江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十一两条直线的位置关系文含解析苏教版2.pdf

1 课时跟踪检测（四十一） 两条直线的位置关系课时跟踪检测（四十一） 两条直线的位置关系 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019·苏州调研)已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5，1)，则直线l的方 程为_ 解析：已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1)，故直线l为线段AB的中垂 线求得AB的中点为(2,2)，AB的斜率为 ，故直线l的斜率为3，故直线l 13 51 1 3 的方程为 y23(x2)，即 3xy40. 答案：3xy40 2(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x2y20 垂直的直线方程是_ 解析：因为直线x2y20 的斜率为 ，所以所求直线的斜率k2.所以所求直线 1 2 的方程为y02(x1)，即 2xy20. 答案：2xy20 3直线y3x3 关于直线l：xy20 对称的直线方程为_ 解析：取直线y3x3 上一点A(0,3)， 设A关于直线l：xy20 对称的点为A(a，b)， 则有Error!解得a5，b2. A(5，2) 联立Error!解得x ，y . 5 2 9 2 令M， ( 5 2， 9 2) 直线y3x3 关于直线l对称的直线过A，M两点， 所求直线方程为，即x3y110. y(9 2) 2(9 2) x(5 2) 5(5 2) 答案：x3y110 4(2018·启东中学测试)已知直线l1的斜率为 2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y 轴交于点P，则点P的坐标为_ 解析：因为l1l2，且l1的斜率为 2，则直线l2的斜率为 2.又直线l2过点(1,1)， 所以直线l2的方程为y12(x1)，整理得y2x3.令x0，得y3，所以点P的坐 标为(0,3) 2 答案：(0,3) 5若直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点，则a的值为_ 解析：解方程组Error!可得Error! 所以直线 2xy10 与yx1 的交点坐标为(9，8)， 代入yax2，得8a·(9)2， 所以a . 2 3 答案：2 3 6(2019·苏州检测)已知直线l1：mx2y40 与直线l2：x(m1)y20 平行， 则l1与l2间的距离为_ 解析：直线l1：mx2y40 与直线l2：x(m1)y20 平行，当m1 时， 显然不合题意；当m1 时，有 ，解得m1， m 1 2 m1 4 2 l1与l2间的距离d. |24| 14 6 5 5 答案： 6 5 5 二保高考，全练题型做到高考达标 1已知直线l1：(m1)x2y2m20，l2：2x(m2)y20，若直线l1l2， 则m_. 解析：由题意知，当m2 时，l1：3x2y20，l2：x10，不合题意；当m2 时， 若直线l1l2，则，解得m2 或m3(舍去) m1 2 2 m2 2m2 2 答案：2 2若直线l1：xay60 与l2：(a2)x3y2a0 平行，则l1与l2之间的距离 为_ 解析：因为l1l2，所以 ，解得a1， 1 a2 a 3 6 2a 所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy 0， 2 3 所以l1与l2的距离d. |6 2 3| 2 8 2 3 答案： 8 2 3 3(2019·张家港模拟)过点P(1,2)作一直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，5) 的距离相等，则直线l的方程为_ 3 解析：易知直线l的斜率存在，直线l过点P(1,2)， 设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20. 又直线l与点M(2,3)和点N(4，5)的距离相等， ， |2k3k2| k21 |4k5k2| k21 解得k4 或k ， 3 2 l的方程为 4xy60 或 3x2y70. 答案：4xy60 或 3x2y70 4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点_ 解析：由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又 由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，所以直线l2恒过定点(0,2) 答案：(0,2) 5 已知点P(0， 1)， 点 Q 在直线xy10 上， 若直线PQ 垂直于直线x2y50， 则点 Q 的坐标是_ 解析：设 Q(x0，y0)，因为点 Q 在直线xy10 上， 所以x0y010. 又直线x2y50 的斜率k ，直线PQ 的斜率kPQ， 1 2 y01 x0 所以由直线PQ 垂直于直线x2y50， 得·1. y01 x0( 1 2) 由解得x02，y03，即点 Q 的坐标是(2,3) 答案：(2,3) 6(2019·苏州一模)设m，nR，若直线l：mxny10 与x轴相交于点A，与y轴 相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则AOB的面积S的最小值为_3 解析：由坐标原点O到直线l的距离为，可得，化简得m2n2 .3 |1| m2n2 3 1 3 对直线l：mxny10，令x0，可得y ；令y0，可得x ， 1 n 1 m 故AOB的面积S ·3， 1 2| 1 m· 1 n| 1 2|mn| 1 m2n2 当且仅当|m|n|时，取等号 6 6 故AOB的面积S的最小值为 3. 