第2章控制系统的数学模型.ppt
,自动控制原理 教学课件 2009年淮南师范学院 校级精品课程,电气信息工程学院 自动控制原理课程教学组,第2章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 控制系统建模实例 2-5 用Matlab处理系统数学模型,控制系统的数学模型：描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 数学模型分为： 静态模型：变量各阶导数为零时系统的代数方程。 动态模型：变量各阶导数关系的微分方程。 工程控制中常用的数学模型有三种： 微分方程-时域描述 传递函数-复域描述 频率特性-频域描述 只有建立控制系统的数学模型，才能对其进行定量的分析和设计。因此，建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。,第2章 控制系统的数学模型,建立控制系统数学模型的方法主要有两种： 分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，依据其所遵循的基本定律，列写出相应的运动方程，最后得到有关输入与输出关系的数学表达式。 实验法：给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，该方法也称为系统辨识。 本章研究用分析法建立系统数学模型的方法。,第2章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,建立控制系统的时域数学模型，即用理论分析法建立系统的微分方程。 用分析法建立系统微分方程的一般步骤如下： (1)分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量。 (2)根据系统（或元件）的基本定律（物理、化学定律）， 从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）。,第2章 控制系统的数学模型,(3)联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程。 (4)标准化。将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂排列。 本章所研究的是描述线性、定常、集总参数控制系统的微分方程的建立和求解方法。 下面举例说明系统微分方程列写的步骤和方法。,第2章 控制系统的数学模型,1. 线性元件的微分方程 例2-1 设有由电阻R，电感L和电容C组成的电路。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。 解 设回路电流为i，根据基尔霍夫定律,第2章 控制系统的数学模型,消去中间变量i，得到系统输入输出关系的微分方程为：,例2-2 设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转 动系统，如图所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角速 度为输出变量的系统微分方程。,第2章 控制系统的数学模型,解 根据牛顿定律 可写出下列方程 式中，f阻尼器的粘性摩擦阻力矩，它与角速度 成正比；f阻尼系数；J惯性负载的转动惯量,第2章 控制系统的数学模型,将方程(1)写成标准形式，求得系统的微分方程为： 若以负载转角为系统的输出量，即有 则系统的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,例2-3 弹簧质量块阻尼器系统 解 当外力f(t)作用于系统时，系统产生位移 X(t) 由力的传递特性，有：,消去中间变量：,令输入 ，输出,第2章 控制系统的数学模型,2. 控制系统微分方程的建立 若干个元件环节的有机组合构成控制系统。例如P24图2-5所示的速度控制系统，是由运算放大器1、运算放大器2、功率放大器、直流电动机、齿轮系、测速发电机等几个元件环节构成。 建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理图画出系统方块图，并分别列写出组成系统各元件的微分方程，然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间的微分方程。 了解例2-5建立速度控制系统的微分方程的步骤,第2章 控制系统的数学模型,3. 线性系统的基本特性 用线性微分方程描述的系统称为线性系统。线性系统满足叠加定理。即具有可叠加性和均匀性。 可叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。 均匀性：外作用的数值增大多少倍，其输出也相应增大同样的倍数。 注：主要用于分析和设计系统时，当有若干个外作用时，可对它们分别处理后叠加。,第2章 控制系统的数学模型,4. 线性定常微分方程的求解 求解方法 经典法：高等数学中关于微分方程求解的方法。 拉氏变换法：信号与系统课程已介绍，第3章有具体应用实例说明。 计算机数值求解法：利用数值求解方法将微分方程转换成叠代或递归的代数方程，编程求解此代数方程可得相应微分方程的数值解。