第一章数据结构与算法(xin).ppt

1,二 级 公 共 基 础 知 识,授课时间： 2011年10月,2,一、涉及面广，但难度小,你应该知道,公共基础知识考题特点,计算机等级二级理论考试中有关公共知识部分的题目共有15道，涉及算法及数据结构、程序设计基础、软件工程基础和数据库设计基础等四门学科，但是从整体上分析，考试中的考核内容的难度不大，考点也相对集中些。,3,二、考核重点为基本概念、基本方法 和基本运算,你应该知道,计算机等级二级理论考试中涉及的题目都是基本概念、基本方法和基本运算，考核以概念和认识性内容为主，理解性、应用性内容极少。,4,三、考核重点是数据结构和算法,你应该知道,以下是对以往二级理论考试的大概统计：,算法及数据结构： 50% 程序设计基础：12.5% 软件工程基础：18.75% 数据库设计基础：18.75%,5,考试内容,6,考试方式,1、 公共基础的考试方式为笔试，与C语言（VisualBASIC、Visual FoxPro、Java、Access、Visual C+）的笔试部分合为一张试卷。公共基础部分占全卷的30分。 2、 公共基础知识有10道选择题和5道填空题。,7,学习方法,理解基本概念 多做练习 适当记忆一些名词 与所学的VFPcAccess程序设计知识结合起来，以增加对知识的理解能力,8,你应该知道,共讲授 12个学时，具体安排如下： 数据结构与算法（5学时 ） 程序设计基础、软件工程基础（3学时） 数据库系统、真题讲解（ 4学时）,本 课 程 授 课 安 排,9,基本要求,1. 掌握算法的基本概念。 2. 掌握基本数据结构及其操作。 3. 掌握基本排序和查找算法。 4. 掌握逐步求精的结构化程序设计方法。 5. 掌握软件工程的基本方法，具有初步应用相关技术进行软件开发的能力。 6. 掌握数据库的基本知识，了解关系数据库的设计。,10,一、算法（ algorithm）,1、算法的基本概念,算法是指解题方案的准确而完整的描述。它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。它是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且每一个规则都是有效的，且是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。,11,1.1 算法,1 算法(algorithm)基本概念,一级算法: S1:输入圆的半径r; S2:求周长2r; S3:求面积 r2; S4:输出周长和面积;,例题1:已知圆的半径,求周长和面积.,程序,12,算法的基本特征: (1)可行性 (2)确定性 (3)有穷性 (4)输入和输出（拥有足够的情报）,13,2、算法的基本要素,对数据对象的运算和操作： 算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输,算法中各操作之间的执行顺序； 描述算法的工具通常有传统流程图、N-S结构化流程 图、算法描述语言等； 一个算法一般可以用顺序、选择、循环三种基本结构 组合而成。,算法的控制结构：,14,3、算法设计的基本方法,列举法 归纳法 递推 递归（以简洁的形式设计和描述算法） 减半递推技术 回溯法,15,1.2.1 时间复杂度 是指执行算法所需要的计算工作量。 通常有事后统计法和事前分析估算法。 算法在执行过程中所需基本运算的执行次数来度量算法的工作量. 算法所执行的基本运算次数与问题的规模n有关.,执行算法所需要的计算工作量和f(n)同步增长，记为:,算法的工作量=f(n),时间复杂度=O(f(n),二、算法的复杂度,16,例子4：for ( i=2 ;i=n;+i) for (j=2 ;j=i-1;+j) +x ;,基本运算： 基本运算的执行次数：,X增1,i=2 0 i=3 1 i=4 2 i=n n-2,1+2+3+(n-2),= (n-1)(n-2)/2,O（ ）,例子2：+x;,O（ 1 ）,例子3： for (i=1 ;i=n;+i) +x;,O（ n ）,时间复杂度：,O(n*n-3n+2)/2),基本运算： 基本运算的执行次数： 时间复杂度：,1,X增1,基本运算： 基本运算的执行次数： 时间复杂度：,X增1,n,17,二、算法的复杂度,1、时间复杂度,在同一问题规模下，如果算法执行所需要的基本运算次数取决于某一特定输入时，可以用以下方法分析工作量：平均性态和最坏情况复杂性。,18,2、空间复杂度,一般是指执行这个算法所需要的内存空间。 