新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十八解三角形的实际应用含解析新人教A.pdf

- 1 - 课时跟踪检测(二十八) 解三角形的实际应用课时跟踪检测(二十八) 解三角形的实际应用 一、题点全面练 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察 站南偏西 40°，灯塔B在观察站南偏东 60°， 则灯塔A在灯塔B的( ) A北偏东 10° B北偏西 10° C南偏东 80° D南偏西 80° 解析：选 D 由条件及题图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°， 所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80°. 2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75°，30°，此时气 球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( ) A240(1)m B180(1)m32 C120(1)m D30(1)m33 解析：选 C tan 15°tan(60°45°)2，BC tan 60°tan 45° 1tan 60°tan 45° 3 60tan 60°60tan 15°120(1)(m)3 3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人 在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点A向北偏东 30°前进 100 m 到达 点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在RtBCD中，BCh，在ABC中，A60°，ACh，AB3 100，根 据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°， 即h23 50h5 0000， 即(h50)(h100)0， 即h50， 故水柱的高度是50 m. 4 地面上有两座相距 120 m 的塔， 在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为， 在高塔塔底望矮塔 塔顶的仰角为， 且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别 2 为( ) A50 m,100 m B40 m,90 m C40 m,50 m D30 m,40 m - 2 - 解析：选 B 设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为. 则 tan ，tan， H 120 2 h 120 根据三角函数的倍角公式有. H 120 2 × h 120 1( h 120) 2 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角 为， 2 由 tan ，tan， H 60( 2 ) h 60 得. H 60 60 h 联立解得H90，h40. 即两座塔的高度分别为 40 m,90 m. 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形AOB，C是该 小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿 OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则 该扇形的半径 的长度为( ) A50 m B50 m57 C50 m D50 m1119 解析：选 B 设该扇形的半径为r(m)，连接CO，如图所示 由题意，得CD150(m)，OD100(m)，CDO60°， 在CDO中，由余弦定理，得CD2OD22CD·OD·cos 60°OC2， 即 150210022×150×100× r2， 1 2 解得r50(m)7 6.如图， 为了测量河对岸电视塔CD的高度， 小王在点A处测得塔顶D的仰角 为 30°，塔底C与A的连线同河岸成15° 角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河 岸成60°角，则电视塔CD的高度为_m. 解析 ： 在ACM中，MCA60°15°45°，AMC180°60° 120°，由正弦定理 得，即，解得AC600. AM sinMCA AC sinAMC 1 200 2 2 AC 3 2 6 在ACD中，tanDAC， DC AC 3 3 - 3 - DC600×600.6 3 3 2 答案：600 2 7.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B； 找到一个点D， 从D点可以观察到点A，C； 找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD2，CE2，D45°，ACD3 105°，ACB 48.19°，BCE 75°， E 60°， 则A，B两 点 之 间 的 距 离 为 _. (取cos 48.19° 2 3) 解析 ： 依题意知， 在ACD中， DAC30°， 由正弦定理得AC2， 在BCE中， CDsin 45° sin 30° 2 CBE45°， 由正弦定理得BC3.在ABC中， 由余弦定理得AB2AC2BC2 CEsin 60° sin 45° 2 2AC·BC·cosACB10，解得AB.10 答案： 10 8.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建 筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15°， 沿山坡前进 50 m 到达B处，又测得DBC45°， 根据以上数据可得 cos _. 解析：由DAC15°，DBC45°，可得DBA135°，ADB30°. 在ABD中，根据正弦定理可得， AB sinADB BD sinBAD 即， 50 sin 30° BD sin 15° 所以BD100sin 15°100×sin(45°30°)25()62 在BCD中，由正弦定理得， CD sinDBC BD sinBCD 即， 25 sin 45° 25 6 2 sinBCD 解得 sinBCD1.3 所以 cos cos(BCD90°)sinBCD1.3 答案：13 9 如图所示， 在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监 测点，B，C两点到点A的距离分别为 20 km 和 50 km.