2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章 第三节 基本不等式 Word版含答案.pdf

第三节第三节基本不等式基本不等式 1基本不等式基本不等式ab a b 2 (1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 ab. 2几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)；(2) 2(a，b 同号同号)； b a a b (3)ab 2(a， ，bR)；(4) 2 (a，bR)； ( ( a b 2 ) )( ( a b 2 ) ) a2b2 2 (5) (a0，b0) 2ab a b ab a b 2 a2b2 2 3算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设 a0，b0，则，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为 ：的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为 ： a b 2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题 已知已知 x0，y0，则，则 (1)如果如果 xy 是定值是定值 p，那么当且仅当，那么当且仅当 xy 时，时，xy 有最小值是有最小值是 2(简记：积定和最小简记：积定和最小)p (2)如果如果 xy 是定值是定值 q，那么当且仅当，那么当且仅当 xy 时，时，xy 有最大值是有最大值是(简记：和定积最大简记：和定积最大) q2 4 注：注：1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指 求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立 “一正”指正数，“二定”指 求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“×”对的打“” ，错的打“×”) (1)当当 a0，b0 时，时，.( ) a b 2 ab (2)两个不等式两个不等式 a2b22ab 与成立的条件是相同的与成立的条件是相同的( ) a b 2 ab (3)x0 且且 y0 是 是 2 的充要条件的充要条件( ) x y y x (4)函数函数 f(x)cos x，x的最小值等于的最小值等于 4.( ) 4 cos x ( ( 0， ， 2) ) 答案：答案：(1) (2)× × (3)× × (4)×× 二、选填题二、选填题 1设设 x0，y0，且，且 xy18，则，则 xy 的最大值为的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 答案：答案：C 2设设 0ab，则下列不等式中正确的是，则下列不等式中正确的是( ) Aab Babab a b 2 ab a b 2 Cab D.abab a b 2 ab a b 2 解析 ： 选解析 ： 选 B 因为 因为 0ab， 所以， 所以 a()0， 故， 故 a； b0，abaabab a b 2 b a 2 故故 b；由基本不等式知，综上所述，；由基本不等式知，综上所述，ab，故选，故选 B. a b 2 a b 2 abab a b 2 3函数函数 f(x)x 的值域为 的值域为( ) 1 x A2,22,2 B2，) C(，22，) DR 解析：选解析：选 C 当 当 x0 时，时，x 2 2. 1 x x·1 x 当当 x0 时，时，x0. x2 2. 1 x x · 1 x 所以所以 x 2. 1 x 所以所以 f(x)x 的值域为 的值域为(，22，) 1 x 4若实数若实数 x，y 满足满足 xy1，则，则 x22y2的最小值为的最小值为_ 答案：答案：2 2 5若若 x1，则，则 x的最小值为的最小值为_ 4 x 1 解析：解析：xx11415. 4 x 1 4 x 1 当且仅当当且仅当 x1，即，即 x3 时等号成立时等号成立 4 x 1 答案：答案：5 考考点点一一 利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值全全析析考考法法过过关关 (一一) 拼凑法 拼凑法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 1 例 1 (1)已知已知 0x1，则，则 x(43x)取得最大值时取得最大值时 x 的值为的值为_ (2)已知已知 x ，则 ，则 f(x)4x2的最大值为的最大值为_ 5 4 1 4x 5 (3)函数函数 y(x1)的最小值为的最小值为_ x22 x 1 解析 解析 (1)x(43x) ·(3x)(43x) · 2 ，当且仅当 ，当且仅当 3x43x，即，即 x 1 3 1 3 3x 4 3x 2 4 3 2 3 时，取等号故所求时，取等号故所求 x 的值为的值为 . 