一个算法所占用的存储空间包括算法程序所占的空间、 输入的初始数据所占的存储空间以及某种数据结构所需 要的附加存储空间。 一个上机执行的程序除了需要存储空间来寄存本身所用 指令、常数、变量和输入数据外，也需要一些对数据进 行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅 助空间。,19,算法的时间复杂度是指 A) 执行算法程序所需要的时间 B) 算法程序的长度 C) 算法执行过程中所需要的基本运算次数 D) 算法程序中的指令条数 算法的基本特征是可行性、确定性、 【1】 和拥有足够的情报。 算法的空间复杂度是指 A) 算法程序的长度 B) 算法程序中的指令条数 C) 算法程序所占的存储空间 D) 执行过程中所需要的存储空间 在计算机中，算法是指 A) 加工方法 B) 解题方案的准确而完整的描述 C) 排序方法 D) 查询方法,例题讲解,有穷性,20,法的工作量大小和实现算法所需的存储单元多少分别称为算法的 【1】 。,时间复杂度和空间复杂度,21,三、数据结构（ Data Structure）,1、数据结构研究的主要内容,当今计算机应用的特点： 1、所处理的数据量大且具有一定的关系； 2、对其操作不再是单纯的数值计算，而更多地是需 要对其进行组织、管理和检索。,对数据的讨论不单单是数据本身，还要包括数据与数据之间的关系。,22,数据结构研究的主要内容,(1)数据集中数据之间的逻辑关系,即数据的逻辑结构,(2)数据的存储结构,(3)对各种数据结构进行的运算,23,特点： 每个学生的信息占据一行，所有学生的信息按学号顺序依次排列构成一张表格； 表中每个学生的信息依据学号的大小存在着一种前后关系，这就是我们所说的线性结构； 对它的操作通常是插入某个学生的信息，删除某个学生的信息，更新某个学生的信息，按条件检索某个学生的信息等等。,应用举例1学籍档案管理 假设一个学籍档案管理系统应包含如下表所示的学生信息。,24,应用举例2家庭血缘关系图 表示家庭成员的辈分关系，使用下图1-1所示的形式描述。,图 1-1 家庭血缘关系图,特点： 在求解过程中，所处理的数据之间具有层次关系，这是我们 所说的树形结构； 对它的操作有：建立树形结构，输出结点内容等等。,应用举例3制定教学计划 在制定教学计划时，需要考虑各门课程的开设顺序。有些课程需要先导课程，有些课程则不需要，而有些课程又是其他课程的先导课程。比如，计算机专业课程的开设情况如下表所示：,25,这种数据可以用下面的图来表示：,课程先后关系的图形描形式：,图 1-2 计算机专业必修课程开设先后关系,26,数据结构的主要研究问题：,27,2、什么是数据结构？,数据结构是一门研究数据组织、存储和运算的一般方法的学科。,例：整数(1,2)、实数(1.1,1.2) 字符串(Beijing)、图形、声音。,计算机管理图书问题 ： 在图书馆里有各种卡片：有按书名编排的、有按作 者编排的、有按分类编排。如何将查询图书的这些信息 存入计算机中既要考虑查询时间短，又要考虑节省空间。 最简单的办法之一是建立一张表，每一本书的信息在表 中占一行，如：,28,数据元素在计算机中的表示,数据结构是一门研究数据组织、存储和运算的一般方法的学科。,如何将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数存放 在计算机中能最快地达到你所需要的目的？ 目的不同，最佳的存储方方法就不同。 从大到小排列：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 输出偶数：0,2,4,6,8,1,3,5,7,9,对数据结构中的节点进行操作处理 （插入、删除、修改、查找、排序）,29,数据元素(Data Element),数据元素是数据的基本单位，即数据集合中的个体。 有时一个数据元素可由若干数据项(Data Item)组成。数据项是数据的最小单位。,数据元素亦称节点或记录。,数据结构可描述为 Group=（D，R）,有限个数据元素的集合,有限个节点间关系的集合,30,31,数据结构可描述为 Group=（D，R）,例1：一年四季的数据结构可表示成 B=（D，R） D=春，夏，秋，冬 R=（春，夏），（夏，秋），（秋，冬） 例2：家庭成员数据结构可表示成 B=（D，R） D=父亲，儿子，女儿 R=（父亲，儿子），（父亲，女儿）,32,数据结构也可用图形表示,一年四季的数据结构可表示成 家庭成员数据结构可表示成,（ 概念：结点、前件、后件、根结点、叶子 ）,33,树形结构,全校学生档案管理的组织方式,计算机程序管理系统也是典型的树形结构。