2020届高考文科数学一轮（新课标通用）训练检测：考点测试34　二元一次不等式组与简单的线性规划 Word版含解析.pdf

考点测试 34 二元一次不等式组与简单的线性规划 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 一、基础小题 1 不等式 y(xy2)0 在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是 ( ) 答案 C 解析 由 y(xy2)0，得Error!或 Error!所以不等式 y(xy2)0 在平面直角坐标系中表示的区域是 C 项 2.已知点 A(3，1)与点 B(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围是( ) A(24，7) B(7，24) C(，24)(7，) D(，7)(24，) 答案 B 解析 (92a)(1212a)0，所以7a24.故选 B. 3若实数 x，y 满足不等式组Error!则该约束条件所围成的平面区域的面积是 ( ) A3 B. C2 D2 5 2 2 答案 C 解析 因为直线 xy1 与 xy1 互相垂直， 所以如图所示的可行域为直 角三角形，易得 A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|，|AC|2，所以其面积22 为 ×|AB|×|AC|2. 1 2 4若变量 x，y 满足约束条件Error!则 3x2y 的最大值是( ) A0 B2 C5 D6 答案 C 解析 作不等式组的可行域，如图： 令 z3x2y，则 y x 表示一系列平行于 y x 的直线，并且 表示 3 2 z 2 3 2 z 2 该直线的纵截距显然，把直线 y x 平移至点 A 处，z 最大由Error!得 A(1， 3 2 1)所以 zmax3x2y325.故选 C. 5已知点(a，b)是平面区域Error!内的任意一点，则 3ab 的最小值为( ) A3 B2 C1 D0 答案 B 解析 根据题意可知(a，b)在如图阴影中，设 z3ab.则 b3az，所以z 可以理解为 y3xt 中的纵截距 t.因而当 y3xt 过点(0， 2)时， t 最大为 2.即z 最大为 2，所以 z 最小为2. 6若 x，y 满足约束条件Error!则 zx3y 的取值范围是( ) A(，2 B2，3 C3，) D2，) 答案 D 解析 作不等式组表示的平面区域，如图 平移直线 x3y0 到点 A 时，z 取得最小值， 由Error!解得点 A ，所以 zmin 2，无最大值故选 D. 1 2 1 2 1 2 3 2 7在如图所示的平面区域内有 A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三点，若使目标函 数 zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数 a 的值是( ) A. B. 2 3 1 2 C2 D.3 2 答案 B 解析 由题意知， 当 zaxy 与直线 AC 重合时最优解有无穷多个 因为 kAC ，所以a ，即 a .故选 B. 1 2 1 2 1 2 8已知实数 x，y 满足约束条件Error!则|yx|的最大值是( ) A2 B. C4 D32 3 2 2 答案 D 解析 画出不等式组表示的平面区域(如图)， 计算得 A(1， 2)， B(4， 1)， 当直线 zxy 过点 A 时 zmin1，过点 B 时 zmax3，则1xy3，则|yx|3. 9不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 由不等式 2xy0，y0，则当 x1 时，01)的图象上的点，则实数 a 的取值范围是( ) A(3，) B(1，3) C3，) D(1，3 答案 C 解析 作不等式组Error!表示的平面区域 D，如图中阴影部分所示 由Error!解得点 A(3，1)由 a1，对数函数的图象经过可行域，此时满足 loga31，解得 a3，所以实数 a 的取值范围是3，)，故选 C. 12已知实数 x，y 满足Error!则 wx2y24x4y8 的最小值为_ 答案 9 2 解析 目标函数 wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其几何意义是点(2，2)与 可行域内的点的距离的平方由实数 x，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴 影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线 xy10 的距离为其到可行域内点的 距离的最小值，又，所以 wmin . |221| 2 3 2 2 9 2 二、高考小题 13(2018·天津高考)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z3x5y 的 最大值为( ) A6 B19 C21 D45 答案 C 解析 由变量 x，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)作出基本直 线 l0： 3x5y0， 平移直线 l0， 当直线经过点 A(2， 3)时， z 取最大值， 即 zmax3×2 5×321.故选 C. 14(2018·全国卷)若 x，y 满足约束条件Error! 