2 3 (2)因为因为 x ，所以 ，所以 54x0， 5 4 则则 f(x)4x23231.当且仅当当且仅当 54x， 即， 即 x 1 4x 5 ( ( 54x 1 5 4x) ) 1 5 4x 1 时，取等号时，取等号 故故 f(x)4x2的最大值为的最大值为 1. 1 4x 5 (3)y x22 x 1 x 2 2x1 2x2 3 x 1 x 1 2 2 x1 3 x 1 (x1)222. 3 x 1 3 当且仅当当且仅当 x1，即，即 x1 时，取等号时，取等号 3 x 1 3 答案 答案 (1) (2)1 (3)22 2 3 3 解解题 题技技法法 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼 系数、凑常数是关键 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼 系数、凑常数是关键 (二二) 常数代换法 常数代换法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 2 已知例 2 已知 a0，b0，ab1，则 的最小值为，则 的最小值为_ 1 a 1 b 解析 因为解析 因为 ab1， 所以 所以 (ab)222 224.当且仅当当且仅当 ab 时， 取等号 时， 取等号 1 a 1 b ( ( 1 a 1 b) ) ( ( b a a b) ) b a· a b 1 2 答案 答案 4 变 变式 式发 发散散 1(变条件变条件)将条件“将条件“ab1”改为“”改为“a2b3” ，则 的最小值为” ，则 的最小值为_ 1 a 1 b 解析：因为解析：因为 a2b3，所以，所以 a b1. 1 3 2 3 所以 所以 1 a 1 b ( ( 1 a 1 b) )( ( 1 3a 2 3b) ) 12 1 3 2 3 a 3b 2b 3a a 3b· 2b 3a 1.当且仅当当且仅当 ab 时，取等号时，取等号 2 2 3 2 答案：答案：1 2 2 3 2(变设问变设问)保持本例条件不变，则的最小值为保持本例条件不变，则的最小值为_ ( ( 11 a) )( (1 1 b) ) 解析：解析： ( ( 11 a) )( (1 1 b) ) ( (1 a b a ) )( ( 1a b b ) ) 52549.当且仅当当且仅当 ab 时，取等号 时，取等号 ( ( 2b a) )( (2 a b) ) ( ( b a a b) ) 1 2 答案：答案：9 解解题 题技技法法 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值(常数常数)； (2)把确定的定值把确定的定值(常数常数)变形为变形为 1； (3)把把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值 利用基本不等式求解最值 (三三) 消元法 消元法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 3 已知例 3 已知 x0，y0，x3yxy9，则，则 x3y 的最小值为的最小值为_ 解析 法一解析 法一(换元消元法换元消元法)：由已知得：由已知得 x3y9xy， 因为因为 x0，y0，所以，所以 x3y2，3xy 所以所以 3xy 2，当且仅当 ，当且仅当 x3y，即，即 x3，y1 时取等号，即时取等号，即(x3y)212(x3y) ( ( x 3y 2 ) ) 1080. 令令 x3yt，则，则 t0 且且 t212t1080， 得得 t6，即，即 x3y 的最小值为的最小值为 6. 法二法二(代入消元法代入消元法)：由：由 x3yxy9， 得得 x， 9 3y 1 y 所以所以 x3y3y 9 3y 1 y 93y3y 1 y 1 y 9 3y2 1 y 3 1 y 2 6 1y 12 1 y 3(1y)62 6 12 1 y 3 1y · 12 1 y 1266.即即 x3y 的最小值为的最小值为 6. 答案 答案 6 解解题 题技技法法 通过消元法利用基本不等式求最值的策略通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑 出“和为常数”或“积为常数” ，最后利用基本不等式求最值 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑 出“和为常数”或“积为常数” ，最后利用基本不等式求最值 (四四) 利用两次基本不等式求最值 利用两次基本不等式求最值 例 4 已知例 4 已知 ab0，那么，那么 a2的最小值为的最小值为_ 1 b a b 解析 由解析 由 ab0，得，得 ab0， b(ab) 2 . ( ( ba b 2 ) ) a2 4 a2a22 4， 1 b a b 4 a2 a2· 4 a2 当且仅当当且仅当 bab 且且 a2，即，即 a，b时取等号时取等号 4 a2 2 2 2 a2的最小值为的最小值为 4. 