2020版高考数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例文含解析北师大.pdf

课后限时集训(二十六) 课后限时集训(二十六) (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1 在边长为 1 的等边ABC中， 设a a，b b，c c， 则a a·b bb b·c cc c·a a( )BC CA AB A B0 C D3 3 2 3 2 A A 依题意有a a·b bb b·c cc c·a a . ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) 3 2 2 (2019·合肥模拟)已知不共线的两个向量a a，b b满足|a ab b|2 且a a(a a2b b)， 则|b b| ( ) AB22 C2D42 B B 由a a(a a2b b)得a a·(a a2b b)|a a|22a a·b b0.又|a ab b|2， |a ab b|2|a a|2 2a a·b b|b b|24，则|b b|24，|b b|2，故选 B. 3(2019·昆明模拟)已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，2)，则 ·( )OB AC A6B3 C3D6 B B (2,2)，(1， 2)， 则(3,0)， 又(1， 4)， 所以·OA OC OB OA OC AC OB AC 3×(1)0×(4)3.故选 B. 4已知点A(0,1)，B(2,3)，C(1，2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为( )AC BD AB 2 13 13 2 13 13 CD 13 13 13 13 D D (1,1)，(3,2)，AC BD 在方向上的投影为|cos， .AC BD AC AC BD AC ·BD |BD | 1 × 31 × 2 3222 1 13 13 13 故选 D. 5已知非零向量a a，b b满足|b b|4|a a|，且a a(2a ab b)，则a a与b b的夹角为( ) AB 3 2 CD 2 3 5 6 C C a a(2a ab b)，a a·(2a ab b)0， 2|a a|2a a·b b0， 即 2|a a|2|a a|b b|cosa a，b b0. |b b|4|a a|，2|a a|24|a a|2cosa a，b b0， cosa a，b b ，0a a，b b. 1 2 a a，b b. 2 3 二、填空题 6(2016·全国卷)设向量a a(x，x1)，b b(1,2)，且a ab b，则x_. a ab b，a·ba·b0，即x2(x1)0，x . 2 2 3 3 2 3 7已知a a，b b，则|a ab b|_. (cos 6 ，sin 6)(cos 5 6 ，sin5 6) 由题意知|a a|b b|1，a·ba·bcoscossinsin coscos3 3 6 5 6 6 5 6( 6 5 6) 2 3 .所以|a ab b|2a a22a·ba·b|b b|222× 3，即|a ab b|. 1 2 1 2 3 8 已知锐角三角形ABC中， |4， |1， ABC的面积为， 则·_.AB AC 3AB AC 2 2 由SABC |sin A得 sin A， 又A， 则A， 故·| 1 2 AB AC 3 3 2(0， 2) 3 AB AC |cos A4×1× 2.AB AC 1 2 三、解答题 9已知|a a|4，|b b|3，(2a a3b b)·(2a ab b)61. (1)求a a与b b的夹角； (2)求|a ab b|； (3)若a a，b b，求ABC的面积AB BC 解 (1)因为(2a a3b b)·(2a ab b)61， 所以 4|a a|24a·ba·b3|b b|261. 又因为|a a|4，|b b|3，所以 644a·ba·b2761， 所以a·ba·b6. 所以 cos . a a··b b |a a| | |b b| 6 4 × 3 1 2 又因为 0，所以. 2 3 (2)|a ab b|2(a ab b)2|a a|22a·ba·b|b b|2422×(6)3213，所以|a ab b|.13 (3)因为与的夹角，所以ABC.AB BC 2 3 2 3 3 又因为|a a|4，|b b|3，AB BC 所以SABC |·|sinABC ×4×3×3. 1 2 AB BC 1 2 3 2 3 10 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 向量m m(cos(AB)， sin(AB)，n n(cos B，sin B)，且m·nm·n . 3 5 (1)求 sin A的值； (2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影2BA BC 解 (1)由m·nm·n ， 3 5 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B ， 3 5 化简得 cos A .因为 0A， 3 5 所以 sin A .1cos2A1(3 5) 2 4 5 (2)由正弦定理，得， a sin A b sin B 则 sin B， bsin A a 5 × 4 5 4 2 2 2 因为ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B. 4 由余弦定理得(4)252c22×5c×，2 ( 3 5) 解得c1，c7(舍去)， 故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1×.BA BC BA 2 2 2 2 B B 组 能力提升 1(2019·黄冈模拟)已知(cos 23°，cos 67°)，(2cos 68°，2cos 22°)，AB BC 则ABC的面积为( ) A2 B. C1 D.2 2 2 D D 因为(cos 23°，sin 23°)，(2sin 22°，2cos 22°)，AB BC 所以 cos， AB BC 2cos 23°sin 22°sin 23°cos 22° cos223°sin223°· 2sin 22°22cos 22°2 sin 45°. 2 2 所以与的夹角为 45°，故ABC135°.AB BC 所以SABC |sin 135° ×1×2×，故选 D. 1 2 AB BC 1 2 2 2 2 2 2(2019·太原模拟)向量a a，b b满足|a ab b|2|a a|，且(a ab b)·a a0，则a a，b b的夹角3 的余弦值为( ) A0B1 3 CD 1 2 3 2 B B (a ab b)·a a0a a2b·ab·a，|a ab b|2|a a|a a2b b22a·ba·b12a a2b b29a a2，所以3 cosa a，b b . b b··a a |b b| |··| |a a| a a2 3|a a| |··| |a a| | 1 3 3已知点O为ABC的外心，且|4，|2，则·_.AC AB AO BC 6 6 因为点O为ABC的外心，且|4，|2，AC AB 所以··()AO BC AO AC AB ··AO AC AO AB |cos， |·cos， AO AC AO AC AO AB AO AB |× |× 6.AC AC 1 2 AB AB 1 2 4(2019·合肥模拟)已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a，b，c 成等比数列，cos B . 3 4 (1)求的值； 1 tan A 1 tan C (2)设· ，求ac的值BA BC 3 2 解 (1)由 cos B ，0B 得 sin B， 3 4 1(3 4) 2 7 4 a，b，c成等比数列，b2ac， 由正弦定理，可得 sin2Bsin Asin C， 于是 1 tan A 1 tan C cos A sin A cos C sin C sin Ccos Acos Csin A sin Asin C . sinAC sin2B sin B sin2B 1 sin B 4 7 7 (2)由· 得cacos B ， 而 cos B ， b2ac2， 由余弦定理， 得b2a2c2BA BC 3 2 3 2 3 4 2accos B，a2c25，(ac)252ac9，ac3.