2020版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案含解析.pdf

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲传真 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与 向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量 积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些 简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 1向量的夹角 已知两个非零向量a a和b b，作a a，b b，则AOB叫做向量a a与b b的夹角，向量夹角OA OB 的范围是0°，180°，其中当a a与b b的夹角是 90°时，a a与b b垂直，记作abab，当a a与b b 的夹角为 0°时，abab，且a a与b b同向，当a a与b b的夹角为 180°时，abab，且a a与b b反向 2平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a a和b b，它们的夹角为，则数量|a|ba|b|·cos 叫做a a 与b b的数量积(或内积)，记作a·ba·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 0 投影 |a a|cos 叫做向量a a在b b方向上的投影； |b b|cos 叫做向量b b在a a方向上的投影 几何意义数量积a·ba·b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a a·b bb b·a a； (2)数乘结合律：(a a)·b b(a a·b b)a a·(b b)； (3)分配律：a a·(b bc c)a a·b ba a·c c. 4平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a，b b 结论几何表示坐标表示 模|a a|a a·a a|a a|x2 1y2 1 数量积a a·b b|a a|b b|cos a a·b bx1x2y1y2 夹角cos a a·b b |a a|b b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1·x2 2y2 2 a ab ba a·b b0x1x2y1y20 |a a·b b|与|a a|b b|的关系|a a·b b|a a|b b|x1x2y1y2| ·x2 1y2 1x2 2y2 2 常用结论 1两个向量a a，b b的夹角为锐角a·ba·b0 且a a，b b不共线； 两个向量a a，b b的夹角为钝角a·ba·b0 且a a，b b不共线 2平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ab b)·(a ab b)a a2b b2. (2)(a ab b)2a a22a a·b bb b2. (3)(a ab b)2a a22a a·b bb b2. 3当a a与b b同向时，a·ba·b|a|ba|b|； 当a a与b b反向时，a·ba·b|a|ba|b|. 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)在ABC中，向量与的夹角为B.( )AB BC (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 ( ) (3)若a·ba·b0， 则a a和b b的夹角为锐角 ； 若a·ba·b0， 则a a和b b的夹角为钝角 ( ) (4)a·ba·ba·ca·c(a a0)，则b bc c.( ) 答案 (1)× (2) (3)× (4)× 2(教材改编)设a a(5，7)，b b(6，t)，若a·ba·b2，则t的值为( ) A4 B4 C. D 32 7 32 7 A A a·ba·b5×(6)7t2，解得t4，故选 A. 3(教材改编)已知|a a|2，|b b|6，a·ba·b6，则a a与b b的夹角为( )3 A. B. C. D. 6 3 2 3 5 6 D D cos ， a a··b b |a a| | |b b| 6 3 2 × 6 3 2 又 0，则，故选 D. 5 6 4已知向量a a(2,3)，b b(3，m)，且abab，则m_. 2 2 由abab得a·ba·b0，即63m0， 解得m2. 5(教材改编)已知|a a|5，|b b|4，a a与b b的夹角120°，则向量b b在向量a a方向 上的投影为_ 2 由数量积的定义知，b b在a a方向上的投影为|b b|cos 4×cos 120°2. 