3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程.ppt

在数学2立体几何初步中我们学习了空间里的平行关系，即线线平行、线面平行和面面平行。请同学们回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。,用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,公理4：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。,线面平行的判定定理：平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。,面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。,在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,1.用向量的方法证明线线平行,设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则,也可写成,设两个不共线向量 和 与平面 共面，直线 的一个方向向量为 ，则,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,2.用向量的方法证明线面平行,推论：如果A,B,C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x,y使得 成立。,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,3.用向量的方法证明面面平行,设两个不共线向量 和 与平面 共面，则,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,例子：,如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。 (1)求证：MN/AD1且 ； (2)求证：MN/侧面AD1 。,几何证法,向量证法,例1.平行六面体 中，O是B1D1的中点，求证：B1C/平面ODC1 。,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助线而减少了思考时间。,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直(当夹角为90°时),设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则,设两条直线所成角为，则,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子：,如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是B1B与CA1的中点。求证：MNBB1 ；MNA1C 。,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子：,已知三棱锥O-ABC(如图)，OA=4，OB=5，OC=3，AOB=BOC=60°，COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。,四、应用举例,例2.如图所示，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PDA=，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由。,D,A,B,C,P,五、课堂练习,课本第101页，练习A，1，2，3,