,34,H,G,F,E,C,D,B,A,树形结构 结点间具有分层次的连接关系,35,D=1 , 2 , 3 , 4 R=(1,2),(1,3), (1,4),(2,3), (3,4),(2,4),D= 1 , 2 , 3 R=(1,2),(2,3),(3,2),(1,3),图形结构节点间的连结是任意的,36,3、例题讲解,数据处理的最小单位是( ) A)数据 B)数据元素 C) 数据项 D) 数据结构 数据结构作为计算机的一门学科，主要研究数据的逻辑结构、对各种数据结构进行的运算，以及( ) A) 数据的存储结构 B) 计算方法 C) 数据映象 D) 逻辑存储 数据结构包括数据的逻辑结构、数据的 【4】 以及对数据的操作运算。,C,A,【答案】物理结构（或存储结构）,37,3、线性结构与非线性结构： 线性结构：有且只有一个根结点；每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。 如：一年四季，26个英文字母 非线性结构：线性以外的数据结构。 如：反映家庭成员间辈分关系的数据结构,38,4、线性表（Linear List）,学 生 成 绩 表 (按成绩排列),线性表结点间是以线性关系联结：,线性表：具有线性结构的有限序列。 数据元素在线性表中的位置只取决于它们自己的序号，即数据元素之间的相对位置是线性的。,线性表的定义: 线性表是n个元素的有限序列，它们之间的关系可以排成 一个线性序列：a1，a2， ，ai， ，an 其中n称作表的长度，当n=0时，称作空表。,线性表的特点： 1、线性表中所有元素的性质相同。 2、除第一个和最后一个数据元素之外，其它数据元素有且 仅有一个前驱和一个后继。第一个数据元素无前驱，最 后一个数据元素无后继。 3、数据元素在表中的位置只取决于它自身的序号。 在线性表上常用的运算有： 初始化、求长度、取元素、修改、前插、删除、检索、排序,39,40,线性表的 顺序存储结构 及其 插入 与 删除 操作,特点： 1、线性表中数据元素类型一致，只有数据域，存储空间 利用率高。 2、所有元素所占的存储空间是连续的。 3、各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的 （a）做插入、删除时需移动大量元素。 （b）空间估计不明时，按最大空间分配。,41,顺序存储,存储地址,存储内容,元素n,元素i,元素2,元素1,Lo,Lo + m,Lo+(i-1)×m,Lo+（n-1)×m,Loc(元素i)=Lo+（i-1)×m,每个元素所占用 的存储单元个数,线性表的 顺序存储结构：,首地址 起始地址 基地址,42,0,1,i,线性表的顺序存储结构可用C语言中的一维数组来描述.,第i个元素的ai存储地址： Loc(ai)=Loc(a1)+(i-1)* m,V,V,Vi,Vm-1,int VM; 其中：V是数组的名字，M是数组大小， 假设数组中的元素是整型类型,插入运算,a2,a1,an,ai+1,ai,0,1,i-1,i,n-1,ai-1,a2,a1,alength,ai+1,ai,x,alength,插入算法的分析 假设线性表中含有n个数据元素，在进行插入操作时，若 假定在n+1个位置上插入元素的可能性均等，则平均移动元素 的个数为：,43,在进行删除操作时，若假定删除每个元素的可能性均等， 则平均移动元素的个数为： 分析结论 顺序存储结构表示的线性表，在做插入或删除操作时，平 均需要移动大约一半的数据元素。当线性表的数据元素量较大，并且经常要对其做插入或删除操作时，这一点需要值得考虑。,删除算法的分析,44,45,顺序存储结构常用于线性数据结构，将逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里。,顺序存储结构的三个缺点： 1.作插入或删除操作时，需移动大量元数。 2.长度变化较大时，需按最大空间分配。 3.表的容量难以扩充。,存储内容,45,线性表的例题讲解,顺序存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置 【1】 的存储单元中。 长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元 素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数 为【2】 。 