1 b a b 答案 答案 4 解解题 题技技法法 两次利用基本不等式求最值的注意点两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号 的条件的一致性 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号 的条件的一致性 过关训练过关训练 1(2019·常州调研常州调研)若实数若实数 x 满足满足 x4，则函数，则函数 f(x)x的最小值为的最小值为_ 9 x 4 解析：解析：x4，x40， f(x)xx442 42， 9 x 4 9 x 4 x 4 · 9 x 4 当且仅当当且仅当 x4，即，即 x1 时取等号时取等号 9 x 4 故函数故函数 f(x)x的最小值为的最小值为 2. 9 x 4 答案：答案：2 2若正数若正数 x，y 满足满足 x26xy10，则，则 x2y 的最小值是的最小值是_ 解析：因为正数解析：因为正数 x，y 满足满足 x26xy10， 所以所以 y. 1 x2 6x 由由Error!Error!即即Error!Error!解得解得 0x1. 所以所以 x2yx2 ， 1 x2 3x 2x 3 1 3x 2x 3 · 1 3x 2 2 3 当且仅当，即当且仅当，即 x，y时取等号时取等号 2x 3 1 3x 2 2 2 12 故故 x2y 的最小值为的最小值为. 2 2 3 答案：答案： 2 2 3 考考点点二二 利利用用基基本本不不等等式式解解决决实实际际问问题题师师生生共共研研过过关关 典例精析典例精析 某厂家拟定在某厂家拟定在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量即该厂的年产量)x 万件与年促销费用万件与年促销费用 m(m0)万元满足万元满足 x3(k 为常数为常数)如果不搞促销活动，那么该产如果不搞促销活动，那么该产 k m 1 品的年销量只能是品的年销量只能是 1 万件已知万件已知 2019 年生产该产品的固定投入为年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产万元，每生产 1 万件该产 品需要再投入 万件该产 品需要再投入 16 万元， 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的万元， 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍倍(产品成本 包括固定投入和再投入两部分资金 产品成本 包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将将 2019 年该产品的利润年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用万元表示为年促销费用 m 万元的函数；万元的函数； (2)该厂家该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 解 (1)由题意知，当由题意知，当 m0 时，时，x1(万件万件)， 所以所以 13kk2，所以，所以 x3， 2 m 1 每件产品的销售价格为每件产品的销售价格为 1.5××(元元)， 8 16x x 所以所以 2019 年的利润年的利润 y1.5x××816xm 8 16x x 29(m0) 16 m 1 m 1 (2)因为因为 m0 时，时，(m1)28， 16 m 1 16 所以所以 y82921， 当且仅当当且仅当m1m3(万元万元)时，时， 16 m 1 ymax21(万元万元) 故该厂家故该厂家 2019 年的促销费用投入年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为万元时，厂家的利润最大为 21 万元万元 解题技法解题技法 利用基本不等式解决实际问题的利用基本不等式解决实际问题的 3 个注意点个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值 (3)在求函数的最值时，一定要在定义域在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解内求解 过关训练过关训练 1若把总长为若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 解析：设一边长为解析：设一边长为 x m，则另一边长可表示为，则另一边长可表示为(10x)m， 由题知由题知 0x10，则面积，则面积 Sx(10x) 2 25，当且仅当，当且仅当 x10x，即，即 x5 ( ( x10 x 2 ) ) 时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为 5 m 时面积取到最大值时面积取到最大值 25 m2. 答案：答案：25 2(2019·孝感模拟孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量 y(L)与速度与速度 x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为的关系可近似表示为 yError!Error! (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知已知 A，B 两地相距两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向地驶向 B 地，则汽车速度为多 少时总耗油量最少？ 