC1， 交 A1C1于 D， 所以 OD 为A1BC1 的中位线，所以 D 为 A1C1的中点，又 DO平面 AB1D， BC1平面 AB1D，所以 C1B平面 AB1D 即 D 为 A1C1的中点时，BC1平面 AB1D (3)证法一：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，三角形 A1B1C1为正三角形，所以 B1DA1C1， 又由三棱柱性质知平面 A1B1C1平面 ACC1A1， 且平面 A1B1C1平面 ACC1A1 A1C1， B1D平面 A1B1C1，所以 B1D平面 AA1D， 又 B1D平面 AB1D，所以平面 AB1D平面 AA1D 证法二：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，三角形 A1B1C1为正三角形，所以 B1DA1C1， 又因为 AA1平面 A1B1C1， 所以 AA1B1D AA1A1C1A1， AA1 平面 AA1D，A1C1平面 AA1D，所以 B1D平面 AA1D， 又 B1D平面 AB1D，所以平面 AB1D平面 AA1D