线性表L=(a1,a2,a3,ai，an)，下列说法正确的是（） A) 每个元素都有一个直接前件和直接后件 B) 线性表中至少要有一个元素 C) 表中诸元素的排列顺序必须是由小到大或由大到小 D) 除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一 个且只有一个直接前件和直接后件,46,【答案】相邻,【答案】 n/2,D,47,数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的( ) A) 存储结构 B) 物理结构 C) 逻辑结构 D) 物理和存储结构 下列叙述中，错误的是（ ） A) 数据的存储结构与数据处理的效率密切相关 B) 数据的存储结构与数据处理的效率无关 C) 数据的存储结构在计算机中所占的空间不一定是连续的 D) 一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构 数据的存储结构是指（ ） A）数据所占的存储空间 B）数据的逻辑结构在计算机中的表示 C）数据在计算机中的顺序存储方式 D）存储在外存中的数据,C,B,B,根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分成( C ) A) 动态结构和静态结构 B) 紧凑结构和非紧凑结构 C) 线性结构和非线性结构 D) 内部结构和外部结构 数据的逻辑结构有线性结构和 【2】两大类。非线性结构 当线性表采用顺序存储结构实现存储时，其主要特点是【1】。 【答案】逻辑结构中相邻的结点在存储结构中仍相邻。,48,49,5 栈和队列,1.7.1 栈和队列的定义 栈和队列是两种特殊的线性表，它们是运算时要受到某些限制的线性表，故也称为限定性的数据结构。,50,1 .栈,栈是限定仅在表尾进行插入或删除操作的线性表。 栈顶表尾。 栈底表头。 空栈不含元素的空表。,进栈,出栈,栈s=(a1,a2,an),后进先出（LIFO）,51,2. 栈的顺序存储结构及其基本运算,用顺序存储结构表示的栈: 顺序栈用一组连续的存储单元存放自栈底到栈顶的数据元素，一般用一维数组表示，设置一个简单变量top指示栈顶位置，称为栈顶指针，它始终指向待插入元素的位置。,基本运算： 压（进）栈：PUSH 出栈：POP 读栈顶元素：gettop,52,例子：,空桟：topbase 非空桟：top始终在桟顶元素,上溢,下溢,队列的定义,队列：一种特殊的线性结构，限定只能在表的一端进行插入， 在表的另一端进行删除的线性表 。此种结构称为先进 先出（FIFO）表。,a1 , a2 , a3 , a4 , an-1 , an,队 列 示 意 图,队头,队尾,队列的主要运算,（1）设置一个空队列； （2）插入一个新的队尾元素，称为进队； （3）删除队头元素，称为出队； （4）读取队头元素；,53,54,4.队列的顺序存储结构及其基本运算,空队列: 非空队列: 队列元素个数:,rear=front=-1,front始终指向队头元素前一个位置，而rear始终指向队尾元素的位置,rear-front,堆栈和队列的例题讲解,栈和队列的共同特点是（ ） A)都是先进先出 B) 都是先进后出 C) 只允许在端点处插入和删除元素 D) 没有共同点 如果进栈序列为e1,e2,e3,e4，则可能的出栈序列是（ ） A) e3,e1,e4,e2 B) e4,e3,e2,e1 C) e3,e4,e1,e2 D) 任意顺序 一些重要的程序语言(如C语言和Pascal语言) 允许过程的递归调用。而实现递归调用中的存储分配通常用（ ） A) 栈 B) 堆 C) 数组 D) 链表,55,栈底至栈顶依次存放元素A、B、C、D，在第五个元素E 入栈前，栈中元素可以出栈，则出栈序列可能是（ ） A) ABCED B) DCBEA C) DBCEA D) CDABE 栈通常采用的两种存储结构是（ ） A) 顺序存储结构和链表存储结构 B) 散列方式和索引方式 C) 链表存储结构和数组 D) 线性存储结构和非线性存储结构 栈和队列通常采用的存储结构是 【1】。 【答案】链式存储和顺序存储 下列数据结构中，按先进后出原则组织数据的是（ ） A) 线性链表 B) 栈 C) 循环链表 D) 顺序表,56,当循环队列非空且队尾指针等于队头指针时，说明循环队列已满，不能进行入队运算。这种情况称为【2】。 