2020版高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座5圆锥曲线的综合问题课时达标理含解析新人教A.pdf

高考必考题突破讲座 (五)高考必考题突破讲座 (五) 1已知双曲线C1与椭圆1 有相同的焦点，并且经过点. x2 25 y2 9( 5 2， 3 3 2) (1)求C1的标准方程； (2)直线l：ykx1 与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围 解析 (1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则 2a4，即a2，又因 x2 a2 y2 b2|( 5 24) 2( 3 3 2) 2 ( 5 24) 2( 3 3 2) 2| 为c4，所以b2c2a212. 故双曲线的标准方程为1. x2 4 y2 12 (2)由Error!得(3k2)x22kx130，设该方程的两根分别为x1，x2，则Error!解得 k.故k的取值范围是. 13 2 3 ( 13 2 ， 3) 2 (2019·汕头期中)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)， 且点P x2 a2 y2 b2(1， 3 2) 在椭圆C上，O为坐标原点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B， 且AOB为锐角， 求直线l 的斜率k的取值范围 解析 (1)由题意得c1，所以a2b21， 又点P在椭圆C上，所以1， (1， 3 2) 1 a2 9 4b2 由可解得a24，b23， 所以椭圆C的标准方程为1. x2 4 y2 3 (2)设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得(4k23)x216kx4 0，因为16(12k23)0，所以k2 ，则x1x2，x1x2.因为AOB为 1 4 16k 4k23 4 4k23 锐角， 所以·0， 即x1x2y1y20， 所以x1x2(kx12)(kx22)0， 所以(1k2)x1x2OA OB 2k(x1x2)40， 即(1k2)·2k·40， 解得k2 .又k2 ， 所以 k2 4 4k23 16k 4k23 4 3 1 4 1 4 ，解得k 或 k.所以直线l的斜率k的取值范围为 4 3 2 3 3 1 2 1 2 2 3 3( 2 3 3 ，1 2) ( 1 2， 2 3 3) 3在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)求证：y1y2为定值； (2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在， 求 出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由 解析 (1)证明 ： 设直线AB的方程为myx2，由Error!得y24my80，所以y1y28. 因此有y1y28 为定值 (2)设存在直线l：xa满足条件，则AC的中点E，|AC|. ( x12 2 ，y 1 2) x122y2 1 点A在抛物线上， 所以y4x1， 因此以AC为直径的圆的半径r |AC| 2 1 1 2 1 2 x122y2 1 ， 又点E到直线xa的距离d.故直线l被圆截得的弦长为 22 1 2 x2 14 | x12 2 a|r2d2 1 4x 2 14(x 12 2 a)2x2 14x122a2 .当 1a0， 即a1 时， 弦长为定值 2， 这时直线方程为x1.41ax18a4a2 4已知长轴长为 4 的椭圆1(ab0)过点P，点F是椭圆的右焦点 x2 a2 y2 b2( 2 6 3 ，1) (1)求椭圆方程； (2)是否存在x轴上的定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点设点E为点B关 于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由 解析 (1)由题意知 2a4，所以a2.把点P的坐标代入1，得 1，解得b2 x2 4 y2 b2 2 3 1 b2 3.所以椭圆方程为1. x2 4 y2 3 (2)存在定点D(4,0)满足条件设D(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则E(x2，y2)，设 直线l的方程为xmyt， 联立Error!消去x， 得(3m24)y26mt·y3t2120， 所以Error! 且0.所以(x21， y2)，(x11，y1)， 则由A，F，E三点共线， 得(x21)y1(x1FE FA 1)y20， 即(my2t1)y1(my1t1)y20， 即 2my1y2(t1)(y1y2)0， 所以 2m· (t1)·0，解得t4，所以存在定点D(4,0)满足条件 3t212 3m24 6mt 3m24 5 如图， 已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A， 右焦点为F， 直线AF与圆M：x2y2 x2 a2 6x2y70 相切 (1)求椭圆C的方程； (2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且·0，求证：直线l过AP AQ 定点，并求出该定点N的坐标 解析 (1)将圆M的一般方程x2y26x2y70化为标准方程为(x3)2(y1)2 3， 圆M的圆心为M(3,1)， 半径为r.由A(0,1)，F(c,0)(c)得直线AF： y1，3a21 x c 即xcyc0.由直线AF与圆M相切得.所以c或c(舍去)所 |3cc| c21 322 以a，所以椭圆C的方程为y21.3 x2 3 (2)证明 ： 由·0 知APAQ， 从而直线AP与坐标轴不垂直， 由A(0,1)可设直线APAP AQ 的方程为ykx1， 直线AQ的方程为yx1(k0)， 将ykx1代入椭圆C的方程 1 k x2 3 y21 并整理，得(13k2)x26kx0，解得x0 或x，因此P的坐标为 6k 13k2 ， 即.将上式中的k换成 ， 得Q. ( 6k 13k2， 6k2 13k21)( 6k 13k2， 13k2 13k2) 1 k( 6k k23， k23 k23) 所以直线l的方程为y·， 化简得直线l的方程为y k23 k23 13k2 13k2 6k k23 6k 13k2 (x 6k k23) k23 k23 k21 4k x .因此直线l过定点N. 1 2(0， 1 2) 6 (2019·湖南师大附中期中)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为 2， 且椭圆C y2 a2 x2 b2 的顶点在圆M：x2 2 上 (y 2 2) 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|CD|的最小值 解析 (1)由题意可知 2b2，b1.又椭圆C的顶点在圆M上， 则a， 故椭圆C的方2 程为x21. y2 2 (2)当直线AB的斜率不存在或为零时，|AB|CD|3； 当直线AB的斜率存在，且不2 为零时， 设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error!消去y， 整理得(k22)x2 2kx10， 则x1x2，x1x2， 故|AB|· 2k k22 1 k22 1k2x1x224x1x2 .同理可得|CD|，所以|AB|CD|.令t 2 2k21 k22 2 2k21 2k21 6 2k212 2k21k22 k2 1， 则t 1,0 1， 所 以 |AB| |CD| 1 t 6 2 t2 2t1t1 6 2 (2 1 t)(1 1 t) ， 当 0 1 时， 2 2 ， 所以 |AB|CD|3， 综上可知， 6 2 (1 t 1 2) 29 4 1 t( 1 t 1 2) 9 4 9 4 8 2 3 2 |AB|CD|3，所以|AB|CD|的最小值. 8 2 3 2 8 2 3