2.7对数与对数函数10.ppt

要点梳理 1.对数的概念 （1）对数的定义 如果ax=N(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作 ，其中_叫做对数的底数,_ 叫做真数.,§2.7 对数与对数函数,基础知识 自主学习,a,N,x=logaN,（2）几种常见对数 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 =_;logaaN=_(a0且a1).,e,ln N,lg N,logaN,10,N,N,（2）对数的重要公式 换底公式: (a,b均大于零且不等 于1)； 推广logab·logbc·logcd= _.,logad,(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)=_; =_; logaMn= _(nR); ,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.对数函数的图象与性质,R,(0,+),(1,0),y0,y0,y0,y0,1,0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数y=ax与对数函数_互为反函数，它 们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,基础自测 1.（2009·湖南理）若log2a1,b0 B.a1,b0 D.0a1,b0 解析 log2a0=log21,0a1. b0.,D,2.已知log7log3(log2x)=0，那么 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3, x=8,C,3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是 （ ） A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 a=0.32(0,1),b=log20.30, c=20.3(1,+),bac.,D,4.设a1，函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值 与最小值之差为 则a等于 （ ） A. B.2 C. D.4 解析 根据已知条件loga2a-logaa= 整理得：loga2 = 则 即a=4.,D,5.函数 的定义域是_. 解析 要使 有意义 需使 03x-21,即 x1, 的定义域为,题型一 对数的化简与求值 【例1】(1)化简: (2)化简: (3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值. (1)、（2）为化简题目，可由原式联 想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻 找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式 来求a2m+n的值.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 (1)原式= (2) (3)方法一 loga2=m,am=2. loga3=n,an=3. 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 方法二 loga2=m,loga3=n,（1）在对数运算中,先利用幂的运算把 底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在 运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的 恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.,探究提高,知能迁移1 (1)化简(log43+log83)(log32+log92)= _. 解析,(2)已知3a=5b=A,且 则A的值是 （ ） A.15 B. C. D.225 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, =logA3+logA5=logA15=2, A2=15,A= 或A= （舍）.,B,题型二 比较大小 【例2】(2009·全国理,7)设a=log2, 则 （ ） A.abc B.acb C.bac D.bca (1)引入中间量如“1”或“ ”比较. (2)利用对数函数的图象及单调性. 解析 a=log21, ab,ac. bc,abc.,思维启迪,A,探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是 对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,当底 数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;若底 数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式） 或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底， 不同真数，则可利用中间量进行比较.,知能迁移2 比较下列各组数的大小. (1) (2)log1.10.7与log1.20.7; (3)已知 比较2b,2a,2c的大 小关系. 解 （1） log51=0, ,(2)方法一 0log0.71.1log0.71.2, 即由换底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数，2b2a2c.,题型三 对数函数的性质 【例3】 已知函数f(x)=logax (a0,a1)， 如果对于任意x3，+)都有|f(x)|1成立， 试求a的取值范围. 当x3，+)时，必有|f(x)|1成 立,可以理解为函数|f(x)|在区间3，+)上的最 小值不小于1. 解 当a1时，对于任意x3，+),都有f(x)0. 所以,|f(x)|=f(x), 而f(x)=logax在3，+)上为增函数， 对于任意x3，+),有f(x)loga3.,思维启迪,因此,要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立. 只要loga31=logaa即可，1a3. 当0a1时，对于x3，+),有f(x)0, |f(x)|=-f(x). f（x）=logax在3，+)上为减函数， -f（x）在3，+)上为增函数. 对于任意x3，+)都有 |f(x)|=-f(x)-loga3. 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+)都成立, 只要-loga31成立即可，,综上,使|f(x)|1对任意x3，+)都成立的a的 取值范围是(1，3 ，1). 本题属于函数恒成立问题，即在x 3，+)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成 立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值 问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的 底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.,探究提高,知能迁移3 (1)设f(x)= 是奇函数，则使 f(x)0的x的取值范围是 （ ） A.(-1,0) B.(0,1) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) 解析 f（x）为奇函数，f（0）=0. 解之，得a=-1.f(x)= 令f(x)0，则 x(-1，0).,A,(2)已知f(x)=loga(3-a)x-a是其定义域上的增函数, 那么a的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) 解析 记u=(3-a)x-a, 当13时，y=logau在其定义域内为增函数， 而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数， 此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求. 