则 zxy 的最大值为_ 答案 9 解析 不等式组表示的可行域是以 A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)为顶点的三角 形区域， 如图所示， 由图可知目标函数 zxy 的最大值在顶点 A 处取得， 即当 x 5，y4 时，zmax9. 15(2018·全国卷)若 x，y 满足约束条件Error! 则 z3x2y 的最大值为_ 答案 6 解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由 z3x2y 可得 y x z，画出直线 y x，将其上下移动，结合 的 3 2 1 2 3 2 z 2 几何意义， 可知当直线过点B时， z取得最大值， 由Error!解得B(2， 0)， 此时zmax3×2 06. 16(2018·全国卷)若变量 x，y 满足约束条件Error!则 zx y 的最大值是 1 3 _ 答案 3 解析 作出可行域如图阴影部分 由图可知目标函数在直线 x2y40 与 x2 的交点(2，3)处取得最大值 3. 17(2018·浙江高考)若 x，y 满足约束条件Error!则 zx3y 的最小值是 _，最大值是_ 答案 2 8 解析 由约束条件得可行域是以 A(1，1)，B(2，2)，C(4，2)为顶点的三角 形区域(含边界)，如图当直线 y x 过点 C(4，2)时，zx3y 取得最小 1 3 z 3 值2，过点 B(2，2)时，zx3y 取得最大值 8. 18 (2018·北京高考)若 x， y 满足 x1y2x， 则 2yx 的最小值是_ 答案 3 解析 由 x1y2x 作出可行域， 如图中阴影部分所示 设 z2yx， 则 y x z，当直线 y x z 过 A(1，2)时，z 取得最小值 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 三、模拟小题 19(2018·山西太原模拟)已知实数 x，y 满足Error! 则 z2x2y1 的取值范围是( ) A. ，5 B0，5 5 3 C. ，5 D ，5 5 3 5 3 答案 D 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知 2× 2× 1 3 2 3 1z2×22×(1)1，即 z 的取值范围是 ，5. 5 3 20(2018·南昌一模)设不等式组Error!表示的平面区域为 M，若直线 ykx 经 过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为( ) A. ，2 B. ， 1 2 1 2 4 3 C. ，2 D. ，2 1 2 4 3 答案 C 解析 作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示： 由Error!得 A(1， 2)， 由Error!得 B(2， 1)， 平面区域 M 即为图中阴影部分ABC， 直线 ykx 经过区域 M 内的点 A 时， k2， 直线 ykx 经过区域 M 内的点 B 时， k ，故 k2，故选 C. 1 2 1 2 21(2018·长沙统考)已知 x，y 满足约束条件Error!若 zaxy 的最大值为 4， 则 a( ) A2 B. C2 D 1 2 1 2 答案 A 解析 作不等式组表示的平面区域如图 当直线 l： yaxz 经过AOB 区域时， l 在 y 轴上的最大截距为 4，则点 B(2，0)为最优解，所以 z2a4，即 a2，故选 A. 22 (2018·太原模拟)已知不等式 ax2by2 在平面区域(x， y)|x|1 且|y|1 上恒成立，则动点 P(a，b)所形成平面区域的面积为( ) A4 B8 C16 D32 答案 A 解析 作平面区域(x，y)|x|1 且|y|1，如图 1 所示该平面区域表示正方 形 ABCD 内部(含边界) 令 zax2by， 因为 ax2by2 恒成立， 则函数 zax2by 在该平面区域要求的条件下， zmax2 恒成立 当直线 ax2byz0 过点 A(1， 1) 或 B(1，1)或 C(1，1)或 D(1，1)时，有Error! 再作该不等式组表示的可行域，即菱形 EFGH 内部(含边界)如图 2 所示其 中 H(2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，1)，所以动点 P(a，b)所形成平面区域 的面积为 ×4×24.故选 A. 1 2 23 (2018·湖北八市联考)已知 x， y 满足Error!若 zx2y 有最大值 4， 则实数 m 的值为( ) A4 B2 C1 D1 答案 B 解析 可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)， 如图阴影 部分所示依题意，有直线 y x 的纵截距 有最大值 2，则结合图形可知需 1 2 z 2 z 2 满足直线 2xym 过点(0，2)，从而 m2×022，故选 B. 24(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组Error!(r 为常数)表 示的平面区域的面积为 ，若 x，y 满足上述约束条件，则 z的最小值为 xy1 x3 ( ) A1 B5 21 7 C. D 1 3 7 5 答案 D 解析 作出不等式组表示的平面区域， 如图所示， 由题意知 r2， 解得 r2. z 1 4 1，易知表示可行域内的点(x，y)与点 P(3，2)的连线的斜 xy1 x3 y2 x3 y2 x3 率，由图可知当点(x，y)与点 P 的连线与圆 x2y2r2相切时斜率最小设切线方 程为 y2k(x3)， 即 kxy3k20， 则有2， 解得 k或 k0(舍)， |3k2| k21 12 5 所以 zmin1 .