,第2章 控制系统的数学模型,用拉氏变换求解线性微分方程的步骤： 考虑初始条件，对微分方程中的第一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程。 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。 对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,第2章 控制系统的数学模型,5. 非线性系统的线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。 在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。,第2章 控制系统的数学模型,非线性函数的线性化:将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。 假如元件的输出与输入之间的关系的曲线如图所示，元件的工作点为(x0，y0)。将非线性函数y=f(x)在工作点(x0，y0)附近展开成泰勒级数，得,第2章 控制系统的数学模型,当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成：,式中， 为工作点(x0，y0)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，则输出与输入之间就变成了线性关系。,第2章 控制系统的数学模型,如果系统中非线性元件不止一个，则必须对各非线性元件建立它们工作点的线性化增量方程。 具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,第2章 控制系统的数学模型,在求取线性化增量方程时应注意： 线性化方程通常是以增量方程描述的； 线性化往往是相对某一工作点（平衡点）进行的。在线性化之前，必须确定元件的工作点； 变量的变化必须是小范围的； 对于严重非线性元件或系统，原则上不能用小偏差法进行线性化，应利用非线性系统理论解决。,第2章 控制系统的数学模型,6. 运动的模态 一种模态表示一种类型的运动形态。 运动的模态由系统微分方程特征根的类型所决定。 n阶微分方程的特征根为实数且无重根，则其运动模态形如 特征根中有r阶多重根，则模态具有形如 特征根中有共轭复根 ，则其实函数模态形如 和,第2章 控制系统的数学模型,2-2 控制系统的复数域数学模型,控制系统的微分方程：在时间域描述系统动态性能的数学模型。 给定外作用和初始条件，求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式，并可作出输出量的时间响应曲线。 当系统参数或结构改变，需要重写微分方程。 微分方程阶数越高，工作越复杂，使用微分方程对系统进行分析与设计就存在不便。,第2章 控制系统的数学模型,用拉氏变换求解线性系统的微分方程时，得到控制系统在复数域中的数学模型传递函数。 利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能，以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。 经典控制理论中分析和设计方法都是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,第2章 控制系统的数学模型,1. 传递函数的定义和性质,(1)定义 线性定常系统的传递函数：线性定常系统在零初始条件 下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。即,图2-1 传递函数方框图,传递函数与输入、输出之间的关系，可用图2-1所示的方框图表示。,第2章 控制系统的数学模型,设线性定常系统的微分方程为： c(t)系统输出量； r(t)系统输入量；,（1）,由系统结构和参数决定的常数。,第2章 控制系统的数学模型,设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式（1）取拉 氏变换得： 则系统的传递函数为：,第2章 控制系统的数学模型,(2) 性质,1)传递函数的概念只适用于线性定常系统。 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质； nm，且所有系数均为实数。 2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统本身的结构和参数，而与系统输入量的大小和形式无关，也不反映系统内部的任何信息。,第2章 控制系统的数学模型,3)传递函数是在零初始条件下定义的，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。 传递函数与零初始条件微分方程是相通的。将微分方程的算符d/dt用复数s置换后便得到传递函数。反之亦然。 4)传递函数是在零初始条件下定义的。其二个含义：一是指输入量是在t0时才作用于系统；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态。,第2章 控制系统的数学模型,2. 