某时刻，B收到发自 - 4 - 静止目标P的一个声波信号， 8 s 后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度 是 1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离 解：(1)依题意，有PAPCx， PBx1.5×8x12. 在PAB中，AB20，cosPAB. PA2AB2PB2 2PA·AB x2202x122 2x·20 3x32 5x 同理，在PAC中，AC50， cosPAC. PA2AC2PC2 2PA·AC x2502x2 2x·50 25 x 因为 cosPABcosPAC， 所以，解得x31. 3x32 5x 25 x (2)作PDAC于点D(图略)，在ADP中， 由 cosPAD， 25 31 得 sinPAD，1cos2PAD 4 21 31 所以PDPAsinPAD31×4(km) 4 21 31 21 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为 4 km.21 10.已知在东西方向上有M，N两座小山， 山顶各有一座发射塔A，B， 塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m 和BN200 m，一测量车在小山M的正 南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方 向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA3 ，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离 解：在 RtAMP中，APM30°，AM100，PM100.3 连接QM(图略)，在PQM中，QPM60°，PQ100，3 PQM为等边三角形，QM100.3 在 RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200. 在 RtBNQ中，tan 2，BN200， BQ100，cos .5 5 5 在BQA中，BA2BQ2AQ22BQ·AQ·cos (100)2，5 BA100.5 - 5 - 即两发射塔顶A，B之间的距离是 100 m.5 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1 一船自西向东匀速航行， 上午 10 时到达灯塔P的南偏西 75°， 距灯塔 68 n mile 的M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为_n mile/h. 解析：如图，由题意知MPN75°45°120°，PNM45°. 在PMN中， MN sin 120° PM sin 45° MN68×34 n mile. 3 2 2 2 6 又由M到N所用的时间为 14104 小时， 此船的航行速度v n mile/h. 34 6 4 17 6 2 答案： 17 6 2 2.如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A， 得仰角分别为和90°.后退l m至 点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面， 且C，P1，P2三点在同一 条水平线上，则塔BC的高为_m ； 旗杆BA的高为_m (用含有l和的式子表示) 解析：在 RtBCP1中，BP1C， 在 RtP2BC中，P2. 2 BP1CP1BP2P2， P1BP2，即P1BP2为等腰三角形，BP1P1P2l， 2 BClsin . 在 RtACP1中，tan(90°)，AC，则BAACBC AC CP1 AC lcos lcos2 sin lcos2 sin lsin . lcos2sin2 sin lcos 2 sin 答案：lsin lcos 2 sin (二)素养专练学会更学通 - 6 - 3.直观想象、数学建模为了应对日益严重的气候问题，某气象仪 器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空 中进行气象观测 如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验， 观测 点A，B两地相距100米， BAC60°. 在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒 在A地测得该 2 17 仪器至最高点H处的仰角为 30°(已知声音的传播速度为 340 米/秒) (1)求A，C两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度HC. 解：(1)由题意，设ACx，因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒， 2 17 所以BCx×340x40， 2 17 在ABC内，由余弦定理得BC2AC2BA22BA·AC·cosBAC， 即(x40)2x210 000100x，解得x420. 故A，C两地的距离为 420 米 (2)在 RtACH中，AC420，CAH30°， 所以CHAC·tanCAH140米3 故该仪器的垂直弹射高度CH为 140米3 4.数学建模如图所示， 经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC， 根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建 两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN. (1)将AN，AM用含的关系式表示出来； (2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村 庄的距离AP最大)? 解：(1)AMN， 在AMN中，由正弦定理，得， MN sin 60° AN sin AM sin120° 所以ANsin ，AMsin(120°) 4 3 3 4 3 3 (2)在APM中，由余弦定理， 得AP2AM2PM22AM·PM·cosAMP sin2(60°)4sin(60°)cos(60°) 16 3 16 3 3 1cos(2120°)sin(2120°)4 8 3 8 3 3 - 7 - sin(2120°)cos(2120°) 8 3 3 20 3 sin(2150°)，0°120°(其中利用诱导公式可知 sin(120°) 20 3 16 3 sin(60°)， 当且仅当 2150°270°，即60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此 时ANAM2 千米