平面向量数量积的运算 1(2018·全国卷)已知向量a a，b b满足|a a|1，a·ba·b1，则a a·(2a ab b)( ) A4 B3 C2 D0 B B 因为|a a|1，a·ba·b1， 所以a a·(2a ab b)2|a a|2a·ba·b2×12(1)3， 故选 B. 2已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ( )AB AB CD A B3 C. D3 3 2 2 5 3 2 2 5 C C 因为点C(1,0)，D(4,5)，所以CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上AB AB CD 的投影为 |cos， ，故选 C.AB AB CD AB ·CD |CD | 15 5 2 3 2 2 3已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并 延长到点F，使得DE2EF，则·的值为( )AF BC A B. C. D. 5 8 1 8 1 4 11 8 B B 如图所示，.AF AD DF 又D，E分别为AB，BC的中点， 且DE2EF，所以，AD 1 2AB DF 1 2AC 1 4AC 3 4AC 所以.AF 1 2AB 3 4AC 又，BC AC AB 则··()AF BC ( 1 2AB 3 4AC ) AC AB · 22 · 1 2AB AC 1 2AB 3 4AC 3 4AC AB 22 ·. 3 4AC 1 2AB 1 4AC AB 又|1，BAC60°，AB AC 故· ×1×1× .AF BC 3 4 1 2 1 4 1 2 1 8 故选 B. 规律方法 平面向量数量积的三种运算方法 1当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·ba·b|a a|b b|cos a a，b b. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ax1，y1，b bx2，y2， 则a·ba·bx1x2y1y2. 3利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用 考法 1 求向量的模 【例 1】 (1)已知平面向量a a，b b的夹角为， 且|a a|， |b b|2， 在ABC中，2a a 6 3AB 2b b，2a a6b b，D为BC中点，则|等于( )AC AD A2 B4 C6 D8 (2)(2019·广州模拟)已知向量a a，b b的夹角为 60°，|a a|2，|a a2b b|2，则|b b|等于 ( ) A4 B2 C. D12 (1 1)A A (2 2)D D (1)因为 () (2a a2b b2a a6b b)2a a2b b，所以|24(a aAD 1 2 AB AC 1 2 AD b b)24(a a22b·ab·ab b2)4×4，则|2. (32 × 2 × 3 × cos 6 4)AD (2)由|a a2b b|2， 得(a a2b b)2|a a|24a·ba·b4|b b|24， 即|a a|24|a|ba|b|cos 60°4|b b|24， 即|b b|2|b b|0，解得|b b|0(舍去)或|b b|1，故选 D. 考法 2 求向量的夹角 【例 2】 (1)已知向量a a，b b满足(a a2b b)·(5a a4b b)0，且|a a|b b|1，则a a与b b的 夹角为( ) A. B. C. D. 3 4 4 3 2 3 (2)若向量a a(k,3)，b b(1,4)，c c(2,1)，已知 2a a3b b与c c的夹角为钝角，则k的取 值范围是_ (1 1)C C (2 2) (1)(a a2b b)·(5a a4b b)0， ( ，9 9 2 2) ( 9 9 2 2，3 3) 5a a26a·ba·b8b b20. 又|a a|b b|1， a·ba·b ， 1 2 cos . a a··b b |a a| | |b b| 1 2 又0，故选 C. 3 (2)因为 2a a3b b与c c的夹角为钝角，所以(2a a3b b)·c c0，即(2k3，6)·(2,1)0， 所以 4k660， 所以k3.又若(2a a3b b)c c， 则 2k312， 即k .当k 时， 2a a 9 2 9 2 3b b(12，6)6c c，即 2a a3b b与c c反向 综上，k的取值范围为. (， 9 2) ( 9 2，3) 考法 3 平面向量的垂直问题 【例 3】 (1)已知向量a a(1，1)，b b(6，4)若a a(ta ab b)，则实数t的值为 _ (2)已知向量与的夹角为 120°，且|3，|2.若，且，AB AC AB AC AP AB AC AP BC 则实数的值为_ (1 1)5 5 (2 2) (1)a a(1，1)，b b(6，4)，ta ab b(t6，t4) 7 7 1 12 2 又a a(ta ab b)，则a a·(ta ab b)0，即t6t40，解得t5. (2)由得·0，即()·()0，AP BC AP BC AB AC AC AB (1)· 220， AB AC AB AC 即3(1)940. 解得. 7 12 规律方法 平面向量数量积求解问题的策略 1求两向量的夹角：，要注意0，. 2两向量垂直的应用 ： 两非零向量垂直的充要条件是 ：a ab ba a·b b0|a ab b|a a b b|. 