答案：3 7 设mR， 过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x， 4 y)，则PA·PB的最大值是_ 解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0 与mxym30 的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以PA2PB2AB210，所以 PA·PB5(当且仅当PAPB时， 等号成立)， 当P与A或B重合时，PA·PB0， PA2PB2 2 5 故PA·PB的最大值是 5. 答案：5 8将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合若此时点 C(7,3)与点D(m，n)也重合，则mn的值是_ 解析：由题意知，折痕既是A，B的对称轴，也是 C，D的对称轴 因为AB的斜率kAB ，AB的中点为(2,1)， 02 40 1 2 所以图纸的折痕所在的直线方程为y12(x2)， 所以kCD ， n3 m7 1 2 因为CD的中点为， ( m7 2 ，n3 2) 所以12. n3 2( m7 2 2) 由解得m ，n，所以mn. 3 5 31 5 34 5 答案：34 5 9已知直线l1：ax2y60 和直线l2：x(a1)ya210. (1)当l1l2时，求a的值； (2)当l1l2时，求a的值 解：(1)法一：当a1 时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 当a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2； 当a1 且a0 时， 两直线方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)， a 2 1 1a 由l1l2可得Error!解得a1. 综上可知，a1. 法二：由l1l2知Error! 即Error!Error!a1. (2)法一：当a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1 不符合； 5 当a1 时，l1：yx3，l2：yx(a1)， a 2 1 1a 由l1l2，得·1a . ( a 2) 1 1a 2 3 法二：因为l1l2， 所以A1A2B1B20， 即a2(a1)0，得a . 2 3 10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为 2xy50，AC边 上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程 解：依题意知：kAC2，A(5,1)， 所以lAC的方程为 2xy110， 联立Error!得C(4,3) 设B(x0，y0)，则AB的中点M， ( x05 2 ，y 01 2) 代入 2xy50，得 2x0y010， 联立Error!得B(1，3)，所以kBC ， 6 5 所以直线BC的方程为y3 (x4)， 6 5 即 6x5y90. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1(2019·江阴检测)直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S， 如果符合条件的直线l能作且只能作三条，则S_. 解析 ： 由已知可得直线l的斜率一定存在且不为零，设直线l的方程为y1k(x2)， 则直线l与坐标轴的交点为(0,12k)， (2 1 k，0) 则S |12k|·. 1 2|2 1 k| |2 1 2k2k| 如果符合条件的直线l能作且只能作三条， 则关于k的方程S只有三个解， |2 1 2k2k| 即 4k22(S2)k10 与 4k22(S2)k10，一个有一解，一个有两解，解得S4. 答案：4 2 (2018·锡山高级中学检测)在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则直线xsin Aayc0 与直线bxysin Bsin C0 的位置关系是_ 解析 ： 在ABC中，由正弦定理，得·1.又xsin Aayc0 a sin A b sin B b sin B sin A a 6 的斜率k1，bxysin Bsin C0 的斜率k2，因此k1·k2· sin A a b sin B b sin B 1，所以两条直线垂直 ( sin A a) 答案：垂直 3已知直线l经过直线l1：2xy50 与l2：x2y0 的交点 (1)若点A(5,0)到l的距离为 3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值，并求此时l的方程 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50， 因为点A(5,0)到l的距离为 3，所以3， |1055| 22122 即 22520，所以2 或 ， 1 2 所以直线l的方程为x2 或 4x3y50. (2)如图，由Error!解得交点P(2,1)，过P作任一直线l，设d为 点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立) 所以dmaxPA.52201210 因为kPA ，lPA，所以kl3， 1 3 所以直线l的方程为y13(x2)，即 3xy50.