2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（十二） 函数模型及其应用 Word版含解析.pdf

课时跟踪检测课时跟踪检测(十二十二) 函数模型及其应用 函数模型及其应用 1某品牌电视新品投放市场后第一个月销售某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售台，第二个月销售 200 台，第三个月销 售 台，第三个月销 售 400 台，第四个月销售台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售台，则下列函数模型中能较好地反映销售 y(单位：台单位：台)与投放市 场的月数 与投放市 场的月数 x 之间关系的是之间关系的是( ) Ay100x By50x250x100 Cy50××2x Dy100log2x100 解析：选解析：选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代 入数据验证即可，故选 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代 入数据验证即可，故选 C. 2 某家具的标价为 某家具的标价为 132 元， 若降价以九折出售元， 若降价以九折出售(即优惠即优惠 10%)， 仍可获利， 仍可获利 10%(相对于进价相对于进价)， 则该家具的进价是 ， 则该家具的进价是( ) A118 元元 B105 元元 C106 元元 D108 元元 解析：选解析：选 D 设进价为 设进价为 a 元，由题意知元，由题意知 132××(110%)a10%·a，解得，解得 a108.故选故选 D. 3(2018·北京石景山联考北京石景山联考)小明在如图小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头 方向经过点 出发，沿箭头 方向经过点 B 跑到点跑到点 C，共用时，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程， 设小明跑步的时间为 ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程， 设小明跑步的时间为 t(s)， 他与教练间的距离为， 他与教练间的距离为 y(m)， 表示， 表示 y 与与 t 的函数关系的图象大致如图的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图所示，则这个固定位置可能是图 1 中的中的( ) A点点 M B点点 N C点点 P D点点 Q 解析：选解析：选 D 假设这个位置在点 假设这个位置在点 M，则从，则从 A 至至 B 这段时间，这段时间，y 不随时间的变化改变，与 函数图象不符，故 不随时间的变化改变，与 函数图象不符，故 A 选项错误；假设这个位置在点选项错误；假设这个位置在点 N，则从，则从 A 至至 C 这段时间，这段时间，A 点与点与 C 点对 应 点对 应 y 的大小应该相同，与函数图象不符，故的大小应该相同，与函数图象不符，故 B 选项错误；假设这个位置在点选项错误；假设这个位置在点 P，则由函数图 象可得，从 ，则由函数图 象可得，从 A 到到 C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过 30 s 时教练到小明 的距离，而点 时教练到小明 的距离，而点 P 不符合这个条件，故不符合这个条件，故 C 选项错误 ； 经判断点选项错误 ； 经判断点 Q 符合函数图象，故符合函数图象，故 D 选项正确， 选 选项正确， 选 D. 4(2019·洛阳模拟洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月 评价分数 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月 评价分数 x(正常情况下正常情况下 0x100，且教职工平均月评价分数在，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可 以高于 分左右，若有突出贡献可 以高于 100 分分)计算当月绩效工资计算当月绩效工资 y(元元)要求绩效工资不低于要求绩效工资不低于 500 元，不设上限，且让大部分 教职工绩效工资在 元，不设上限，且让大部分 教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则下列函数最符元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则下列函数最符 合要求的是合要求的是( ) Ay(x50)2500 By10500 x 25 Cy(x50)3625 Dy5010lg(2x1)10lg(2x1) 1 1 000 解析 ： 选解析 ： 选C 由题意知， 拟定函数应满足 ： 是单调递增函数， 且增长速度先快后慢再快 ； 在 由题意知， 拟定函数应满足 ： 是单调递增函数， 且增长速度先快后慢再快 ； 在 x50 左右增长速度较慢，最小值为左右增长速度较慢，最小值为 500.A 中，函数中，函数 y(x50)2500 先减后增，不符合 要求； 先减后增，不符合 要求；B 中，函数中，函数 y10500 是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，中， x 25 函数函数 y5010lg(2x1)是对数型函数， 增长速度是越来越慢， 不符合要求 ； 而10lg(2x1)是对数型函数， 增长速度是越来越慢， 不符合要求 ； 而 C 中， 函数中， 函数 y (x50)3625 是由函数是由函数 yx3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求故选经过平移和伸缩变换得到的，符合要求故选 C. 1 1 000 5(2019·邯郸名校联考邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内 预计销售量 某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内 预计销售量 y(万件万件)与广告费与广告费 x(万元万元)之间的函数关系为之间的函数关系为 y1(x0) 已知生产此产品的 已知生产此产品的 3x x 2 年固定投入为年固定投入为 4 万元，每生产万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入万件此产品仍需再投入 30 万元，且能全部售完万元，且能全部售完. 