备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第9单元 空间中的位置关系与体积、表面积 B卷 含答案.pdf

单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 9 单元单元 空间中的位置关系与体积、表面积空间中的位置关系与体积、表面积 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1对于任意的直线 与平面，在平面内必有直线，使与 （ ）l mm l A平行B相交C垂直D异面 2圆台上底半径为 2，下底半径为 6，母线长为 5，则圆台的体积为（ ） ABC D 405250 212 3 3如图，正方体中，为棱的中点，用过点、的平面截去 1111 ABCDABC D E 1 BB AE 1 C 该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） ABC D 4如图，正方体中， ， ， 分别为，的中点，则直线 ，所成角的大小为（ ） ABCD 6 4 3 2 5已知两个平面相互垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A1B2C3D4 6下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ） A12B15CD 40 3 50 3 7古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周 碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（ ） ABC或D 2 3 4 3 2 3 3 2 3 2 8 矩形中， 沿将矩形折起， 使面面， 则四面体 的外接球的体积为（ ） ABCD 125 6 125 9 125 12 125 3 9在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点， 1111 ABCDABC D ECD2CEDEF 1 AA 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（ ）BEF 1 DDG 1 BGABCD ABC D 2 12 2 6 5 2 12 5 2 6 10如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等， 为棱的 中点，将、分别对应重合为，得到组合体关于该组合体有如下三 个结论：；，其中错误的个数是（ ） ABCD 11以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为 顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（ ） ABCD 2 2 3 3 1 3 1 4 12在三棱锥中，平面，则三棱锥的PABCPA ABC2,30 APC SABC PABC 外接球体积的最小值为（ ） ABC D 4 4 3 64 32 3 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13某长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的体积与其外接球的体积之2 cm2 cm4 cm 比为_ 14“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题 ： “今有圆材，埋在壁中，不知大小 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋 在墙壁中，尺，为的中点，寸，则圆柱底面的直径长是1AB DABABCD1CD _寸” （注：l 尺=10 寸） 15已知两条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列四个命题： mn 若，则；mnmn 若，且，则；nmmn 若，则；m nmn 若，且，则mnnmn 其中所有正确命题的序号为_ 16已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，其中平面，底面为 正三角形，则三棱锥体积的最大值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在三棱柱中，侧面底面， 111 ABCABCABAC 11 BC CB ABC EF 分别为棱和的中点BC 11 AC （1）求证：平面；EF 11 ABB A （2）求证：平面平面AEF 11 BCC B 18 （12 分）如图，四棱锥中，平面平面 ABCD，E 为线段 AD 的中点，且PABCDPAD 2AEEDBC4PAPDPBPBAC （1）证明：平面平面；PBE PAC （2）若，求三棱锥的体积BCADPACD 19 （12 分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，PABCDABCDPCD 平面平面，PAC PCDPACD2CD 3AD （1）设分别为的中点，求证：平面；GHPBACGHPAD （2）求证：平面；PA PCD （3）求直线与平面所成角的正弦值ADPAC 20（12 分） 在边长为 3 的正方形中， 点，分别在边 ，上 （如左图） ， 且，ABCDEFABBC=BE BF 将，分别沿，折起，使，两点重合于点（如右图） AEDDCFDEDFAC A （1）求证：；A DEF （2）当时，求点到平面的距离 1 3 BFBCA¢DEF 21 （12 分）如图，长方体中，点，分 1111 ABCDABC D4ABBC 1 2 2BB EFM 别为，的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，交线 11 C D 11 AD 11 BC M DEF 围成一个几何图形 （1）在图 1 中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由） ； （2）在图 2 中，求证：平面 1 D B DEF 22在菱形中，为线段的中点（如图 1） 将沿ABCD, 3 ADCABa OCDAODAO 折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图 2） AOD'AOD ABCOM BD （1）求证：；ODBC （2）求证：平面；CMAOD （3）当四棱锥的体积为时，求的值DABCO 3 2 a 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 9 单元单元 空间中的位置关系与体积、表面积空间中的位置关系与体积、表面积 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】C 【解析】因为对于任意的直线与平面，在平面内必有直线 ，使与 垂直，故选 C m l m l 2 【答案】B 【解析】作出圆台的轴截面如图所示： 上底面半径，下底面半径，过做垂直，则，2MD 6NC DDENC624EC 由，故，即圆台的高为 3，5CD 3DE 所以圆台的体积为故选 B 2222 1 3 2 6 2 652 3 V 3 【答案】A 【解析】正方体中，过点的平面截去该正方体的上半部分后， 1111 ABCDABC D 1 ,A E C 剩余部分的直观图如图： 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选 A 4 【答案】C 【解析】连接， 根据 ， ， 分别为，的中点， 可得到是三角形的中位线，故得到，同理可得到， 11 MNAC 1 BCEF 进而直线，所成角的大小，可转化为的夹角， 三角形，三边均为正方体的面对角线，是等边三角形， 故得到的夹角为故答案为 C 3 5 【答案】B 【解析】由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个 平面内的任意一条直线，故错误； 对于，设平面 平面 =m，n，l， 平面 平面 ，当 lm 时，必有 l，而 n，ln， 而在平面 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于 另一个平面内的无数条直线，即正确； 对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故错误； 对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面， 这是面面垂直的性质定理，故正确， 故选 B 6 【答案】D 【解析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高 为 5 底面四边形可以分割成二个三角形，面积， 11 4 42 210 22 S 体积，故本题选 D 150 33 VSh 7 【答案】D 【解析】由已知可知，该几何体的轴截面如图所示， 即圆柱的底面半径与球的半径 相等，高等于球的直径，所以 2 3 23 = 4 2 3 Vrr V r 圆柱 球 故选 D 8 【答案】A 【解析】设与的交点为 点，在矩形中，可得， 当沿翻折后，上述等量关系不会发生改变， 因为四面体的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点 即为球心， 在中，故， 5 2 ROAOBOCOD 所以球的体积为，故选 A 3 4125 36 VR 9 【答案】C 【解析】因为平面平面，所以与平面所成角，ABCD 1111 DCBA 1 BGABCD 即为与平面所成角，可知与平面所成角为 1 BG 1111 DCBA 1 BG 11 D BG 设，则，6AB 3AF 2DE 平面面且面，可知，BEF 11 CDDCGE BF 11 CDDCBFGE 则，即， AFDG ABDE 3 62 1 DG DG 1 5DG 在中， 11 B DGRt 1 11 11 55 2 tan 126 2 DG D BG B D 故与平面所成角的正切值为，本题正确选项 C 1 BGABCD 5 2 12 10 【答案】A 【解析】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个 相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示： 点对应正四棱锥的上底面中心， 点对应另一正四棱锥的上底面中心， 由图形可知拼成一个三棱柱，设 为的中点，由此可知， 又因为平面，所以， 因为，所以故选 A 11 【答案】C 【解析】正方体 C1各面中心为顶点的凸多面体 C2为正八面体， 它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形， 该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长， 1 2 12 222 a a 以 C2各个面的中心为顶点的正方体为图形 C3是正方体， 正方体 C3面对角线长等于 C2棱长的， （正三角形中心到对边的距离等于高的） ， 2 3 2 3 因此对角线为，所以，故选 C 222 323 3 21 33 2 a 12 【答案】D 【解析】如图所示， 设，由的面积为 2，得，ACxAPC 4 PA x 因为，外接圆的半径，30ABCABCrx 因为平面，且，PA ABC 4 PA x 所以到平面的距离为，OABC 12 2 dPA x 设球的半径为 R，则，当且仅当时等号成立，O 222 2 4 2 22Rrdx x 2x 所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选 DPABC 3 432 2 33 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 6 :3 【解析】因为长方体的长、宽、高分别为，2 cm2 cm4 cm 所以其体积为， 3 2 2 4=16 cmV 长方体 其外接球直径为，故， 222 22242 6R 6R 所以其外接球体积为， 33 4 =8 6 cm 3 VR 球 因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为故答案为 166 38 6 6 :3 14 【答案】26 【解析】，寸，寸，ABCDADBD10AB 5AD 在中，AODRt 222 OAODAD 2 22 15OAOA 寸，圆柱底面的直径长是寸故答案为 2613OA 226AO 15 【答案】 【解析】逐一考查所给的命题： 若，有可能，不一定有，题中的命题错误；mnm n n 若，且，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；nmmn 若，若，有可能与相交，题中的命题错误；m nmn mn 