由两个栈共享一个存储空间的好处是（ ） A) 减少存取时间，降低下溢发生的机率 B) 节省存储空间，降低上溢发生的机率 C) 减少存取时间，降低上溢发生的机率 D) 节省存储空间，降低下溢发生的机率 下列关于栈的叙述中正确的是（ ） )在栈中只能插入数据 B）在栈中只能删除数据 C）栈是先进先出的线性表 D）栈是后进先出的线性表 下列关于队列的叙述中正确的是（ ） ）在队列中只能插入数据 B）在队列中只能删除数据 C）队列是先进先出的线性表 D）队列是后进先出的线性表,57,答案：上溢,58,顺序存储结构常用于线性数据结构，将逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里。,顺序存储结构的三个缺点： 1.作插入或删除操作时，需移动大量元数。 2.长度变化较大时，需按最大空间分配。 3.表的容量难以扩充。,存储内容,58,59,6、线性链表,线性链表的基本概念： 线性表的链式存储结构称为线性链表。 为了适应线性表的链式存储结构，计 算机存储空间被划分为一个一个小块，每 一小块占若干字节，通常称这些小块为存 储结点。,将存储空间中的每一个存储结点分为两部： 一部分称为数据域，用于存储数据元素的值； 另一部分称为指针域，用于存放下一个数据元素的存储序号（即存储结点的地址），也就是指向后件结点.,线性链表中存储结点的结构如图2.20所示,60,61,1、比顺序存储结构的存储密度小 (每个节点都由数据域和指针域组成，所以相同空间内假设全存满的话顺序比链式存储更多)。 2、逻辑上相邻的节点物理上不必相邻。 3、插入、删除灵活 (不必移动节点，只要改变节点中的指针)。 4、查找结点时链式存储要比顺序存储慢。,链接存储结构特点：,62,指向线性表中第一个结点的指针HEAD称为 头指针。 当HEAD=NULL（或0）时称为空表。 对于线性链表，可以从头指针开始，沿着各个结点的指针扫描到链表中的所有结点。,线性链表的逻辑结构图所示,63,线性链表的基本运算：,线性链表的运算主要有以下几个： 在线性链表中包含指定元素的结点之前 插入一个新元素。 在线性链表中删除包含指定元素的结点。 将两个线性链表按要求合并成一个线性 链表。,64,线性链表的 插入 运算：,线性链表的插入是指在链式存储结构下 的线性表中插入一个新元素。 为了要在线性链表中插入一个新元素， 首先要给该元素分配一个新结点，然后将存 放新元素值的结点链接到线性链表中指定的 位置。,65,P,1-1单链表的插入运算,在P所指向的结点之后插入新的结点,66,66,67,线性链表的删除指在链式存储结构下的 线性表中删除包含指定元素的结点。 为了在线性链表中删除包含指定元素的 结点，首先要在线性链表中找到这个结点， 然后将要删除结点放回到可利用栈。,线性链表的 删除 运算：,68,1-2单链表删除运算,要求:删除结点ai。,69,69,循环链表的结构与前面所讨论的线性链表相比，具有以下 两个特点： 循环链表的头指针指向表头结点。 在循环链表中，所有结点的指针构成了一个环状链。,循环链表：,70,71,在实际应用中，循环链表与线性单链表相 比主要有以下两个方面的优点： 在循环链表中，只要指出表中任何一个结点 的位置，就可以从它出发访问到表中其他所 有的结点。 由于在循环链表中设置了一个表头结点，因 此，在任何情况下，循环链表中至少有一个 结点存在，从而使空表与非空表的运算统一。,72,72,73,双向链表 在每个结点中设置两个指针，一个指向后继，一个指向前驱。可直接确定一个结点的前驱和后继结点。可提高效率。,data,next,before,线性表的应用：应用最广的数据结构。 .高级语言中的数组； ·计算机的文件系统； ·计算机的目录系统； ·电话号码查询系统（可采用顺序表或单链表结构）； ·各种事务处理（可采用顺序表或单链表结构）;,74,链表不具有的特点是 A) 不必事先估计存储空间 B) 可随机访问任一元素 C) 插入删除不需要移动元素 D) 所需空间与线性表长度成正比 数据结构分为逻辑结构与存储结构，线性链表属于 【1】 。 数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的 A) 存储结构 B) 物理结构 C) 逻辑结构 D) 物理和存储结构 数据的逻辑结构有线性结构和 【1】 两大类。 数据的存储结构是指 A）数据所占的存储空间 B）数据的逻辑结构在计算机中的表示 C）数据在计算机中的顺序存储方式 D）存储在外存中的数据,例题讲解,存储结构,非线性结构,75,顺序存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置 【2】 的存储单元中。 