江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十七平面向量的数量积及其应用理含解析苏教版.pdf

1 课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及其应用课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及其应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019·海门模拟)向量 a(3,4)在向量 b(1，1)方向上的投影为_ 解析：向量 a(3,4)，b(1，1)， 向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|cos . a·b |b| 3 × 14 × 1 1212 2 2 答案： 2 2 2 (2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量 a， b 的夹角为， 且 a·(ab)8， |a| 2 3 2，则|b|_. 解析：因为 a·(ab)8，所以 a·aa·b8， 即|a|2|a|b|cosa，b8， 所以 42|b|× 8，解得|b|4. 1 2 答案：4 3(2018·苏州期末)已知 a(m,2)，b(1，n)，m0，n0，且|a|4，|b|2， 则向量 a 与 b 的夹角是_ 解析：设向量 a 与 b 的夹角是，0， a(m,2)，b(1，n)，m0，n0，且|a|4，|b|2， m2416,1n24，解得m2，n.33 a·bm2n44×2×cos ，3 cos ，则向量 a 与 b 的夹角是. 3 2 6 答案： 6 4 (2018·滨海期末)已知向量 a(1,3)， b(3，t)， 若 ab， 则|2ab|_. 解析：向量 a(1,3)，b(3，t)，ab， a·b33t0，解得t1， b(3,1)，2ab(1,7)， 故|2ab|5.1492 答案：5 2 2 5(2018·淮安高三期中)在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，ABC60°，则·AB AC _. 解析 ： 由题意得，所以··() 2 AC AB AD AB AC AB AB AD AB AB ·42×1×cos 120°3.AD 答案：3 6(2018·南通一调)已知边长为 6 的正三角形ABC，ADBD 1 2 BC AE 1 3 AC 与BE交于点P，则·的值为_PB PD 解析 ： 如图， 以D为原点， 以BC为x轴，AD为y轴， 建立平面直角坐标系， 则B(3,0)，C(3,0)，D(0,0)，A(0，3)，E(1, 2)，P，所以·33 (0， 3 3 2) PB |2 2 .PD PD ( 3 3 2) 27 4 答案：27 4 二保高考，全练题型做到高考达标 1(2018·淮安调研)已知向量 a(1，x)，b(1，x)，若 2ab 与 b 垂直，则|a| _. 解析 ： 由已知得 2ab(3，x)， 而(2ab)·b03x20x23， 所以|a| 1x2 2.4 答案：2 2(2019·如皋模拟)已知平面向量a与b的夹角为60°， a(3,4)，|b|1，则|a2b| _. 解析：a(3,4)，|a|5，3242 又|b|1，a·b |a|·|b|cos 60°5×1× ， 1 2 5 2 |a2b|2a24b24a·b2541019， 则|a2b|.19 答案： 19 3(2018·苏北四市期末)已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，则 a 与 2ab 夹 角的余弦值为_ 解析 ： 因为非零向量 a， b 满足|a|b|ab|， 所以 a2b2a22a·bb2， a·b a2 b2， 所以 a·(2ab)2a2a·b a2， |2ab| 1 2 1 2 5 2 2ab25a24 a·b7 3 |a|，cosa,2ab. a·2ab |a|·|2ab| 5 2a 2 |a|· 7|a| 5 2 7 5 7 14 答案： 5 7 14 4(2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且 满足PA3，PC4，矩形对角线AC6，则·_.PB PD 解析 ： 由题意可得·()·() 2 ·PB PD PA AB PA AD PA PA AD AB ··9·()09·93×6×cos(PA AB AD PA AD AB PA AC PAC)918×918×. PA2AC2PC2 2 ×PA×AC 93616 2 × 3 × 6 11 2 答案：11 2 5(2018·苏锡常镇调研)已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若 3 AP AB ·3，则_.BD CP 解析：法一：由题意可得·2×2cos 2，BA BC 3 ·() ·()BD CP BA BC BP BC ()·()BA BC AP AB BC ()·(1)·BA BC AB BC (1) 2 ·(1)· 2 BA BA BC BA BC BC (1)·422(1)4 63， 所以 . 1 2 法二：建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(2,0)，C(1，)，D(1，)33 令P(x,0)，由·(3，)·(x1，)3x33BD CP 33 3x3 得x1. 因为，所以 .AP AB 1 2 4 答案：1 2 6(2018·苏北四市调研)如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5. 