地，则汽车速度为多 少时总耗油量最少？ 解：解：(1)当当 x50,80)时，时，y(x2130x4 900)(x65)(x65)2 2675，当675，当 x65 时，时，y 有有 1 75 1 75 最小值，为×最小值，为×6759，当，当 x80,120时，函数80,120时，函数 y12单调递减，故当单调递减，故当 x120 时，时，y 有有 1 75 x 60 最小值，为最小值，为 10，因为，因为 910，所以该型号汽车的速度为，所以该型号汽车的速度为 65 km/h 时，每小时耗油量最低时，每小时耗油量最低 (2)设总耗油量为设总耗油量为 l， 由题意可知， 由题意可知 ly·， 当， 当 x50,80)时，时， ly· 120 x 120 x 8 5( (x 4 900 x 130 ) ) 8 5 16， 当且仅当， 当且仅当x， 即， 即x70时，时，l取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为16.当当x ( 2 x ×× 4 900 x 130 ) 4 900 x 80,120时，80,120时，ly·2为减函数，故当为减函数，故当x120时，时，l取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为10，因为，因为1016， 120 x 1 440 x 所以当速度为所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少时，总耗油量最少 考考点点三三 基基本本不不等等式式的的综综合合应应用用师师生生共共研研过过关关 典例精析典例精析 (1)已知直线已知直线 axbyc10(b0，c0)经过圆经过圆 C：x2y22y50 的圆心，则 的圆心，则 4 b 1 c 的最小值是的最小值是( ) A9 B8 C4 D2 (2)设等差数列设等差数列an的公差是的公差是 d，其前，其前 n 项和是项和是 Sn，若，若 a1d1，则的最小值是，则的最小值是 Sn8 an _ 解析 解析 (1)把圆把圆 x2y22y50 化成标准方程为化成标准方程为 x2(y1)26，所以圆心为，所以圆心为 C(0,1) 因为直线因为直线 axbyc10 经过圆心经过圆心 C， 所以所以 a××0b××1c10，即，即 bc1.又又 b0，c0， 因此 因此 (bc) 52 59. 4 b 1 c ( ( 4 b 1 c) ) 4c b b c 4c b ·b c 当且仅当当且仅当 b2c，且，且 bc1， 即即 b ， ，c 时， 取得最小值 时， 取得最小值 9. 2 3 1 3 4 b 1 c (2)由题意由题意 ana1(n1)dn，Sn， n 1 n 2 所以所以 Sn8 an n 1 n 2 8 n ， ， 1 2( (n 16 n 1 ) ) 1 2(2 n· 16 n 1 ) 9 2 当且仅当当且仅当 n4 时取等号时取等号 所以的最小值是所以的最小值是 . Sn8 an 9 2 答案 答案 (1)A (2)9 2 解题技法解题技法 利用基本不等式解题的策略利用基本不等式解题的策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立 ： 对所给不等式应用基本不等式判断不等式是否成立 ： 对所给不等式(或式子或式子)变形，然后利用基本不等 式求解 变形，然后利用基本不等 式求解 (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数 的值或范围 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数 的值或范围 过关训练过关训练 1已知函数已知函数 f(x)x 2 的值域为的值域为(，04，)，则，则 a 的值是的值是( ) a x A. B. 1 2 3 2 C1 D2 解析：选解析：选 C 由题意可得 由题意可得 a0， 当当 x0 时，时，f(x)x 222， a x a 当且仅当当且仅当 x时取等号；时取等号；a 当当 x0 时，时，f(x)x 222， a x a 当且仅当当且仅当 x时取等号，时取等号，a 所以所以Error!Error!解得解得 a1，故选，故选 C. 2 已知向量 已知向量 a(m,1)， b(4n,2)， m0， n0， 若， 若 ab， 则 的最小值为， 则 的最小值为_ 1 m 8 n 解析 ： 解析 ： ab， ， 4n2m0， 即， 即 2mn4.m0， n0， ， (n2m) 1 m 8 n 1 4 ( ( 1 m 8 n) ) × × ，当且仅当× × ，当且仅当 4mn 时取等号 的最小值 时取等号 的最小值 1 4 ( ( 10 n m 16m n ) ) 1 4 ( 10 2 n m· 16m n ) 9 2 8 3 1 m 8 n 是是 . 9 2 答案：答案：9 2