人教版初中数学案例：对一道经典习题的研讨.doc

初中数学案例对一道经典习题的研讨摘要：教师之间的合作学习是提高教师队伍素质建设的需要.本文详细描述了在公开课中一道练习题引发的讨论，以进行学法和解法的探究，并加以拓广和归纳. 这样的校本教研不把花架子，实效性很强.关键词：校本教研 习题探究 发挥新教材作用随着信息时代的发展，教师原有的知识结构受到了前所未有的挑战，光靠个人的学习已远不能满足社会对教师的期望.此时，教师之间的合作学习不但成为新课程教学的所需，更成为教师自我成长与发展的必需. 本校同级学科教师合作，即方便又实在，对于同一课题，不同教师的理解、处理，选择的教学方式，以及整体的设计等方面的差异是很大的.这种差异为教师之间开展合作性的教学活动提供了良好的基础.通过教师间互相交流、探讨、模拟、分析结果，不仅能达到教学目的，还可以聚焦某个教学目标任务，把完成同一教学任务而采取的各种不同的方法和方式进行对比，不断地改进设计和选择教学活动，反思课堂教学的所得与所失.作为一名优秀的教师，要不断通过各种合作性教育手段提高自己，懂得从教学伙伴、教育对象那里获取有用的信息，以增补自身在知识和经验方面的不足，使自己获得知识信息方面的更新，以适应新课程发展的需要.这也是提高教师队伍素质的建设需要.下面记录的是本校数学教师在一节公开课后，在评课中提出的一个问题，然后讨论解决这个问题的经过及相对应的思考.一、问题的引发 去年6月份，王老师上了一节四边形（人教版教材八年级下册第十九章）的复习课.课堂上，王老师把教科书133页15题作为课堂练习.题目如下：AEBCDF图1如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F.求证AE=EF.(提示：取AB的中点G,连接EG.)在评课会上，有老师指出，此题是编排在 “拓广探索”中的.我认为既然是拓广探索题，就没有必要作出提示，有提示就失去了探索的意义.这是因为：第一，按提示去做，学生顺利完成，做后也不知道为什么这样做.第二，学生按照提示去解题，容易滋生懒惰情绪，不会再去想别的解法.MAEBCDF图2H这个提法后来引起了全组老师的热烈讨论.大部分老师说，编者总有他们的理由.这是一道经典老题，并且解法也只有这一种，加上提示不仅避免走弯路，也希望所有学生都能上手,使得不同学生得到不同的发展基础好的学生会去想想为什么这样做，基础差一点的学生也能根据提示解题，以充分掌握三角形全等的判定与应用.但也有部分老师觉得这提示不好，老教材是没有提示的.八年级的其他老师说，我们准备在下节课把这道题抛出来，不作提示，看学生的解题思路会有什么变化.二、学法的探究在本校第二次教研会上，一位教师不加提示，让学生对这道题进行讨论，学生的分析思路是：思路一：如图2，要证明AE = EF，连接AF，可转化为证EAF=EFA. 因为AEF = 90°，只需证其中一个角等于45°即可，因为MCF=DCF=45°，只需证明它们相等即可，但是困难重重. 这时教师指出：这样的证题思路是很好的，但还是无法求证，所以就应给回过头来重新看看已知条件，看看还有哪些条件没有用上？这些条件有什么用？是否还有其它方法？这时学生想到： 思路二：证明AE和EF所在的两个三角形全等，可是ABE和EFC怎么全等呢？从而学生想到过F作FHCM，则得B =FHE = 90°，还有由AEF=90°可得AEB+HEF = 90°，又AEB+BAE=90°，从而得BAE=HEF.下面只要证AB=EH或BE=HF就好了.学生由此又想到证EC=CH.这时已经到了山穷水复疑无路的地步.老师接着说，证EC=CH不可能.是否还有别的方法？学生于是提出：思路三：上面辅助线添出与ABE全等的三角形，能否添出与EFC全等的三角形呢？从而想到取AB的中点G，连接GE.说得太好了！这是寻找几何证明思路的常用方法之一，也是添加辅助线的由来.听了这位教师的发言，大家一致认为还是不作提示好.思考：学生数学知识的形成，并不是一帆风顺的，在没有提示的情况下，虽然学生走了弯路，碰了几次壁，但却从中领会分析思路，掌握了解题方法，积累宝贵的解题经验.正是通过“做数学”来学习数学，是难得可贵的探索性学习.MAEBCDF图3H接着另一位老师说，他在课堂上把这道题抛出来给学生做，有位尖子生想出了下面一种解法：如图3，作ECF关于直线BM的对称ECH，连接AC，因为正方形ABCD，所以ACD=45°，因为CF平分DCM，所以DCF=FCM = 45°，MCH = 45°，故ACF =FCH = 90°，所以ACH = 180°，得A、C、H三点在一直线上.又AEF =ACF = 90°，所以EAC=F，又F =H，所以EAC=H，所以EA=EH，又EF=EH，故EA=EF.真是太妙了！以前我们都觉得此题就只有一种解法；但不作提示，学生竟能想出这种解法.由此可见，提示束缚了学生的思维.现在，教研会虽然结束了，但讨论和思索仍在继续.MAEBCDF图4H三、解法的探究由于教师们对这道题发生了兴趣，所以继续钻研下去.在第三次教研会上，教师的想法更多、更精彩了！“既然利用对称可以证明，我就想到用旋转证明.”一位教师说.方法一，如图4，连接AC，过E点作EHBC交AC于H.此时可得EHC=45°，EC=EH，所以AHE=135°=ECF，因为EAC=F，所以AEHFEC，所以AE=EF.MAEBCDF图5H这种方法相当于把FEC绕点E逆时针旋转90°. 