若每件甲产 品售价 若每件甲产 品售价(元元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的定为“平均每件甲产品所占生产成本的 150%”与“年平均每件甲产品所占广告费 的 ”与“年平均每件甲产品所占广告费 的 50%”之和，则当广告费为”之和，则当广告费为 1 万元时，该企业甲产品的年利润为万元时，该企业甲产品的年利润为( ) A30.5 万元万元 B31.5 万元万元 C32.5 万元万元 D33.5 万元万元 解析：选解析：选 B 由题意，产品的生产成本为 由题意，产品的生产成本为(30y4)万元，销售单价为×万元，销售单价为×150% 30y 4 y x y ××50%， 故年销售收入为， 故年销售收入为 z·y45y6 x.年利润年利润 Wz ( ( 30y 4 y ×× 150%x y ×× 50% ) ) 1 2 (30y4)x15y2 17 (万元万元)当广告费为当广告费为 1 万元时，即万元时，即 x1，该企业甲，该企业甲 x 2 45x x 2 x 2 产品的年利润为产品的年利润为 17 31.5(万元万元)故选故选 B. 45 1 2 1 2 6 拟定甲、 乙两地通话 拟定甲、 乙两地通话m分钟的电话费分钟的电话费(单位 ： 元单位 ： 元)由由f(m)1.06(0.5mm1)给出， 其中给出， 其中m0， m是不超过 ， m是不超过 m 的最大整数的最大整数(如3如33，3.7，3.73，3.1，3.13)，则甲、乙两地通话，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话 费为 分钟的电话 费为_元元 解析：解析：m6.5，m，m6，则，则 f(m)1.06××(0.5××61)4.24. 答案：答案：4.24 7(2019·唐山模拟唐山模拟)某人计划购买一辆某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的 保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 万元，购买后轿车每年的 保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每 年减少它的价值的 即这辆车每 年减少它的价值的 10%)， 试问， 大约使用， 试问， 大约使用_年后， 用在该车上的费用年后， 用在该车上的费用(含折旧费含折旧费)达到达到 14. 4 万元万元 解析 ： 设使用解析 ： 设使用 x 年后花费在该车上的费用达到年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元， 依题意可得，万元， 依题意可得， 14.4(10.9x)2.4x 14.4. 化简得化简得 x6××0.9x0. 令令 f(x)x6××0.9x， 易得易得 f(x)为单调递增函数，又为单调递增函数，又 f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函数，所以函数 f(x)在在(3,4) 上有一个零点上有一个零点 故大约使用故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元万元 答案：答案：4 8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形 ABCD，腰与底边 夹角为 ，腰与底边 夹角为 60° °(如图如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面 面积为 ，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面 面积为 9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，米，33 外周长外周长(梯形的上底线段梯形的上底线段 BC 与两腰长的和与两腰长的和)为为 y 米要使防洪堤横断面的外周长不超过米要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长米，则其腰长 x 的取值范围为的取值范围为_ 解析：根据题意知，解析：根据题意知，9 (ADBC)h，其中，其中 ADBC2× × BCx，hx，3 1 2 x 2 3 2 所以所以 9 (2BCx)x，得，得 BC ， ，3 1 2 3 2 18 x x 2 由由Error!Error!得得 2x6. 所以所以 yBC2x(2x6)， 18 x 3x 2 由由 y10.5，解得，解得 3x4. 18 x 3x 2 因为3,4因为3,4 2,6)，所以腰长x的取值范围为3,42,6)，所以腰长x的取值范围为3,4 答案：3,4答案：3,4 9.如图，已知边长为如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE 4 米，米，CD6 米为了合理利用这块钢板， 在五边形米为了合理利用这块钢板， 在五边形 ABCDE 内截取一个 矩形 内截取一个 矩形 BNPM， 使点， 使点 P 在边在边 DE 上上 (1)设设 MPx 米，米，PNy 米，将米，将 y 表示成表示成 x 的函数，并求该函数的解 析式及定义域； 的函数，并求该函数的解 析式及定义域； (2)求矩形求矩形 BNPM 面积的最大值面积的最大值 解：解：(1)如图，作如图，作 PQAF 于于 Q，所以，所以 PQ8y，EQx4， 在在EDF 中，中， EQ PQ EF FD 所以 ，所以 ， x 4 8 y 4 2 所以所以 y x10， 1 2 定义域为定义域为x|4x8 (2)设矩形设矩形 BNPM 的面积为的面积为 S， 则则 S(x)xyx (x10)250， ( ( 10x 2) ) 1 2 所以所以 S(x)是关于是关于 x 的二次函数， 