2020届高考数学一轮课件：5.2　等差数列和等比数列 .pdf

5.2 等差数列和等比数列 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 20102019年高考全国卷考情一览表 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考点59等差数列及其性质 1.(2016·全国1,理3,5分,难度)已知等差数列an前9项的和为 27,a10=8,则a100=( C ) A.100B.99C.98 D.97 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 2.(2015·浙江,理13,5分,难度)已知an是等差数列,公差d不为零, 前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( B ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40 解析设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. a3,a4,a8成等比数列, (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 3.(2015·广东,理10,5分,难度)在等差数列an中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= 10 . 解析根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又 a2+a8=2a5,所以a2+a8=10. 4.(2015·陕西,文13,5分,难度)中位数为1 010的一组数构成等差 数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 5 . 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考点60等差数列的通项与求和 1.(2019·全国1,理9,5分,难度)记Sn为等差数列an的前n项和.已 知S4=0,a5=5,则( A ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 2.(2018·全国1,理4,5分,难度)记Sn为等差数列an的前n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( B ) A.-12B.-10 C.10 D.12 解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d, 则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 3.(2017·全国3,理9,10分,难度)等差数列an的首项为1,公差不 为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为( A ) A.-24B.-3C.3D.8 4.(2015·全国2,文5,5分,难度)设Sn是等差数列an的前n项和,若 a1+a3+a5=3,则S5=( A ) A.5B.7C.9D.11 解析由a1+a3+a5=3及等差中项,得3a3=3,解得a3=1.故 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 5.(2015·全国1,文7,5分,难度)已知an是公差为1的等差数列,Sn 为an的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( B ) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 6.(2013·全国1,理7,5分,难度)设等差数列an的前n项和为Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( C ) A.3B.4C.5D.6 解析Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3. d=am+1-am=3-2=1. a1=-2,am=-2+(m-1)×1=2.m=5. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 7.(2019·全国3,文14,5分,难度)记Sn为等差数列an的前n项和. 若a3=5,a7=13,则S10= 100 . 8.(2019·全国3,理14,5分,难度)记Sn为等差数列an的前n项和. 若a10,a2=3a1,则 = 4 . 解析设等差数列an的公差为d. a10,a2=3a1, a1+d=3a1,即d=2a1. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 9.(2019·江苏,8,5分,难度)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是 其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 16 . 解析an为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27, 整理得a1+4d=3,即a1=3-4d, 把代入解得d=2,a1=-5. S8=8a1+28d=16. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 10.(2019·北京,理10,5分,难度)设等差数列an的前n项和为Sn. 若a2=-3,S5=-10,则a5= 0 ,Sn的最小值为 -10 . 解析等差数列an中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3- a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列an的性质得当n5时,an0,当n6 时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10. 11.(2018·北京,理9,5分,难度)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36, 则an的通项公式为 an=6n-3 . 解析an为等差数列,设公差为d, a2+a5=2a1+5d=36. a1=3,d=6.an=3+(n-1)×6=6n-3. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 12.(2018·上海,10,5分,难度)设等比数列an的通项公式为 13.(2016·北京,理12,5分,难度)已知an为等差数列,Sn为其前n 项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= 6 . 解析an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 14.(2014·北京,理12,5分,难度)若等差数列an满足 a7+a8+a90,a7+a100,即a80;而 a7+a10=a8+a91,则( B ) A.a1a3,a2a4 D.a1a3,a2a4 解析设等比数列的公比为q,则 又a11,q1,即q+q20,解得q0舍去). 由a11,可知a1(1+q+q2)1, a1(1+q+q2+q3)0,即1+q+q2+q30, 即(1+q)+q2(1+q)0,即(1+q)(1+q2)0,这与qa3,a20,a3=2. a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25. log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5 =log2(a1a2a3a4a5)=log225=5. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 9.(2018·全国1,文17,12分,难度)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= . (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考点62等比数列的通项与求和 1.(2018·北京,理4文5,5分,难度)“十二平均律”是通用的音律体系, 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做 出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个 单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单 音的频率为( D ) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 2.