若·AB AD 7，则·_.BC DC 解析：·()·()()·()BC DC OC OB OC OD OC OD OC OD OC 22，同理， · 227，所以 · 222 OD AB AD AO OD BC DC OC OD OC 279. AO 答案：9 7(2019·崇川一模)若非零向量 a 与 b 满足|a|a b|2，|b|1，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为_ 解析：非零向量 a 与 b 满足|a|ab|2，|b|1， |a|2|ab|2|a|2|b|22a·b， 即 a·b |b|2 ×12 ， 1 2 1 2 1 2 设 a 与 b 的夹角为， 则 cos ， a·b |a|b| 1 2 2 × 1 1 4 向量 a 与 b 夹角的余弦值为 . 1 4 答案：1 4 8 (2018·盐城期中)如图， 在四边形ABCD中，A，AB2，AD3， 分 3 别延长CB，CD至点E，F，使得，其中0，若·15，则的CE CB CF CD EF AD 值为_ 解析：()，EF CF CE CD CB BD AD AB ·()·( 2 ·)(93)15，EF AD AD AB AD AD AB AD . 5 2 答案：5 2 5 9(2019·通州调研)设两个向量 a，b 不共线 (1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；AB BC CD (2)若|a|2，|b|3，a，b 的夹角为 60°，求使向量kab 与 akb 垂直的实数k的 值 解：(1)证明：AD AB BC CD (ab)(2a8b)3(ab) 6(ab)6，AB 与共线，且有公共点A，AD AB A，B，D三点共线 (2)kab 与 akb 垂直， (kab)·(akb)0， ka2(k21)|a|b|·cos 60°kb20， 即 3k213k30， 解得k. 13 ±133 6 10在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.CP PD (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；AP BP (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·6，求与夹角的余弦值AP BP AB AD 解：(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以，即·0，AB AD AB AD 又AB9，BC6，2，CP PD 所以，AP AD DP AD 1 3 AB ，BP BC CP AD 2 3 AB 所以··AP BP ( 1 3) ( 2 3) 2 · 2 AD 1 3 AB AD 2 9 AB 62 ×9218. 2 9 6 (2)设与的夹角为，由(1)得，AB AD ··AP BP ( 1 3) ( 2 3) 2 · 2 AD 1 3 AB AD 2 9 AB 62 ×9×6×cos ×926， 1 3 2 9 所以 cos . 2 3 故与夹角的余弦值为 .AB AD 2 3 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1(2018·徐州高三年级期中考试)如图，在半径为 2 的扇形AOB中，AOB90°，P 为上的一点，若·2，则·_. ABOP OA OP AB 解析 ： 如图， 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建 立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，设P(x，y)，由·2，可得2x2，x1，P为AOP OA 上的一点，所以 |2，所以P(1， )，(1，)，又(2,2)，所以·22BOP 3OP 3AB OP AB .3 答案：22 3 2(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)如图，已知ABC的边BC 的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若 3， 5，则()·(|AP AQ AB )的值为_AC 解析：法一：因为，所以2，而AP AQ QP AP AQ AQ QP AB AC ，由于，所以· 0，所以()·()(2)·CB QP CB QP CB AP AQ AB AC AQ QP 2·，又因为Q是BC的中点，所以2，故2·()·(CB AQ CB AQ AB AC AQ CB AB AC ) 2292516. AB AC AB AC 法二：由题意得ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取ABBC，从而P 7 为AC的中点 又|3，|5，所以|4，cosBAC ，AB AC BC 3 5 故 ()，AP AQ 1 2 AC 1 2 AB AC 1 2 AB AC 从而()·()AP AQ AB AC ·() ( 1 2) AB AC 2 · 2 1 2 AB 1 2 AB AC AC ×9 ×3×5× 2516. 1 2 1 2 3 5 答案：16 3(2019·姜堰中学调研)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)， n(cos B，sin B)，且 m·n . 3 5 (1)求 sin A的值； (2)若a4，b5，ADBC于D，求·的值2BA AD 解：(1) 由 m·n ，得 cos(AB)cos Bsin(AB)·sin B ，所以 cos A . 3 5 3 5 3 5 因为 0A， 2 所以 sin A .1cos2 A 4 5 (2)由正弦定理，得， a sin A b sin B 则 sin B. bsin A a 5 × 4 5 4 2 2 2 因为 0B，所以B， 2 4 所以 sin Csin(AB)(sin Acos A). 2 2 7 2 10 又|sin C5×，AD AC 7 2 10 7 2 2 所以·()· 2| |2.BA AD BD DA AD AD AD 49 2 8