数据处理的最小单位是 A) 数据 B) 数据元素 C) 数据项 D) 数据结构 数据结构作为计算机的一门学科，主要研究数据的逻辑结构、对各种数据结构进行的运算，以及 A) 数据的存储结构 B) 计算方法 C) 数据映象 D) 逻辑存储 线性表的顺序存储结构和线性表的链式存储结构分别是 A) 顺序存取的存储结构、顺序存取的存储结构 B) 随机存取的存储结构、顺序存取的存储结构 C) 随机存取的存储结构、随机存取的存储结构 D) 任意存取的存储结构、任意存取的存储结构,相邻,76,根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分成 A) 动态结构和静态结构 B) 紧凑结构和非紧凑结构 C) 线性结构和非线性结构 D) 内部结构和外部结构 数据结构包括数据的逻辑结构、数据的 【2】 以及对数据的操作运算。 数据的基本单位是 【5】 。 下列叙述中，错误的是 A) 数据的存储结构与数据处理的效率密切相关 B) 数据的存储结构与数据处理的效率无关 C) 数据的存储结构在计算机中所占的空间不一定是连续的 D) 一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构,存储结构,数据元素,77,1.6、树与二叉树：,树的基本概念： 前面我们讨论的线性表，栈、队列和数 组等都是线性结构。而树是一种非线性数据 结构，它的每一个结点，都可以有不止一个 直接后继，除根外的所有结点，都有且只有 一个直接前趋。这些数据结点按分支关系组 织起来，清晰地反映了数据元素之间的层次 关系。,78,1.6.1 树的定义 由一个或多个结点组成的有限集合。仅有一个根结点，结点间有明显的层次结构关系。,现实世界中，能用树的结构表示的例子： 学校的行政关系、书的层次结构、人类的家族血缘关系等。,1.6 树,79,79,80,介绍几个概念： 结点（Node）：树中的元素，包含数据项及若干指向其子树的分支。 结点的度（Degree）：结点拥有的子树数。 结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。 叶子（Leaf）：度为零的结点，也称端结点。 孩子（Child）：结点子树的根称为该结点的孩子结点。 兄弟（Sibling）：同一双亲的孩子。 双亲（Parent）：孩子结点的上层结点，称为这些结点的 双亲。 树的深度（Depth)： 树中结点的最大层次数。 树的度：结点所具有的最大的度. 森林（Forest）：M棵互不相交的树的集合。,81,二叉树(binary tree)是一种很有用的非线 性结构。 二叉树具有以下两个特点： （1）非空二叉树只有一个根结点； （2）每一个结点最多有两棵子树，且分别 称为该结点的左子树与右子树。,二叉树（Binary Tree）：,因为树的每个结点的度不同，存储困难，使对树的处理算法很复杂。所以引出二叉树的讨论,81,82,82,83,性质1：二叉树的第k层上至多有2 k-1（i 1）个结点,二叉树的性质：,第三层上(i=3)，有23-1=4个节点。 第四层上(i=4)，有24-1=8个节点。,84,二叉树的性质：,性质2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点,此树的深度h=4，共有24-1=15个节点。,85,性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点 （即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。,二叉树的性质：,85,性质：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。,例1：某二叉树中度为2的结点有18个，则 该二叉树中有 个叶子结点。,19,86,满二叉树与完全二叉树,满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所 有结点都有两个子结点。 完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层 外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一 层上只缺少右边的若干结点。 