若，且，由线面垂直的性质定理可得，mnnmn 题中的命题正确， 综上可得：正确命题的序号为 16 【答案】9 【解析】由球的体积公式可得， 3 4 363 3 RR 不妨设底面正三角形的边长为，则， 2 1 22sin603 2 ABC Saaa 设棱锥的高为 h，由三棱锥的性质可得，解得， 22 2 2 39 32 h Ra 22 16 36 3 ha 据此可得 222 1 9 P ABCABC VSh 3 222 42 11681 88168181 336126481 936499964364 aaaabc aa 故，当且仅当，时等号成立 2 2 816 12 99 a a 2 9 2 a 综上可得，三棱锥体积的最大值为 9 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）见证明；（2）见证明 【解析】 （1）取的中点，连接， 11 ABGBGFG 在中，因为，分别为，的中点， 111 ABC FG 11 AC 11 AB 所以，且， 11 FGBC 11 1 2 FGBC 在三棱柱中， 111 ABCABC 11 BCBC 又为棱的中点，所以且，EBCFGBEFGBE 从而四边形为平行四边形，于是，BEFGEFBG 又因为面，面，所以平面BG 11 ABB AEF 11 ABB A EF 11 ABB A （2）证明：在中，因为，为的中点，所以，ABCABACEBCAEBC 又因为侧面底面，侧面底面，且面， 11 BC CB ABC 11 BCC B ABCBC AE ABC 所以平面，AE 11 BCC B 又面，所以平面平面AE AEFAEF 11 BCC B 18 【答案】 （1）见证明；（2）4 【解析】 （1）证明：PAPD，E 是 AD 的中点，PEAD， 又平面PAD 平面 ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE 平面 ABCD， 又AC 平面 ABCD，PEAC， 又PBAC，PEPBP，AC 平面 PBE， 又AC 平面 PAC，平面PBE 平面 PAC （2）解：由（1）知AC 平面 PBE，故ACBE， 1 2 BCAD BCADDE， 四边形 BCDE 是平行四边形，CDBECDBE，ACCD， 4PAPDPB，2AEDEBC， 22 2 3PEPAAE ， 22 2PBBEPE ，即2CD ， 22 32ACADCD 111 2 2 32 34 332 P ACDACD VSPE 19 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 3 3 【解析】 （1）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH， 又由BGPG，故GHPD， 又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD，所以GH平面PAD （2）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC， 又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN 平面PAC， 又PA平面PAC，故DNPA， 又已知PACD，CDDND，所以PA 平面PCD （3）解：连接AN，由（2）中DN 平面PAC， 可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角 因为PCD为等边三角形，2CD 且N为PC的中点，所以 3DN ， 又DNAN，在ANDRt中， 3 sin 3 DN DAN AD ， 所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 20 【答案】 （1）见解析；（2） 3 7 5 【解析】 （1）由ABCD是正方形及折叠方式，得A EA D，A FA D， A EA FA，A D 平面A EF，A DEF （2） 1 1 3 BEBFBC，2,2,3A EA FEFA D， 7 2 EFA S ， 13DEDF ， 5 2 DEF S ， 设点A¢到平面DEF的距离为d， ADEFDA EF VV ， 11 33 DEFA EF dSA DS ，解得 3 7 5 d 点A¢到平面DEF的距离为 3 7 5 21 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）设N为 11 AB的中点，连结MN，AN、AC、CM，如下图所示： 则四边形MNAC为所求几何图形， 11 MNACAC，四边形MNAC为梯形，且 1 2 2 2 MNAC， 过M作MPAC于点P， 842 3MC ， 2 2 ACMN PC ， 22 10MPMCQC ， 梯形MNAC的面积 1 2 24 2106 5 2 S （2）连接 11 D B，交EF于Q，连接DQ， 则Q为EF的中点，且为 11 D B的四等分点， 1 1 4 22 4 DQ， 由 1 BB 平面 1111 DCBA可知 1 BBEF， 又 11 B DEF， 1111 BBB DB，EF平面 11 BB D D， 1 EFD B， 由 11 1 1 2 DQD D D DDB ，得 11 tantanQDDD BD，即 11 QDDD BD ， 11 90QDBD BDQDBQDD ， 1 DQD B， 又DQEFQ， 1 D B平面DEF 22 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）2a 【解析】 （1）证明：因为在菱形ABCD中， 3 ADC，O为线段CD的中点， 所以ODAO 因为平面AOD 平面ABCO，平面AOD平面ABCOAO， OD平面AOD，所以'OD 平面ABCO 因为D平面ABCO，所以ODBC （2）证明：如图，取P为线段'AD的中点，连接 OP，PM， 因为在ABD中，P，M分别是线段 AD ， BD 的中点， 所以PMAB， 1 2 PMAB 因为O是线段CD的中点，菱形ABCD中，ABDCa，ABDC， 所以 1 22 a OCCD，所以OCAB， 1 2 OCAB 所以PMOC，PMOC，所以四边形OCMP为平行四边形，所以CMOP， 因为CM 平面AOD，OP 平面AOD，所以CM平面AOD （3）由（1）知'OD 平面ABCO，所以OD¢是四棱锥DABCO 的高， 又 2 3 3 322 28 aa aS a ， 2 a OD ， 因为 3 133 3162 a VS OD ，所以2a