天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练3基本不等式及其应用含解析新人教A版.pdf

1 考点规范练 3 基本不等式及其应用考点规范练 3 基本不等式及其应用 一、基础巩固 1 1.下列不等式一定成立的是( ) A.lglg x(x0)(x2+ 1 4) B.sin x+2(xk,kZ Z) 1 sinx C.x2+12|x|(xR R) D.1(xR R) 1 x2+ 1 2 2.已知a0,b0,a+b=2,则y=的最小值是( ) 1 a + 4 b A.B.4C.D.5 7 2 9 2 3 3.已知a0,b0,a+b=,则的最小值为( ) 1 a + 1 b 1 a + 2 b A.4B.2C.8D.162 4 4.已知不等式 2x+m+0 对一切x(1,+)恒成立,则实数m的取值范围是( ) 8 x - 1 A.m-10B.m-8D.mm2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) 2 x + 1 y A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+) C.(-2,4)D.(-4,2) 7 7.设x,yR R,a1,b1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为( )3 1 x + 1 y A.2B.C.1D. 3 2 1 2 8 8.已知x1,则 logx9+log27x的最小值是 . 9 9.已知a0,b0,且 2a+b=1,求证:16+8.(2 + 1 a)(1 + 2 b) 3 2 二、能力提升 1010.已知不等式 2x2-axy+y20 对任意x1,2及y1,3恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a2B.a2C.aD.a22 11 3 9 2 1111.(2018 天津,文 13)已知a,bR R,且a-3b+6=0,则 2a+的最小值为 . 1 8b 1212.已知实数x,y满足xy0,且x+y=1,求的最小值. 4 x + 3y + 1 x - y 1313.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当 年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x.当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x+-1 450.每件商品 1 3 10000 x 售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 三、高考预测 1414.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当 取最小值时,a+b-c的最大值为( ) c ab A.2B.C.D. 3 4 3 8 1 4 3 考点规范练 3 3 基本不等式及其应用 1 1.C 解析因为x0,所以x2+2·x· =x, 1 4 1 2 所以 lglgx(x0),故选项 A 不正确;(x2+ 1 4) 当xk,kZ Z 时,sinx的正负不定, 故选项 B 不正确; 由基本不等式可知选项 C 正确; 当x=0 时,有=1,故选项 D 不正确. 1 x2+ 1 2 2.C 解析由题意,得(a+b)=, 1 a + 4 b = 1 2( 1 a + 4 b) 1 25 + ( b a + 4a b) 1 2(5 + 2 b a· 4a b) = 9 2 当且仅当即a=,b=时取等号, a + b = 2, b a = 4a b, a 0,b 0, 2 3 4 3 故的最小值是. 1 a + 4 b 9 2 3 3.B 解析由a0,b0,a+b=,得ab=1. 1 a + 1 b = a + b ab 则2=2, 1 a + 2 b 1 a· 2 b 2 当且仅当,即a=,b=时等号成立. 1 a = 2 b 2 2 2 故选 B. 4 4.A 解析原不等式可化为-m1),则f(x)=2(x-1)+22+2=10,即当 2(x-1)= 8 x - 1 8 x - 1 2(x - 1)· 8 x - 1 8 x - 1 时,f(x)取最小值 10.因此要使不等式恒成立,应满足-m-10. 5 5.C 解析由x0,y0,得 4x2+9y2+3xy2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y时等号成立). 则 12xy+3xy30,即xy2, 故xy的最大值为 2. 6 6.D 解析因为x0,y0,=1, 2 x + 1 y 所以x+2y=(x+2y)=2+28,( 2 x + 1 y) 4y x + x y 当且仅当,即x=2y时等号成立. 4y x = x y 4 由x+2ym2+2m恒成立, 可知m2+2m1,b1,所以ab=3,( a + b 2 ) 2 当且仅当a=b时等号成立. 所以 lg(ab)lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立. 1 x + 1 y lg3 lg3 3 8 8. 解析x1,logx9+log27x=2,当且仅当x=时等号成立. 26 3 2lg3 lgx + lgx 3lg3 2 3 = 26 3 3 6 logx9+log27x的最小值为. 26 3 9 9.证明(2 + 1 a)(1 + 2 b) =(2 + 2a + b a )1 + 2(2a + b) b =12+4(4 + b a)(3 + 4a b) 16a b + 3b a =16+. 16a b + 3b a 因为a0,b0, 所以2=8, 16a b + 3b a 16a b · 3b a 3 当且仅当,即b=4a时取等号. 16a b = 3b a 3 所以=16+16+8.(2 + 1 a)(1 + 2 b) 16a b + 3b a 3 1010.A 解析因为 2x2-axy+y20,且y0, 所以 2-a· +10.( x y) 2 x y 令t=,则不等式变为 2t2-at+10. x y 由x1,2,y1,3,可知t, 1 3,2 即 2t2-at+10 在t时恒成立. 1 3,2 由 2t2-at+10 可得a,即a2t+ . 2t2+ 1 t 1 t 5 又 2t+2=2, 1 t 2t· 1 t 2 当且仅当 2t=,即t=时等号成立,所以 2t+取得最小值 2,所以有a2,故选 A. 1 t 2 2 1 t 22 1111. 解析a-3b+6=0, 1 4 a-3b=-6. a,bR R,2a0,0. 1 8b 2a+2=2, 1 8b 2a - 3b2 - 6 = 1 4 当且仅当 2a=,即a=-3,b=1 时取等号. 1 8b 1212.解xy0,x+y=1, =2+= 4 x + 3y + 1 x - y = 2(x + 3y + x - y) x + 3y + x + 3y + x - y 2(x - y) 2(x - y) x + 3y + 1 2 + x + 3y 2(x - y) 2(x - y) x + 3y + x + 3y 2(x - y) + 5 2 2+, 5 2 = 9 2 当且仅当, 2(x - y) x + 3y = x + 3y 2(x - y) 即x=,y=时等号成立. 5 6 1 6 的最小值是. 4 x + 3y + 1 x - y 9 2 1313.解(1)因为每件商品售价为 0.05 万元,所以x千件商品的销售额为(0.05×1000x)万元. 依题意得,当 0x80 时,L(x)=(0.05×1000x)- x2-10x-250=- x2+40x-250; 1 3 1 3 当x80 时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-, 10000 x (x + 10000 x ) 则L(x)= - 1 3x 2 + 40x - 250,0 x 80, 1200 -(x + 10000 x ),x 80. (2)当 0x80 时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60 时,L(x)取得最大值L(60)=950. 1 3 当x80 时,L(x)=1200-1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=,即x=100(x + 10000 x )x· 10000 x 10000 x 时,L(x)取得最大值 1000. 因为 9501000,所以当年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 1414.C 解析由正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2. 6 故-12-1=3,当且仅当a=2b时取等号. c ab = a2- ab + 4b2 ab = a b + 4b a a b· 4b a 则当a=2b时, 取得最小值,且c=6b2. c ab 因此,a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6,当b=时,a+b-c有最大值为.故选 C.(b - 1 4) 2 + 3 8 1 4 3 8