传递函数的零点和极点 传递函数可表达成零极点形式和时间常数形式两种形式。,第2章 控制系统的数学模型,a)零极点形式 p1 ,p2,pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点 z1, z2,zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点 Kg称为根轨迹放大系数 系统的零、极点完全取决于系统的结构和参数。,第2章 控制系统的数学模型,b)时间常数形式,式中，i(i=1,m)和Ti(i=1,n)为时间常数 Kk称为系统的开环放大系数,第2章 控制系统的数学模型,3. 传递函数的极点和零点对输出的影响 传递函数的极点是微分方程的特征根，决定了所描述系统自由运动的模态，是系统“固有”的成分。 传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但其影响各模态在响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状。,第2章 控制系统的数学模型,无论是机械的、电子的、液压的、光学的、化工的或其他类型的自动控制系统是由各种元部件相互连接组成的。 不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。 各种元件或系统可由最基本的典型环节组合而成。了解典型环节的传递函数可有助于对实际元件或系统的认识和理解。,4. 典型环节的传递函数,第2章 控制系统的数学模型,(1)比例环节 输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节 称为比例环节。 比例环节的动态方程为: 式中，K放大系数或增益。,第2章 控制系统的数学模型,传递函数为:,比例环节,第2章 控制系统的数学模型,例2-4 如图所示为反相比例运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为: 传递函数为: 其中，K= -R2/ R1,第2章 控制系统的数学模型,(2) 积分环节 积分环节的动态方程为： 式中，Ti积分时间常数。 传递函数为：,积分环节的方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-5 如图所示为积分运算放大器。设输入为ui(t) ，输出为uo(t)，求其传递函数。,第2章 控制系统的数学模型,解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为 传递函数为： 式中，Ti=RC,第2章 控制系统的数学模型,(3)微分环节 微分环节的动态方程为 式中，Td微分时间常数 传递函数为,微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-6 如图所示为一电感线圈。设输入为i(t)，输出为 uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 传递函数为：,第2章 控制系统的数学模型,(4)惯性环节(一阶环节) 惯性环节的动态方程为： 式中，T惯性环节的时间常数； K惯性环节的增益或放大系数。 传递函数为：,惯性环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-7 如图所示为RC网络。设输入为ui(t)，输出 为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,对上式进行零初始条件下的拉式变换，得： 消去中间变量I(s)，得到： 传递函数为：,第2章 控制系统的数学模型,(5)一阶微分环节 一阶微分环节的动态方程为 传递函数为：,一阶微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,(6)二阶振荡环节 二阶振荡环节的动态方程为： 传递函数为： 式中，n=1/T无阻尼自然振荡频率；阻尼比,第2章 控制系统的数学模型,二阶振荡环节方框图,例2-8 如图所示RLC电路。设输入为ui(t)，输出 为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律可知该电路的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,对上式进行零初始条件下的拉式变换，得： 消去中间变量I(s)，得到： 传递函数为：,式中,第2章 控制系统的数学模型,(7) 二阶微分环节 二阶微分环节的动态方程为： 传递函数为：,二阶微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,(8)时滞环节 时滞环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟 一段时间才重现输入信号的环节。 其动态方程为： 传递函数为,第2章 控制系统的数学模型,延迟环节方框图,在实际生产中，有很多场合是存在延迟的，如测量系 统，皮带或管道输送过程，管道反应和管道混合过程等。