方法二，如图5，把ABE绕点B顺时针旋转90°，则BAE=BCH，由已知可得FEC=BAE，故FEC=BCH，所以EFHC，因为HEC=ECF=135°，所以HECF，得四边形HEFC是平行四边形，故HC=EF，因为HC=AE，所以AE= EF.“用相似也能证明.”又有一位教师发话了.方法三，如图2，作FHCM，因为FCM=45°，可得CH=FH.可证ABEEHF，得，从而有，故，得EH=2CE=2BE=AB，所以有ABEEHF，得AE=EF.多么高明的证法，先证明两个三角形相似后再证明它们全等.这是很少有的证题思路，老师们说.“我也是根据学生的思路二接下去想到的.”他说.这时大家又说，“在上文提到的思路二中，老师说证EC=CH不可能”这句话应改为：“从目前来看证EC=CH有一定的难度.”AEBCDF图6接着，有一位老师想出了添辅助圆的方法.这位老师这样描述：方法四，如图6，由AEF = 90°，若连接AC，还有ACF = 90°，所以想到作以AF为直径的圆，根据同弧所对的圆周角相等，得AFE =ACE = 45°，则得AFE=EAF=45°，从而得AE=EF.这样更简单，老师们总结道.这90°角，想到添辅助圆是很好的思考方法.还有，如找一条已知线段为边的直角三角形，也要想到添以这条线段为直径的辅助圆.DABCEMF图7这样一来，在“思路一”中，教师应该说“目前我们所学的知识还不能证明” .还有方法五：由正方形ABCD，E是边BC的中点，CF是正方形外角平分线，想到构造正方形网格，如图7，则AE是1×2矩形的对角线，因为AEF=90°，所以EF是2×1矩形的对角线.此时的CF是小正方形的对角线，所以是正方形ABCD的外角平分线，故AE=EF=.四、拓广把解题方法五与书本中(116页的实验与探究) 的“巧拼正方形”联系起来,这道题还可以拓广，有位老师说.书上探究的问题是:给你两个大小不等的正方形,你能把它拼成一个大正方形吗?(参考图8)说明你的拼法的道理.在拼图中可以看到E点位置变化后结论不变.AEBCDF图9G图851234123451.改变点E的位置把条件“E为BC的中点”改为：（1）E为BC上任意一点，其它条件不变，结论仍成立.证明略.（2）E在BC的延长线上，如图9，其它条件不变，结论仍成立.此时，延长BA到G ，使AG = CE，连接EG，可证AEGEFC，得AE=EF.那么在CB的延长线上是否也成立呢？有个老师提出这样的问题，老师们便纷纷画图证明.EBACDF图10GBAECF图11BAECDF图12G（3）如图10，E在CB的延长线上，其它条件不变，结论仍成立. 此时，延长AB到G ，BG = BE，连接EG，可证AEGEFC，得AE=EF.2.改变正方形ABCD此时老师们的思维似乎也非常活跃，有人提出来，既然正方形成立，我们把它改成正三角形试试，结论是否还成立？后来又拓广到正n边形.（1）如图11，ABC是正方形，点E是直线BC上的点，AEF =60°，EF交ABC外角平分线CF于F.求证AE=EF.CAGBDEFH图13（2）如图12，已知正五边形ABCDE，G是直线 ED 上 的 点，AGF=108°，GF交正五边形ABCDE的外角平分线DF于F.求证AG=GF.（3）还可以拓广到正n边形. 如图13，已知正n边形ABCDEF，G是直线EF上的点，AGH =，GH交正n边形的外角平分线EH于H，求证：AG = EH.以上证明从略. 老师们说，好多中考探究题就是这样拓展出来的，我们对这道题的探究很满意，也很完美！五、归纳后来我仔细想想，针对以上各种情况，脱掉正多边形的外衣，这道习题的实质就是下面的问题.GABCDEF图14如图14，已知ABC，BA=BC，ACG =B，E是直线BC上的点（不与B，C重合），AEF =B，EF交CF于F，则AE = EF.六、几点体会1.以课程实施过程中教师面对的具体问题为对象进行教研，这样的校本教研不把花架子，实效性强.教学中仅有教师个人是不够的，还要增强合作意识和研究意识，以教师之间的共同觉悟去分享经验，互相学习，彼此支持，共同进步；以教师是研究者的眼光去审视、分析和解决自己在教学实际中遇到的真实问题.教师要主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流. 2.在教学中，让学生以研究者的身份，参与探索、发现并获得知识的全过程，使其体会到通过自己的努力取得成功的快乐，从而产生浓厚的兴趣和求知欲.“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人”，这充分说明了学习方法的重要性，它是获取知识的一把金钥匙.学生一旦掌握了学习方法，就能自己打开知识宝库的大门.因此，改进课堂教学，不但要帮助学生“学会”，更要指导学生“会学”.3.教师在教学中要用教材，不是教教材，而是如何用好教材，并超出教材.我们要紧紧抓住课改的特点，敢于发现，善于创造，让数学新教材发挥更大的作用.对这道习题的研究已告一段落，但我还在想，如何让学生在教师恰到好处的引导下，设计出相关的问题，以启发学生去分析思考，最终使学生学会掌握思维方法和规律，提高解题和运用知识的能力.参考文献：邹尚智.校本教研指导.首都师范大学出版社，2004.11袁政恕.把学习的主动权还给学生.中学数学教学参考，2006.11雷明生.谈解题反思的内容与途径. 中学数学教学参考，2006.12 2008.3.205