信号与系统课件二316.ppt

系统数学模型的时域表示,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,§2.1 引言,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),本章主要内容,线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应。,主要内容,微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,§2.2 微分方程式的建立与求解,一微分方程的列写,若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。,例2-1,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,R,L,C,a,b,+,-,二n 阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。,三求解系统微分方程的经典法：齐次解+特解,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,的齐次解。,例2-2：求微分方程,例2-3,如果已知 求此方程的齐次解和特解。,给定微分方程式,齐次解形式为：,特征方程为：,特征根为：,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,(2)求特解,代入全解r(t) ，得：,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解。,初始条件的确定是此课程要解决的问题。,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。,三求解系统微分方程的经典法,§2.4 零输入响应和零状态响应,系统响应划分 对系统线性的进一步认识,一、系统响应划分,自由响应（齐次解）强迫响应（特解） (Natural + forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state),也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,各种系统响应定义,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,起始状态等于零（不考虑原始时刻系统储能的作用），由系统的外加激励信号产生的响应。,(3)零输入响应：,零状态响应：,各种系统响应定义,例2-4：已知系统方程为,起始状态为：,输入为：,求系统自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应 暂态响应与稳态响应,解：特征根为-3，齐次解为,由输入得特解为 1,全解为：,代入起始状态，得全解为：,自由响应 强迫响应,零输入响应为：,零状态响应形式为：,代入零状态，得：,由起始状态得,全解为：,例,求零输入响应和零状态响应及系统全响应。,解：零输入响应为：,零状态响应为：,输入为 时，起始状态不变，,全响应为：,例,求零输入响应和零状态响应及系统全响应。,零状态响应为：,起始条件为 ，输入不变，仍为,解：零输入响应为：,由起始状态得,全响应为：,二、对系统线性的进一步认识,由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,零状态响应为,(1)设零输入响应为, 为大于零的实常数。,(2)初始条件增大1倍，当激励为,求：(1)初始条件不变，当激励为 时的 全响应,当激励为 时，其全响应为,已知一线性时不变系统，在相同初始条件下， 当激励为 时，其全响应为,例2-5,时的全响应,则有,解（续）,解得,§2.5 冲激响应和阶跃响应,冲激响应 阶跃响应,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,一冲激响应,1定义,2一阶系统的冲激响应,3n阶系统的冲激响应,2.一阶系统的冲激响应,列系统微分方程：,例2-6求下图RC电路的冲激响应。,齐次方程,奇异函数项相平衡原理,代入原方程,整理，方程左右奇异函数项系数相平衡,已知方程,冲激响应,求导,注意！,波形,h(t)判断系统稳定性：,1. h(t)波形衰减，则系统稳定；,2. h(t)波形等幅震荡，则系统临界稳定；,3. h(t)波形无限增长，则系统不稳定；,h(t)判断系统因果性：,t0时，h(t)=0，则系统因果。,例2-7 求系统的冲激响应。,解：,求特征根,冲激响应,将e(t)(t)， r(t)h(t),带u(t),根据系数平衡，得,求系统冲激响应。,解：输入为冲激信号，原方程可改为：,冲激响应为：,例2-8,代入方程，得：,响应及其各阶导数(最高阶为n次),3n阶系统的冲激响应,(1)冲激响应的数学模型,对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),(2)h(t)解答的形式,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,总结,冲激响应的求解至关重要。,冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。,冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。,用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便。,二阶跃响应,系统的输入 其响应为 。系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,2阶跃响应与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,阶跃响应是冲激响应的积分。,一、用冲激函数表示任意信号,t,t,§2.卷积,0,t,0,t,0，其他t,0，其他t,在时域中，把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式,t,t,多点抽样,一点抽样,冲激函数的抽样性,二、卷积积分求零状态响应,输入,零状态响应,1.如果 是一个有始信号，,2.因果系统：0，h()= 0，,3.有始输入作用于因果系统：,三卷积的计算,卷积积分中积分限的确定是非常关键的。,用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确。,信号持续时间无穷大时，可用公式求。,卷积的图解说明,例2-10,X,浮动坐标,浮动坐标：,下限 上限,t-3,t-0,t ：移动的距离,t =0 f2(t-) 未移动,t 0 f2(t-) 右移,t 0 f2(t-) 左移,-1,1,t -1,两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0,-1 t 1,时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;,1 t 2,即1 t 2,2 t 4,即2 t 4,t 4,即t 4,t-31,卷积结果,卷积结果区间的确定,卷积结果区间,例2-11 求下列两函数卷积,用公式法解：,总结,求解响应的方法：,时域经典法：,双零法：,完全解=齐次解 + 特解,解齐次方程，用起始条件求系数；,§2.7 卷积的性质,代数性质 微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积,一代数性质,1交换律,3分配律,2结合律,系统并联运算,系统级联运算,1.系统级联：交换律,系统级联，框图表示：,时域中，子系统级联时，可交换子系统级联顺序。,2.系统级联：结合律,系统级联，框图表示：,时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。,请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。,例2-12 系统级联：交换律,方程左端只保留输出的最高阶导数项,积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项,系统框图,系统框图,直接I型,直接II型,对于线性时不变系统，子系统级联顺序可交换。,66,直接型所用的积分器最少，所以也称为正 准型，将正准型的加法器相加即得简化的模 拟图。,67,直接型,68,直接型,69,y(t),x(t),直接II型,3.系统并联：分配律,框图表示：,子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。,例2-13,图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响应 ，并画出它的波形。,(a),(b),解：,如图（c）所示,X,(c),二微分积分性质,微分性质积分性质联合使用,利用微积分性质可简化卷积运算。,g(t)的积分,三.与冲激函数或阶跃函数的卷积,例2-14 求下列两函数卷积,解：,例2-15,2.9利用卷积积分分析通信系统多径失真的消除方法,两系统的冲激响应为：,希望建立一个逆系统，使输出为e(t)：,屡试法，设,设,以此类推，得,