当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数， 不符合题意.故选B.,B,题型四 对数函数的综合应用 【例4】 (12分)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线 与函数y=log2x的图象交于C、D两点. （1）证明：点C、D和原点O在同一直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. （1）证明三点在同一条直线上只需证明 kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2,代入解析式即可求解.,思维启迪,（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题设知x11,x21, 则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2. 因为A、B在过点O的直线上， 所以 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于log2x1= =3log8x1,log2x2=3log8x2, OC的斜率为k1=,解题示范,2分,4分,（2）解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2， 即得 代入x2log8x1=x1log8x2,得 由于x11,知log8x10,故 又因x11,解得x1= ,于是点A的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法,突 出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体 现了数形结合的思想.,探究提高,OD的斜率为k2= 由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.,6分,8分,12分,知能迁移4 已知函数 是奇函数(a0, a1）. (1)求m的值； (2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明. 解 （1）f（x）是奇函数， f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立， 1-m2x2=1-x2恒成立， m=-1或m=1（舍去），m=-1.,（2）由（1）得 (a0,a1), 任取x1,x2(1,+). 设x11,x21,x10,x2-10,x2-x10.,t(x1)t(x2),即 当a1时， f(x)在（1,+）上是减函数； 当0a1时， f(x)在（1,+)上是增函数.,思想方法 感悟提高 1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形 式的互化是对数运算法则的关键. 2.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件， 在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nN*,且 n为偶数). 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 在解题中的灵活应用.,方法与技巧,4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,且a1)互 为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它 们之间的联系与区别. 1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算， 对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公 式，对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为 对数的和、差、积.,失误与防范,2.指数函数y=ax (a0，且a1)与对数函数y=logax (a0,且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别. 3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性 质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要 掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函 数和对数函数的图象.,一、选择题 1.（2009·湖南文，1） 的值为 （ ） A. B. C. D. 解析,定时检测,D,2.函数 的反函数是 （ ） A. B. C. D. 解析 x1,0x-1x.,A,3.(2009·辽宁文，6)已知函数f(x)满足：当x4时， 当x4,故f(3+log23)=,A,4.已知02 解析 m=logaxy,0logaa2=2.,D,5.若函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)且当x1，3时， f(x)=|x-2|,则方程f(x)=log5x的实根的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由已知得f(x)是以2为最小正周期的函数， 又x1,3时,f(x)=|x-2|,所以其图象如下图所示. 由于log55=1,且y=log5x是增函数,所以f(x)的图象与 y=log5x的图象有且仅有4个不同交点，也就是方程 f(x)=log5x有4个不同实根.,D,6.函数y=loga|x+b| (a0,a1,ab=1)的图象只可能 是 （ ） 解析 由a0,ab=1可知b0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 对称轴x1,且0a1,由单调性可知，B正确.,B,二、填空题 7.(2009·江苏，11)已知集合A=x|log2x2,B= (-,a),若A B,则实数a的取值范围是(c,+), 其中c=_. 解析 log2x2,04, c=4. 8.计算 log525=_. 解析 原式=(-4)1+log552=-4+2=-2.,4,-2,9.已知0n.,mn,三、解答题 10.将下列各数按从大到小的顺序排列: log89,log79, 解 在同一坐标系内作出y=log8x, y=log7x，y=log2x的图象如图 所示,当x=9时,由图象知 log29log79log891=log88,log229log79log891, 即 log79log891. 在R上是减函数,11.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当xM时， 求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值. 解 y=lg（3-4x+x2）,3-4x+x20, 解得x3， M=x|x3， f（x）=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2. 令2x=t,x3,t8或08或0t2).,由二次函数性质可知: 当08时,f(x)(-,-160), 当2x=t= 即 综上可知:当 时,f(x)取到最大值为 无最小值.,12.已知f(x)=loga(ax-1)(a0且a1). （1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的单调性. 解 （1）由ax-10得ax1，当a1时，x0; 当01时，f(x)的定义域为（0，+）； 当0a1时，f(x)的定义域为（-，0）.,（2）当a1时，设01时，f(x)在（0,+）上是增函数. 同理，当0a1时，f(x)在（-，0）上为增函数.,返回,