,第2章 控制系统的数学模型,2-3 控制系统的结构图和信号流图,控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统中各变量之间关系以及对各变量所进行的运算，是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。 信号流图可直接给出计算机模拟仿真程序。但信号流图只适用于线性系统，而结构图还能用于非线性系统。,第2章 控制系统的数学模型,1.系统结构图的组成和绘制 方框图又称方块图或结构图，具有形象和直观的特点。 方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含以下四种基本单元： (1)信号线。带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上标记所对应的变量，如图2-2(a)所示。,第2章 控制系统的数学模型,(2)比较点（或综合点）。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，可省略不写；“-”表示相减，如图2-2(b)所示。 (3)方框。方框中为元件或系统的传递函数。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数，如图2-2(c)所示。,第2章 控制系统的数学模型,(4)引出点（或分支点）。表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，大小和性质完全相同，如图2-2(d)所示。,图2-2 方框图的基本单元,第2章 控制系统的数学模型,绘制控制系统方框图的一般步骤： 写出组成系统各环节的微分方程； 求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图； 从输入端开始，按信号流向依次将各环节方框图用信号线连接成整体，即得控制系统方框图。,第2章 控制系统的数学模型,例2-9 试绘制如图所示的RC网络的方框图。设输入 为u1(t)，输出为u2(t)。 解 根据基尔霍夫定律且在零初始 条件下，对上述方程取拉式变换,RC网络,第2章 控制系统的数学模型,将每式用方框图表示，如图所示,各环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,从输入量开始，将同一变量的信号线连接 起来，得到系统的方框图，如图所示。,第2章 控制系统的数学模型,2. 方框图的等效变换和化简,目的：简化系统传递函数的计算 由控制系统的结构图通过等效变换(或化简)可方便地求出闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。 原则： (1)代数运算原则（因为传递函数是以复数s为变量的代数方程） (2)保持变换前后输入输出关系不变,第2章 控制系统的数学模型,一个任意复杂的系统结构图，其方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此，结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，合并串联、并联和反馈连接的方框。,第2章 控制系统的数学模型,(1) 串联方框的简化（等效） 传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的 输出量为G2(s)的输入量，则G1(s)和G2(s)的方框连接 称为串联。,第2章 控制系统的数学模型,结论：多个环节串联后总的传递函数等于 每个环节传递函数的乘积。 G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s),第2章 控制系统的数学模型,(2) 并联方框的简化（等效）,±,±,第2章 控制系统的数学模型,式中G(s)=G1(s)+G2(s) 结论：多个环节并联后的传递函数等于所有并联 环节传递函数之和。 G(s) = G1(s) + G2(s) +. + Gn(s),第2章 控制系统的数学模型,(3) 反馈连接方框的简化（等效）,第2章 控制系统的数学模型,式中， 称为系统的闭环传递函数。,结论:具有负反馈结构环节传递函数等于前向通道的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积。,第2章 控制系统的数学模型,(4) 比较点和引出点的移动 在系统方框图简化过程中，除了进行方框的串联、并联 和反馈连接的等效变换外，还需要移动比较点和引出点 的位置。应注意在移动前后保持信号的等效性。 表2-1列出了方框图等效变换的基本法则，可供查用。,第2章 控制系统的数学模型,表2-1,第2章 控制系统的数学模型,第2章 控制系统的数学模型,例2-10 试简化如图所示系统结构图，并求系统的传递 函数C(s)/R(s)。,解 首先要消除交叉连接。,第2章 控制系统的数学模型,第一步，将引出点后移，如图(a)所示。,(a),第2章 控制系统的数学模型,第二步，对图(a)中由G3(s)、G4(s)和H3(s)构成的回路1进行等效变换，简化为(b)。,(b),第2章 控制系统的数学模型,第三步，对图(b)中的回路2进行等效变换，简化为图(c)。