3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a a2a a·a a|a a|2或|a a|.a a·a a 若a ax，y，则|a a|.x2y2 (1)(2017·全国卷)已知向量a a，b b的夹角为 60°， |a a|2， |b b|1， 则|a a 2b b|_. (2)(2017·山东高考)已知e e1，e e2是互相垂直的单位向量若e e1e e2与e e1e e2的夹3 角为 60°，则实数的值是_ (1 1)2 2 (2 2) (1)法一：|a a2b b|3 3 3 3 3 3 a a2b b2 a a24a a··b b4b b2 2 24 × 2 × 1 × cos 60°4 × 12 2.123 法二：(数形结合法)由|a a|2b b|2，知以a a与2b2b为邻边可作出边长为 2 的菱形OACB， 如图，则|a a2b b|.又AOB60°，所以|a a2b b|2.OC 3 (2)由题意知|e e1|e e2|1，e e1·e e20， |e e1e e2|3 3 e e1e e22 2.3e e2 12 3e e1·e e2e e2 2301 同理|e e1e e2|.12 所以 cos 60° 3 e e1e e2·e e1e e2 | 3 e e1e e2|e e1e e2| ， 3e e2 1 31e e1·e e2e e2 2 2 12 3 2 12 1 2 解得. 3 3 平面向量与三角函数的综合 【例 4】 (2017·江苏高考)已知向量a a(cos x，sin x)，b b(3，)，x0，3 (1)若a ab b，求x的值； (2)记f(x)a a·b b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 解 (1)因为a a(cos x，sin x)，b b(3，)，a ab b，3 所以cos x3sin x.3 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2 xcos2 x1 矛盾， 故 cos x0. 于是 tan x. 3 3 又x0，所以x. 5 6 (2)f(x)a a·b b(cos x，sin x)·(3，)3 3cos xsin x2cos.33 (x 6) 因为x0，所以x， 6 6 ，7 6 从而1cos. (x 6) 3 2 于是，当x，即x0 时，f(x)取到最大值 3； 6 6 当x，即x时，f(x)取到最小值2. 6 5 6 3 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式， 运用向量共线或垂直或等式成立 等，得到三角函数的关系式，然后求解. 2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解 题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. 在平面直角坐标系xOy中， 已知向量m m，n n(sin x， cos x)， ( 2 2 ， 2 2) x. (0， 2) (1)若mnmn，求 tan x的值； (2)若m m与n n的夹角为，求x的值 3 解 (1)因为m m，n n(sin x，cos x)，mnmn. ( 2 2 ， 2 2) 所以m·nm·n0，即sin xcos x0， 2 2 2 2 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m m|n n|1，所以m·nm·ncos ， 3 1 2 即sin xcos x ，所以 sin ， 2 2 2 2 1 2(x 4) 1 2 因为 0x，所以x， 2 4 4 4 所以x，即x. 4 6 5 12 1(2016·全国卷)已知向量，则ABC( )BA ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) A30° B45° C60° D120° A A 因为，所以·.又因为·|BA ( 1 2， 3 2) BC ( 3 2 ，1 2) BA BC 3 4 3 4 3 2 BA BC BA BC |cosABC1×1×cosABC，所以 cosABC.又 0°ABC180°，所以ABC30°. 3 2 故选 A. 2(2015·全国卷)向量a a(1，1)，b b(1,2)，则(2a ab b)·a a( ) A1 B0 C1 D2 C C 法一：a a(1，1)，b b(1,2)，a a22，a a·b b3， 从而(2a ab b)·a a2a a2a a·b b431. 法二：a a(1，1)，b b(1,2)， 2a ab b(2，2)(1,2)(1,0)， 从而(2a ab b)·a a(1,0)·(1，1)1，故选 C. 3(2014·全国卷)设向量a a，b b满足|a ab b|，|a ab b|，则a·ba·b( )106 A1 B2 C3 D5 A A |a ab b|2(a ab b)2a a22a a·b bb b210， |a ab b|2(a ab b)2a a22a a·b bb b26， 将上面两式左右两边分别相减，得 4a·ba·b4， a·ba·b1. 4(2017·全国卷)已知向量a a(1,2)，b b(m,1)若向量a ab b与a a垂直，则m _. 7 7 a a(1,2)，b b(m,1)， a ab b(1m,21)(m1,3) 又a ab b与a a垂直，(a ab b)·a a0， 即(m1)×(1)3×20， 解得m7. 自我感悟：_ _ _