故选 D. 12 5 7 5 25(2018·河北石家庄质检)设变量 x，y 满足约束条件Error!则的最大值为 y1 x _ 答案 3 解析 题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则表示可行域 y1 x 内点 P(x，y)与 B(0，1)的连线的斜率，由图知，当 P 位于 A(1，2)时，取得 y1 x 最大值3. 21 1 26 (2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子， 需要木工和漆工两个工种， 已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木 工 8 个工作时，漆工 1 个工作时生产一把椅子的利润为 1500 元，生产一张桌子 的利润为 2000 元，该厂每个月木工最多完成 8000 个工作时，漆工最多完成 1300 个工作时， 根据以上条件， 该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元 答案 2100000 解析 依题意，设每个月生产 x 把椅子、y 张桌子，那么利润 t1500x2000y. 其中x， y满足约束条件Error!可行域如图中阴影部分所示， 对于不同的t值， t1500x 2000y 表示一组斜率为 的平行线，且 t 越大，相应的直线位置越高；t 越小， 3 4 相应的直线位置越低依题意，要求 t 的最大值，需把直线 t1500x2000y 尽量 地往上平移，又考虑到 x，y 的允许范围，显然当直线通过点 B 时，处在这组平行 线的最高位置， 此时 t 取最大值 由Error!得点 B(200， 900)， 从而 tmax1500×200 2000×9002100000(元)， 即生产 200 把椅子、 900 张桌子可获得最大利润 2100000 元 一、高考大题 1(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要 播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、 收视人次如下表所示： 连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万) 甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的 总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x，y 满足的数学关系式为 Error!即Error! 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点 (2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z60x25y. 考虑 z60x25y，将它变形为 yx，这是斜率为，随 z 变化的 12 5 z 25 12 5 一族平行直线.为直线在 y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值就最大 z 25 z 25 又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z60x25y 经过可行 域上的点 M 时， 截距最大， 即 z 最大 解方程组Error!得Error!则点 M 的坐标为(6， z 25 3)所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时，才能使总收视人次最 多 二、模拟大题 2(2018·广东佛山月考)若 x，y 满足约束条件Error! (1)求目标函数 z xy 的最值； 1 2 1 2 (2)若目标函数 zax2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取值范围 解 (1)作出可行域如图，可求得 A(3，4)，B(0，1)，C(1，0) 平移初始直线 xy0，过 A(3，4)取最小值2，过 C(1，0)取最大值 1.z 1 2 的最大值为 1，最小值为2. (2)直线 ax2yz 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知1 2，解得 a 2 4a2.故所求 a 的取值范围是(4，2) 3 (2018·福建泉州质检)画出不等式组Error!表示的平面区域， 并回答下列问题 ： (1)指出 x，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 解 (1)不等式 xy50 表示直线 xy50 上及右下方的点的集合x y0 表示直线 xy0 上及右上方的点的集合， x3 表示直线 x3 上及左方的点 的集合 所以，不等式组Error! 表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得 x，y3，8 5 2，3 (2)由图形及不等式组知Error! 当 x3 时，3y8，有 12 个整点； 当 x2 时，2y7，有 10 个整点； 当 x1 时，1y6，有 8 个整点； 当 x0 时，0y5，有 6 个整点； 当 x1 时，1y4，有 4 个整点； 当 x2 时，2y3，有 2 个整点 所以平面区域内的整点共有 2468101242(个)