(2014·大纲全国,文8,5分,难度)设等比数列an的前n项和为 Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( C ) A.31 B.32 C.63D.64 解析由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,所以 (S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C. 3.(2013·全国2,理3,5分,难度)等比数列an的前n项和为Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( C ) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 4.(2013·全国1,文6,5分,难度)设首项为1,公比为 的等比数列an 的前n项和为Sn,则( D ) A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an 5.(2019·全国1,文14,5分,难度)记Sn为等比数列an的前n项和.若 a1=1,S3= ,则S4= . 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 8.(2015·全国1,文13,5分,难度)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn 为an的前n项和.若Sn=126,则n= 6 . 9.(2015·湖南,理14,5分,难度)设Sn为等比数列an的前n项和,若 a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= 3n-1 . 解析设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1. 因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q2), 整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去). 所以等比数列an的首项为a1=1,公比为q=3,故an=3n-1. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 10.(2013·辽宁,理14,5分,难度)已知等比数列an是递增数列,Sn 是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= 63 . 解析因为x2-5x+4=0的两根为1和4, 又数列an是递增数列, 所以a1=1,a3=4,所以q=2. 11.(2012·全国,文14,5分,难度)等比数列an的前n项和为Sn,若 S3+3S2=0,则公比q= -2 . 解析由S3=-3S2,可得a1+a2+a3=-3(a1+a2), 即a1(1+q+q2)=-3a1(1+q), 化简整理得q2+4q+4=0,解得q=-2. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 12.(2018·全国3,理17文17,12分,难度)等比数列an 中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m. 解(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 13.(2014·全国2,理17,12分,难度)已知数列an满足 a1=1,an+1=3an+1. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 证明 为等比数列,可利用已知递推关系构造an+1+ 与an+ 之间的关系,再分析是否满足等比数列的定义. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考点63等差、等比数列的综合 1.(2014·全国2,文5,5分,难度)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8 成等比数列,则an的前n项和Sn=( A ) A.n(n+1) B.n(n-1) 解析a2,a4,a8成等比数列, =a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14), 解得a1=2. Sn=na1+ d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 3.(2018·江苏,14,5分,难度)已知集合A=x|x=2n- 1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的所有元素从小到大依次排列 构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an+1成 立的n的最小值为 27 . 解析若an+1=2k(kN*),则Sn=21+22+2k-1+1+3+2k-1=2k- 2+(2k-1)2(2k-1)2+2k-212·2k. 令2k=t t2+t-212tt(t-44)8. t64k6.此时,n=k-1+2k-1=37. 若an+1=2k+1(kN*), 则Sn=21+22+2t+1+3+2k-1(2t12(2k+1)2t+1-k2+24k+14. -k2+24k+1412. 取k=21,此时 0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后 成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 9 . 5.(2014·安徽,理12,5分,难度)数列an是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= 1 . 解析设数列an的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d, 由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)(a3+2d+5)=(a3+3)2,整 理,得(d+1)2=0, d=-1,则a1+1=a3+3, 故q=1. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 6.(2019·全国2,文18,12分,难度)已知an是各项均为正数的等 比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通项公式; (2)设bn=log2an.求数列bn的前n项和. 解(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=- 2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=2×4n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为 1+3+2n-1=n2. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 7.(2019·全国2,理19,12分,难度)已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 8.(2019·天津,文18,13分,难度)设an是等差数列,bn是等比数 列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通项公式; 解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意, 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n. 所以,an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项 和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 9.(2019·天津,理19,14分,难度)设an是等差数列,bn是等比数 列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求an和bn的通项公式; 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项 和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以 及运算求解能力. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 10.