注意：满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。,87,满二叉树的特点： 每一层上都含有最大结点数。,87,88,完全二叉树的特点：除最后一层外，每一层都取最大 结点数，最后一层结点都集中在该层最左边的若干位置,88,89,对于完全二叉树而言 如果它的结点个数为偶数，则该二叉树中： 叶子结点的个数=非叶子结点的个数 如果它的结点个数为奇数，则该二叉树中： 叶子结点的个数=非叶子结点的个数+1 （即叶子结点数比非叶子结点数多一个）,规律总结：,90,例题讲解,1、设一棵完全二叉树共有700个结点，则在该二叉树中有 个叶子结点。 2、在深度为5的满二叉树中，叶子结点的 个数为（ ） A) 32 B) 31 C) 16 D) 15,350,91,树与二叉树的区别,A树和二叉树的结点个数最少都可为0。 B树中结点的最大度数没有限制，二叉树结点最大度数为2。 C树的结点无左、右之分，二叉树的结点子树有明确的左、右之分。,3个结点的树,3个结点的 二叉树,92,二叉树的存储,二叉树通常采用链式存储结构。 存储结点由两部分组成：数据域、指针域。 其中指针域有两个：左指针域、右指针域 因此二叉树的链式存储结构也称为二叉链表,92,93,2、二叉树的存储结构,(2) 链式存储结构,T16,若父结点在数组中i下标处，其左孩子在2*i处，右孩子在2*i+1处。,(1) 顺序存储结构,(1) 顺序存储结构,2h-1=,24-1 = 15,用一组连续的存储单元存放二叉树的数据元素。结点在数组中的相对位置蕴含着结点之间的关系。,一般二叉树必须按完全二叉树的形式存储，将造成存储的浪费。,94,(2)、链式存储结构,链式存储结构,二叉链表 三叉链表,二叉链表：,二叉链表的结点包含三个域：数据域、左、右指针域。,例：,95,三叉链表：,三叉链表的结点包含四个域： 数据域、左、右、双亲指针域。,例：,链式存储结构的特点： （1）操作便于实现 （2）结构复杂,96,二叉树的遍历,二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中的所 有结点。 二叉树的遍历可以分为三种：前序遍历、中 序遍历、后序遍历。 设访问根结点记作V；遍历根的左子树记作 L；遍历根的右子树记作R； 前序： VLR（即根左右） 中序： LVR（即左根右） 后序： LRV（即左右根）,96,97,97,98,1、设一棵二叉树的中序遍历结果为DBEAFC, 前序遍历结果为ABDECF，则后序遍历结 果为：,例题讲解,2、已知一棵二叉树前序遍历和中序遍历分别 为ABDEGCFH和DBGEACHF，则该二叉树 的后序遍历为（ ） A) GEDHFBCA B) DGEBHFCA C) ABCDEFGH D) ACBFEDHG,DEBFCA,99,1、设一棵二叉树的中序遍历结果为DBEAFC, 前序遍历结果为ABDECF，则后序遍历结 果为：,例题讲解,2、已知一棵二叉树前序遍历和中序遍历分别 为ABDEGCFH和DBGEACHF，则该二叉树 的后序遍历为（ ） A) GEDHFBCA B) DGEBHFCA C) ABCDEFGH D) ACBFEDHG,DEBFCA,100,3、具有3个结点的二叉树有（ ） A) 2种形态 B) 4种形态 C) 7种形态 D) 5种形态 4、 设有下列二叉树： 对此二叉树前序遍历的结果为（ ） A) ZBTTCPXA B) ATBZXCTP C) ZBTACTXP D) ATBZXCPT,100,101,1.7、查找和排序：,查找又称为检索 查找算法的评价主要考虑算法的时间复杂 性，既可以采用数量级的形式表示，也可以采 用平均检索（查找）长度，即在查找成功情况 下的平均比较次数来表示。 查找可分为顺序查找和二分法查找两种。,102,（a）顺序查找：,顺序查找又称线性查找。它是一种最简单、 最基本的查找方法。基本思想是：从表中第一 条记录开始，逐个进行记录的关键字和给定值 的比较。若某个记录的关键字和给定值相等， 则查找成功；否则，若直至最后一个记录，其 关键字和给定值都不相等，则表明表中没有所 查记录，查找不成功。,103,二分查找又称折半查找。作为二分查找对 象的表必须是顺序存储的有序表，即各记录的 次序是按其关键字的大小顺序（以下假定按从 小到大的顺序）排列的表。 最坏情况下，二分查找需要比较 次。,（b）二分查找：,log2n,104,二分查找的具体做法是: 先取表中间位置的记录关 键字与给定值比较。