且其图象开口向下， 对称轴为直线的二次函数， 且其图象开口向下， 对称轴为直线 x10， 所以当， 所以当 x4,8 时， 4,8 时，S(x)单调递增，单调递增， 所以当所以当 x8 时，矩形时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为的面积取得最大值，最大值为 48 平方米平方米 10近年来，某企业平均每年缴纳的电费约近年来，某企业平均每年缴纳的电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使 用 万元，为了节能减排，决定安装一个可使 用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元单位：万元)与太阳能 电池板的面积 与太阳能 电池板的面积(单位：平方米单位：平方米)成正比，比例系数约为成正比，比例系数约为 0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳 能和电能互补供电的模式 假设在此模式下， 安装后该企业平均每年缴纳的电费 为了保证正常用电，安装后采用太阳 能和电能互补供电的模式 假设在此模式下， 安装后该企业平均每年缴纳的电费 C(单位 ： 万元单位 ： 万元) 与安装的这种太阳能电池板的面积与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位 ： 平方米单位 ： 平方米)之间的函数关系是之间的函数关系是C(x)(x0， k k 20x100 为常数为常数) .记记 y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后 15 年共将缴纳的电费之 和 年共将缴纳的电费之 和 (1)试解释试解释 C(0)的实际意义，并建立的实际意义，并建立 y 关于关于 x 的函数关系式；的函数关系式； (2)当当 x 为多少时，为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？取得最小值？最小值是多少万元？ 解：解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时该企业平均每年缴纳的电 费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费由 时该企业平均每年缴纳的电 费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费由 C(0)24，得，得 k2 k 100 400， 所以所以 y15××0.5x0.5x(x0) 2 400 20x100 1 800 x 5 (2)因为因为 y0.5(x5)2.522.557.5， 1 800 x 5 1 800 ×× 0.5 当且仅当当且仅当0.5(x5)，即，即 x55 时取等号，时取等号， 1 800 x 5 所以当所以当 x 为为 55 时，时，y 取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为 57.5 万元万元 11选做题某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分 拣效率和降低物流成本，已知购买 选做题某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分 拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本台机器人的总成本 p(x)万元万元 ( ( 1 600x 2 x150 ) ) (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现按现按(1)中的数量购买机器人，需要安排中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达 指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q(m)Error!Error!(单位：件单位：件)，已 知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 ，已 知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1 200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值 时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值 时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 解：解：(1)由总成本由总成本 p(x)万元，可得每台机器人的平均成本万元，可得每台机器人的平均成本 y ( ( 1 600x 2 x150 ) ) p x x x1212.当且仅当当且仅当x，即，即 x300 时，上式时，上式 1 600x 2 x150 x 1 600 150 x 1 600x· 150 x 1 600 150 x 等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台台 (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q(m)Error!Error!当当 1m30 时，时， 300 台机器人的日平均分拣量为台机器人的日平均分拣量为 160m(60m)160m29 600m，当，当 m30 时，日平均分拣量有最大值时，日平均分拣量有最大值 144 000 件当件当 m30 时，日平均分拣量为时，日平均分拣量为 480××300144 000(件件)300 台机器人的日平均分拣量的最大值为台机器人的日平均分拣量的最大值为 144 000 件若传统人工 分拣 件若传统人工 分拣 144 000 件，则需要人数为件，则需要人数为120(人人)日平均分拣量达最大值时，用人数量比日平均分拣量达最大值时，用人数量比 144 000 1 200 引进机器人前的用人数量最多可减少×引进机器人前的用人数量最多可减少×100%75%. 12030 120