,(c),第2章 控制系统的数学模型,最后，对图(c)中的回路3进行等效变换，简化为图(d)。,(d),第2章 控制系统的数学模型,系统的传递函数：,第2章 控制系统的数学模型,3. 信号流图及其应用,结构图与信号流图的比较： 结构图 优点：直观完整的表达变量间的关系（方块图） 缺点：关联性复杂的系统化简繁杂，费时 信号流图 优点：无需化简，可用梅逊公式,第2章 控制系统的数学模型,信号流图的组成 信号流图起源于梅森利用图示法描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 其中，节点代表方程式中的变量，以小圆圈表示，支路是连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方程式中两个变量间的因果关系，因此，支路相当于乘法器。,第2章 控制系统的数学模型,信号流图的基本性质 1)节点标志系统的变量。 一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。 2)支路相当于乘法器。 信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 3)信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 4)对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。,第2章 控制系统的数学模型,信号流图中的定义和术语,图2-3 信号流图,第2章 控制系统的数学模型,节点 表示变量或信号的点，用符号“o”表示。 传输 两节点间的增益或传递函数。 如图2-3中的G1，G2，G3，G4，G5，G6，G7。 支路 连接两个节点并标有信号流向的定向线段。 支路的增益即是传输。 如图2-3中支路x2x3的传输为G2，支路x3x2的传输 为-H1。,第2章 控制系统的数学模型,源点 只有输出支路而无输入支路的节点，也称为输入 节点。它与控制系统的输入信号相对应。如图2-3中节点x1。 阱点 只有输入支路而无输出支路的节点，也称为输出节 点。它与控制系统的输出信号相对应。如图2-3中节点x7。 混合节点 既有输入支路也有输出支路的节点。如图2-3中 节点x2，x3，x4，x5，x6。,第2章 控制系统的数学模型,通路 沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的路径。 如果通路与任一节点相交的次数不多于一次，则称为开通 路；如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其它节点 相交的次数不多于一次，则称为闭通路或回路。 如图2-3中有五个回路，分别为x2x3x2，x4x5x4， x5x5，x2x3x4x5x6x2，x2x3x5x6x2。,第2章 控制系统的数学模型,回路增益 回路中各支路传输的乘积。 如图2-3中的五个回路增益分别为-G2H1，-G4H2， -H3，- G2G3G4G5H4，-G2G7G5H4。 不接触回路 如果回路间没有任何共有节点，则称 它们为不接触回路。如图2-3中有两对不接触回路， x2x3x2与x4x5x4，x2x3x2与x5x5。,第2章 控制系统的数学模型,前向通路 如果在从源点到阱点的通路上，通过任 何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。如图2-3 中有两条前向通路，分别为 x1x2x3x4x5x6x7，x1x2x3x5x6x7 前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。,第2章 控制系统的数学模型,注：,信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递。 节点将所有输入支路的信号叠加，并把叠加结果送给所有相连的输出支路。 具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的线路，可将其变为输出节点。 对于给定的系统，其信号流图不唯一。,第2章 控制系统的数学模型,信号流图可以根据系统的运动方程绘制，也可以由系统方框图按照对应关系得出。 (1)由系统微分方程绘制信号流图 通过拉氏变换，将微分方程或积分方程变换为s的代数方程后再画信号流图。 绘制信号流图时，首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图,4. 信号流图的绘制,第2章 控制系统的数学模型,例2-11 绘制系统方框图中例2-9的双T滤波电路 (P44图2-27),第2章 控制系统的数学模型,例2-11的信号流图,式中，六个节点分别为I1(s)，I2(s)，I3(s)，U0(s)，U1(s)，U2(s)。其中U1(s)为源点，U2(s)为阱点。按照数学方程式表示的关系，将各变量用相应增益的支路连接，即可得系统的信号流图如上图所示。,第2章 控制系统的数学模型,(2)由系统结构图绘制信号流图 从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路。由此变换成信号流图。 