若相等, 则查找成功；否则, 若给 定值比该记录的关键字小，则给定值必在表的前半部分。 在这前半部分中再取中间位置记录的关键字进行比较， 就又可以排除这部分的一半。依次反复进行，直到找到 给定值或找完全表而找不到为止。,105,排序是将一组杂乱无章的数据按一定的规 律顺次排列起来。 通常数据对象有多个属性域，即由多个数 据成员组成, 其中有一个属性域可用来区分对 象, 作为排序依据。该域称为关键字（key）。 排序的时间开销是衡量算法好坏的最重要 的标志。,1.8 排序（sort）,106,（a）交换类排序：,交换类排序法： 冒泡排序法：需要比较的次数为n(n-1)/2 快速排序法：是对冒泡排序的改进，是目 前内部排序中速度最快的一种。,107,交 换 排 序 交换排序的特点在于交换。有冒泡和快速排序两种。 1、冒泡排序（起泡排序） 思想：小的浮起，大的沉底。从左端开始比较。 第一趟：第1个与第2个比较，大则交换；第2个与第3个比较， 大则交换，关键字最大的记录交换到最后一个位置上； 第二趟：对前n-1个记录进行同样的操作，关键字次大的记录交换 到第n-1个位置上； 依次类推，则完成排序。,108,第 六 趟 排 序 后,第 五 趟 排 序 后,第 四 趟 排 序 后,第 三 趟 排 序 后,第 二 趟 排 序 后,第 一 趟 排 序 后,初 始 关 键 字,思想：小的浮起，大的沉底。,排序n个记录最多需要n-1趟冒泡排序 正序：比较次数为O(n-1) 逆序：比较次数为O(n(n-1)/2) 适合于数据较少的情况。,109,（b）插入类排序：,插入类排序的基本方法是：每步将一个待 排序的对象，按其关键字大小，插入到前面已 经排好序的一组对象的适当位置上，直到对象 全部插入为止。 简单插入排序法：最坏情况需要n(n-1)/2次比较； 希尔排序法：最坏情况需要O（n ）次比较。,110,该算法适合于n 较小的情况，时间复杂度为O(n2).,待排元素序列：53 27 36 15 69 42 第一次排序： 27 53 36 15 69 42 第二次排序： 27 36 53 15 69 42 第三次排序： 15 27 36 53 69 42 第四次排序： 15 27 36 53 69 42 第五次排序： 15 27 36 42 53 69 直接插入排序示例,对于有n个数据元素的待排序列，插入操作要进行n-1趟,最坏情况下： 需要n(n-1)/2次比较 最好： n-1次比较,111,（c）选择类排序：,选择类排序的思想是：每一趟（例如，第i趟， i=0，1，n2）在后面ni个待排序对象中选 出关键字最小（升序，若为降序，选出最大关键 字）的对象，作为有序对象序列的第i个对象。待 到第n2趟作完，待排序对象只剩下1个，不用再 选了，结束排序。 简单选择排序法，最坏情况需要n(n-1)/2次比较； 堆排序法，最坏情况需要O（nlog2 n）次比较。,112,初态,8 3 9 1 6,8 3 9 1 6,8 3 9 1 6,8 3 9 1 6,1 3 9 8 6,1 3 9 8 6,1 3 9 8 6,时间复杂度为O(n2)， 适用于待排序元素较少的情况。,比较次数： n(n-1)/2次,113,在长度为n的有序线性表中进行二分查找。最坏的情况下，需要的比较次数为 【2】 。 长度为n的顺序存储线性表中，当在任何位置上插入一个元素概率都相等时，插入一个元素所需移动元素的平均个数为 【1】 。 假设线性表的长度为n，则在最坏情况下，冒泡排序需要的比较次数为 A) log2n B) n2 C) O(n15) D) n(n-1)/2 已知数据表A中每个元素距其最终位置不远，为节省时间，应采用的算法是 A) 堆排序B) 直接插入排序 C) 快速排序 D) 直接选择排序,例题讲解,log2n,n/2,114,冒泡排序算法在最好的情况下的元素交换次数为 【1】 。 在最坏情况下，堆排序需要比较的次数为 【2】 。 最简单的交换排序方法是 A) 快速排序 B) 选择排序 C) 堆排序 D) 冒泡排序 排序是计算机程序设计中的一种重要操作，常见的排序方法有插入排序、 【1】 和选择排序等。,0,nlog2n,交换排序,115,在下列几种排序方法中，要求内存量最大的是 A) 插入排序 B) 选择排序 C) 快速排序 D) 归并排序 在待排序的元素序列基本有序的前提下，效率最高的排序方法是 A) 冒泡排序 B) 选择排序 C) 快速排序 D) 归并排序 希尔排序属于 A) 交换排序 B) 归并排序 C) 选择排序 D) 插入排序 对长度为n的线性表进行顺序查找，在最坏的情况下