(2019·浙江,20,15分,难度)设等差数列an的前n项和为 Sn,a3=4,a4=S3.数列bn满足:对每个nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成 等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式; 解(1)设数列an的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d, 解得a1=0,d=2. 从而an=2n-2,nN*. 所以Sn=n2-n,nN*. 由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳 法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 11.(2019·江苏,20,16分,难度)定义首项为1且公比为正数的等 比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列an(nN*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列 an为“M- 数列”; bn的前n项和. 求数列bn的通项公式; 设m为正整数.若存在“M- 数列”cn(nN*),对任意正整数k,当 km时,都有ckbkck+1成立,求m的最大值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 解(1)设等比数列an的公比为q, 所以a10,q0. 因此数列an为“M- 数列”. 整理得bn+1+bn-1=2bn. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列bn的通项公式为bn=n(nN*). 由知,bk=k,kN*. 因为数列cn为“M- 数列”, 设公比为q,所以c1=1,q0. 因为ckbkck+1, 所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m. 当k=1时,有q1; 令f'(x)=0,得x=e. 列表如下: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 即kqk,经检验知qk-1k也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m6,分别取k=3,6,得3q3,且q56,从而q15243,且q15216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 12.(2018·北京,文15,13分,难度)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 13.(2018·上海,21,18分,难度)给定无穷数列an,若无穷数列 bn满足:对任意xN*,都有|bn-an|1,则称bn与an“接近”. (1)设an是首项为1,公比为 的等比数列,bn=an+1+1,nN*,判断数 列bn是否与an接近,并说明理由; (2)设数列an的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an 接近的数列,记集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4,求M中元素的个数m: (3)已知an是公差为d的等差数列.若存在数列bn满足:bn与an 接近,且在b2-b1,b3-b2,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值 范围. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 故数列bn与an接近; (2)由bn是一个与an接近的数列,可得an-1bnan+1, 由数列an的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, 可得b10,2,b21,3,b33,5,b47,9. b1与b2可能相等,b2与b3可能相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等, 集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4, M中元素的个数m=3或m=4. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 (3)由an是公差为d的等差数列,若存在数列bn满足:bn与an接 近,可得an=a1+(n-1)d. 若d0,取bn=an,可得bn+1-bn=an+1-an=d0, 则b2-b1,b3-b2,b201-b200中有200个正数,符合题意; 则b2-b1,b3-b2,b201-b200中有200个正数,符合题意; 若-20, 则b2-b1,b3-b2,b201-b200中恰有100个正数,符合题意; 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 若d-2,假设存在数列bn满足:bn与an接近, 则为an-1bnan+1,an+1-1bn+1an+1+1, 可得bn+1-bnan+1+1-(an-1)=2+d0, b2-b1,b3-b2,b201-b200中没有正数,与已知矛盾. 故d-2不符合题意. 综上可得,d的取值范围是(-2,+). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 14.(2018·江苏,20,16分,难度)设an是首项为a1,公差为d的等 差数列,bn是首项为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范 围; (2)若a1=b10,mN*,q(1, ,证明:存在dR,使得|an-bn|b1对 n=2,3,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示). 解(1)由条件知,an=(n-1)d,bn=2n-1. 因为|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|1对n=1,2,3,4均成立, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 (2)由条件知,an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在d,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)成立,即|b1+(n-1)d-b1qn- 1|b1(n=2,3,m+1), 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 15.(2017·全国1,文17,12分,难度)设Sn为等比数列an的前n项 和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 16.(2017·全国2,文17,12分,难度)已知等差数列an的前n项和为 Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3. 解设an的公差为d,bn的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6. 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 17.(2015·北京,文16,12分,难度)已知等差数列an满足 a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等? 解(1)设等差数列an的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,). (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4. 所以b6=4×26-1=128. 由128=2n+2得n=63. 所以b6与数列an的第63项相等. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 18.(2015·重庆,文16,12分,难度)已知等差数列an满足a3=2,前 3项和S3= . (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点59考点60考点61考点62考点63 19.(2014·福建,文17,12分,难度)在等比数列an中,a2=3,a5=81. (1)求an; (2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.