在表2-2中，给出了一些控制系统方框图与信号流图的对照表。从表中可以看出，控制系统的方框图与信号流图是一一对应的，同时也是可以互相转化的。,第2章 控制系统的数学模型,表2-2 控制系统方框图与信号流图对照表,第2章 控制系统的数学模型,5. 信号流图的Mason增益公式,在信号流图中计算输入节点与输出节点间传递函数的 Mason公式为 n 前向通路的条数； P 总增益； Pk第k条前向通路的增益； 信号流图的特征式，即,第2章 控制系统的数学模型,k 在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。,所有回路增益之和；,每两个不接触回路增益乘积之和；,每三个不接触回路增益乘积之和；,第2章 控制系统的数学模型,例2-12 试应用Mason公式，求下图所示系统的传递 函数C(s)/R(s)。 解 由图可知，该系统有四条前向通路， 它们的通路增益分别为,第2章 控制系统的数学模型,有六个回路，各回路的增益分别为：,第2章 控制系统的数学模型,其中，有一对不接触回路L1和L2，其增益之积 系统的特征式 所有回路与前向通路均有接触，则,第2章 控制系统的数学模型,根据Mason公式，系统的传递函数：,第2章 控制系统的数学模型,图2-4 闭环控制系统典型结构图,6. 控制系统的典型传递函数,自动控制系统在工作过程中，常会受到两类外作用信号的影响。,扰动信号 或称为干扰信号，用N(t)表示。,有用信号(给定信号、输入信号、参考输入)用r(t)表示；,第2章 控制系统的数学模型,(1) 系统的开环传递函数,在图2-4中，将H(s)的输出通路断开，即断开系统的主反 馈通路。 定义：反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比。,结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s) 和反馈通路传递函数H(s)的乘积。,第2章 控制系统的数学模型,(2) 系统的闭环传递函数,1)输入信号R(s)作用下的闭环传递函数 令N(s)=0，这时图2-4简化为 给定信号R(s)作用下的闭环传递函数：,R(s)作用下系统的结构图,第2章 控制系统的数学模型,当系统中只有R(s)信号作用时，系统的输出C(s)完全取决于cr(s)及R(s)的形式。 2)扰动信号N(s)作用下的闭环传递函数 为研究扰动对系统的影响，需要求出C(s)对N(s)之间的传递函数。令R(s)=0，则图2-4可简化为,N(s)作用下系统的结构图,第2章 控制系统的数学模型,则扰动信号N(s)作用下的闭环传递函数 由于扰动信号N(s)在系统中的作用位置与给定信号 R(s)的作用点不一定是同一个地方，故两个闭环传 递函数一般是不相同的。这也表明引入扰动作用下 系统闭环传递函数的必要性。,第2章 控制系统的数学模型,3）系统的总输出 当给定信号和扰动信号同时作用于系统时，根据线性 叠加原理，线性系统的总输出等于各外作用引起的输 出的总和。,第2章 控制系统的数学模型,(3) 系统的误差传递函数,误差的大小，直接反映了系统工作的精度，得到误差 与系统的给定信号R(s)及扰动信号N(s)之间的数学模 型，是非常必要的。 定义：误差为给定信号与反馈信号之差，即,第2章 控制系统的数学模型,1)给定信号R(s)作用下的误差传递函数 令N (s)=0，则图2-4简化为 则给定信号R(s)作用下系统的误差传递函数：,R(s)作用下误差输出的结构图,第2章 控制系统的数学模型,2)扰动信号N(s)作用下的误差传递函数 令R (s)=0，则图2-4简化为 则扰动信号N(s)作用下系统的误差传递函数：,N(s)作用下误差输出的结构图,第2章 控制系统的数学模型,3.系统的总误差 根据线性叠加原理，系统的总误差为,第2章 控制系统的数学模型,2.4 用Matlab处理系统数学模型,1. 多项式求根,在Matlab中采用行向量表示多项式，行向量内的各元素是按降幂排列的多项式系数。 多项式的系数行向量可以表示如下： P=a0, a1,an 多项式求根在Matlab中可以用函数roots(P)实现。,第2章 控制系统的数学模型,例2-13 设多项式为 试用MATLAB语句求该多项式的根。 解 MATLAB语句如下： % ex2-17 P=1 2 3 4 5; r= roots(P) 运行结果为 ：,r = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i,第2章 控制系统的数学模型,2. 传递函数,控制系统的传递函数可以描述为： 式中，ai与bi均为常数，且nm。这种系统在Matlab 中 可以表示如下： num=b0, b1,bm den=a0, a1,an G=tf num, den,第2章 控制系统的数学模型,num为分子多项式，den为分母多项式，G为由num和 den 构成的传递函数 。 试用MATLAB语句表示该传递函数。 解 MATLAB语句如下 % ex2-18 num=1 2 3; den=2 3 2 1; G=tf(num,den),例2-14 设传递函数为,第2章 控制系统的数学模型,运行结果为 Transfer function: s2 + 2 s + 3 - 2 s3 + 3 s2 + 2 s + 1 说明：程序第一行是注释语句,不执行；如果给定 的分子或分母多项式缺项，则所缺项的系数用0补充。