三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题18坐标系与参数方程文（含解析）.pdf

1 专题 18 坐标系与参数方程专题 18 坐标系与参数方程 1【2019 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t为参数）以 坐 标 原 点O为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2cos3 sin110 （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值 【答案】（1）； 的直角坐标方程为；（2） 2 2 1(1) 4 y xx l23110xy7 【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为 2 2 1 11 1 t t 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 2 2 1(1) 4 y xx 的直角坐标方程为l23110xy （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，） cos , 2sin x y C上的点到 的距离为l 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当时，取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 2 3 4cos11 3 l7 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求 解问题 2【2019 年高考全国卷文数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上， 000 (,)(0)M :4sinC 直线l过点且与垂直，垂足为P(4,0)AOM 2 （1）当时，求及l的极坐标方程； 0= 3 0 （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程 【答案】（1），l的极坐标方程为； 0 2 3cos2 3 （2）4cos , 4 2 【解析】（1）因为在C上，当时， 00 ,M 0 3 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA 设为l上除P的任意一点在中，( , )Q RtOPQcos| 2 3 OP 经检验，点在曲线上(2,) 3 P cos2 3 所以，l的极坐标方程为cos2 3 （2）设，在中，即( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos 因为P在线段OM上，且，故的取值范围是APOM, 4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型 3【2019 年高考全国卷文数】如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A( 2,) 4 B ( 2,) 4 C (2, )D 弧，所在圆的圆心分别是， 曲线是弧， 曲线是弧， AB BC CD (1,0)(1,) 2 (1, ) 1 M AB2 M BC 曲线是弧 3 M CD （1）分别写出，的极坐标方程； 1 M 2 M 3 M （2）曲线由，构成，若点在M上，且，求P的极坐标M 1 M 2 M 3 M P|3OP 3 【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为 1 M 2cos0 4 2 M ，的极坐标方程为 3 2sin 44 3 M 3 2cos 4 （2）或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为， ,AB BC CD2cos2sin 2cos 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为， 1 M 2cos0 4 2 M 3 2sin 44 的极坐标方程为 3 M 3 2cos 4 （2）设，由题设及（1）知( , )P 若，则，解得； 0 4 2cos3 6 若，则，解得或； 3 44 2sin3 3 2 3 若，则，解得 3 4 2cos3 5 6 综上，P的极坐标为或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题 4【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为3,2, 42 AB sin3 4 （1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离 4 【答案】（1）；（2）25 【解析】（1）设极点为O在OAB中，A（3，），B（，）， 4 2 2 由余弦定理，得AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 （2）因为直线l的方程为，sin()3 4 则直线l过点，倾斜角为(3 2,) 2 3 4 又，所以点B到直线l的距离为( 2,) 2 B 3 (3 22) sin()2 42 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力 5【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，xOy 1 C| |2yk x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2 C 2 2 cos30 （1）求的直角坐标方程； 2 C （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程 1 C 2 C 1 C 【答案】（1）的直角坐标方程为；（2）的方程为 2 C 22 (1)4xy 1 C 4 | 2 3 yx 【解析】（1）由，得的直角坐标方程为cosxsiny 2 C 22 (1)4xy （2）由（1）知是圆心为，半径为的圆 2 C( 1,0)A 2 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为 1 C(0,2)B yy 1 l y 由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有 2 l B 2 C 1 C 2 C 1 l 2 C 2 l 2 C 两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点 2 l 2 C 1 l 2 C 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或 1 l 2 C A 1 l 2 2 |2| 2 1 k k 4 3 k 0k 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 2 l 2 C 点 5 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或 2 l 2 C A 2 l 2 2 |2| 2 1 k k 0k 4 3 k 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点0k 1 l 2 C 4 3 k 2 l 2 C 综上，所求的方程为 1 C 4 | 2 3 yx 6【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）， xOyC 2cos 4sin x y ， 直线 的参数方程为（ 为参数）l 1cos 2sin xt yt ， t （1）求和 的直角坐标方程；Cl （2）若曲线截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率Cl (1, 2)l 【答案】（1）曲线的直角坐标方程为， 的直角坐标方程为； （2） 的斜率为C 22 1 416 xy l1x l2 【解析】（1）曲线的直角坐标方程为C 22 1 416 xy 当时， 的直角坐标方程为，cos0ltan2tanyx 当时， 的直角坐标方程为cos0l1x （2）将 的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于 的方程lCt 22 (1 3cos)4(2cossin)80tt 因为曲线截直线 所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则Cl(1,2)C 1 t 2 t 12 0tt 又由得，故，于是直线 的斜率 12 2 4(2cossin) 1 3cos tt 2cossin0ltan2k 7【2018 年高考全国卷文数】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOyO cos sin x y ， 过点且倾斜角为的直线 与交于两点 02，lOAB， （1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程ABP 6 【答案】（1）的取值范围是； （2）点的轨迹的参数方程是 (,) 44 P 2 sin2 , 2 22 cos2 22 x y ( 为参数， 44 ) 【解析】（1）的直角坐标方程为O 22 1xy 当时， 与交于两点 2 lO 当时，记，则 的方程为 与交于两点当且仅当，解 2 tankl2ykxlO 2 2 | 1 1k 得或，即或1k 1k (,) 4 2 (,) 24 综上，的取值范围是 (,) 44 （2） 的参数方程为为参数，l cos, ( 2sin xt t yt 44 ) 设，对应的参数分别为，则，且，满足ABP A t B t P t 2 AB P tt t A t B t 2 2 2 sin10tt 于是，又点的坐标满足2 2sin AB tt2sin P tP( , )x y cos, 2sin. P P xt yt 所以点的轨迹的参数方程是为参数，P 2 sin2 , 2 22 cos2 22 x y ( 44 ) 8【2018 年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为 sin()2 6 ，求直线l被曲线C截得的弦长4cos 【答案】直线l被曲线C截得的弦长为2 3 【解析】因为曲线C的极坐标方程为，=4cos 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为 4 的圆 因为直线l的极坐标方程为， sin()2 6 则直线l过A（4，0），倾斜角为， 6 7 所以A为直线l与圆C的一个交点 设另一个交点为B，则OAB= 6 连结OB，因为OA为直径，从而OBA=， 2 所以 4cos2 3 6 AB 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2 3 9【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）， 3cos , sin , x y 直线l的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数） （1）若，求C与l的交点坐标；1a （2）若C上的点到l距离的最大值为，求17a 【答案】（1），；（2）或(3,0) 21 24 (,) 25 25 8a 16a 【解析】（1）曲线的普通方程为C 2 2 1 9 x y 当时，直线 的普通方程为1a l430xy 由解得或 2 2 430, 1 9 xy x y 3, 0 x y 21 , 25 24 . 25 x y 从而与 的交点坐标为，Cl(3,0) 21 24 (,) 25 25 （2）直线 的普通方程为，故上的点到 的距离为l440xyaC(3cos ,sin )l |3cos4sin4| 17 a d 8 当时，的最大值为4a d 9 17 a 由题设得，所以； 9 17 17 a 8a 当时，的最大值为4a d 1 17 a 由题设得，所以 1 17 17 a 16a 综上，或8a 16a 【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐 标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式， 表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值a 10【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线的极坐标方程为 1 Ccos4 （1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐 1 C| | 16OMOP 2 C 标方程； （2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值(2,) 3 2 COAB 【答案】（1）；（2） 2 2 240xyx23 【解析】（1）设的极坐标为，M的极坐标为，P( , ) (0) 1 (, ) 1 (0) 由题设知 cos OPOM = 1 4 = ,= 由得的极坐标方程16OMOP 2 Ccos 4(0) 因此的直角坐标方程为 2 C 2 2 240xyx （2）设点B的极坐标为，,0 BB 由题设知，于是的面积2,4cos B OAOAB S 13 sin4cos|sin()|2|sin(2)|23. 2332 B OAAOB 9 当时，S取得最大值，所以面积的最大值为 12 23OAB23 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、 距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接 利用极坐标的几何意义求解解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程 11【2017 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直 2+ , , xt ykt 线l2的参数方程为设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C 2, , xm m m y k （ 为参数） （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3 3: cossin20l 与C的交点，求M的极径 【答案】（1）；（2） 22 40xyy5 【解析】 （1） 消去参数 得的普通方程； 消去参数m得l2的普通方程t 1 l 1: 2lyk x 2 1 :2lyx k 设，由题设得，消去k得,P x y 2 1 2 yk x yx k 22 40xyy 所以C的普通方程为 22 40xyy （2）C的极坐标方程为 222 cossin4 02, 联立得 222 cossin4, cossin20 cossin2 cossin 故，从而 1 tan 3 22 91 cos,sin 1010 代入得，所以交点M的极径为 222 cossin4 2 55 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、 距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接 利用极坐标的几何意义求解要结合题目本身特点，确定选择何种方程 10 12 【2017 年高考江苏卷数学】 在平面直角坐标系中， 已知直线 的参考方程为（ 为参数）， xOyl 8 2 xt t y t 曲线的参数方程为（ 为参数）设为曲线上的动点，求点到直线 的距离的最小C 2 2 2 2 xs ys s PCPl 值 【答案】 4 5 5 【解析】直线 的普通方程为l280xy 因为点在曲线上，设，PC 2 (2,2 2 )Pss 从而点到直线 的的距离，Pl 22 22 |24 28|2(2)4 5 1( 2) sss d 当时， 2s min 4 5 5 d 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线 的距离取到最小值P(4,4)CPl 4 5 5 【名师点睛】 （1） 将参数方程化为普通方程， 消参数时常用代入法、 加减消元法、 三角恒等变换法 ； （2） 把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的 取值范围的影响