,第2章 控制系统的数学模型,3. 零极点模型,(1) 零极点表示 传递函数可以是有理多项式形式，也可以是零极点形式 MATLAB提供了零极点形式与有理多项式形式之间的转 换函数。调用格式如下: z,p,k=tf2zp(num,den) num,den=zp2tf(z,p,k),式中，z、p和k分别为零点列向量、极点列向量和增益； num和den分别表示有理多项式的分子和分母的系数行向量。,第2章 控制系统的数学模型,例2-15 设传递函数为 试将其转换为零极点形式。 解 MATLAB语句如下: % ex2-20 num=1 1 -12; den=1 6 11 6; z,p,k=tf2zp(num,den) 运行结果为 z = -4 3,第2章 控制系统的数学模型,p = -3.0000 -2.0000 -1.0000 k = 1 则传递函数的零极点形式为:,第2章 控制系统的数学模型,例2-16 设传递函数为 试将其转换为有理多项式。 解 MATLAB语句如下: % ex2-21 z=-2 -1; p=-5 -4 -3;,第2章 控制系统的数学模型,k=1; num,den=zp2tf(z,p,k); G=tf(num,den) 运行结果为 Transfer function: s2 + 3 s + 2 - s3 + 12 s2 + 47 s + 60,第2章 控制系统的数学模型,(2)零极点图 传递函数在复平面上的零极点图，可用pzmap( )函 数来实现。调用格式为 p z=pzmap(num,den) 画出该传递函数的零极点图。,例2-17 设传递函数为,第2章 控制系统的数学模型,解 MATLAB语句如下 % ex2-22 num=1 3 2; den=2 1 2 1; pzmap (num,den) 运行结果如下图所示,第2章 控制系统的数学模型,例2-17零极点图,第2章 控制系统的数学模型,4. 方框图,若已知控制系统的方框图，使用MATLAB函数可实现方 框图转换。 (1)串联 如图2-5所示，G1(s)和G2(s)串联，在MATLAB中可用串 联函数series( )求该开环系统的传递函数。,图2-5 方框串联,第2章 控制系统的数学模型,调用格式为： num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den) 式中，G1(s)= num1/den1，G2(s)=num2/den2， G (s)= num/den,第2章 控制系统的数学模型,(2)并联 如图2-6所示，G1(s)和G2(s)并联，在MATLAB中 可用并联函数parallel( )求该开环系统的传递函数。,图2-6 方框并联,第2章 控制系统的数学模型,调用格式为 num,den=series(num1,den1,num2,den2,num,den) 式中，G1(s)= num1/den1，G2(s)=num2/den2， G (s)= num/den,第2章 控制系统的数学模型,图2-7 反馈连接,(3) 反馈连接 反馈连接如图2-7所示，在MATLAB中可用反馈连接函数feedback( )求该闭环控制系统的传递函数。,第2章 控制系统的数学模型,调用格式为 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中，G(s)= numg/deng，H(s)=numh/denh， sign为反馈极性； “+”表示正反馈； “-”表示负反馈，为缺省设置。 G(s)/1G(s)H(s)=num/den,第2章 控制系统的数学模型,且为负反馈，求系统的闭环传递函数。 解 MATLAB语句如下,% ex2-21 numg=1 1; deng=1 2; numh=1; denh=1 0; num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,-1); printsys(num,den) %输出num/den,例2-23 如图2-7所示，若设传递函数为,第2章 控制系统的数学模型,运行结果为 num/den = s2 + s - s2 + 3 s + 1,第2章 控制系统的数学模型,本章小结,本章介绍了建立控制系统及其元部件数学模型的一般方法。 (1)微分方程是描述实际系统数学模型的一种重要形式。通过分析系统及元件的工作原理，确定各变量之间的相互关系，可以列写出系统的微分方程。 (2)实际的控制系统都是非线性的，为了简化分析，常常在一定的范围内、一定的条件下用小偏差线性化方法将非线性系统转化为线性系统。,第2章 控制系统的数学模型,(3)利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能，以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。 (4)结构图和信号流图是系统数学模型的图形表示。系统内部各变量的转换和信号传递关系在图中可以清晰地反映出来，而且能通过等效变换或Mason公式求得系统的传递函数。 (5)MATLAB是进行控制系统分析与设计的重要工具。,第2章 控制系统的数学模型,
