社会统计学(卢淑华),第三章.ppt

第三讲,概率论,概率论的产生和发展,概率论产生于十七世纪，本来是随保险事业的发展,而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考 概率论中问题的源泉。,早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提,出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干 局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中 一个人赢了 a (am)局，另一个人赢了 b(bm)局的时候，,赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在 1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。,三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学,家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游 戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。,近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国 民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数 学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率 论作为基础的。,第一节,基础概率, ,一、随机现象与随机试验 随机现象非确定性现象 随机试验：对随机现象的观察 随机试验须符合的条件： 1、可以在相同的条件下重复进行 2、试验的所有结果是事先已知的，并且不止一个 3、每次试验只能出现可能结果的一种，且不能预先判 断是哪一种 如：掷硬币 二、概率的概念,随机事件发生可能性大小的数量表示。 三种情况： 1、不可能事件Ø 概率 P（）=0 2、必然事件S 概率 P（S）=1 3、必然与不可能之间E 概率 0 P（E） 1,三、概率的计算方法,1、频率法, ,频数与频率 随机事件E出现的次数n频数,频率, ,n与实验次数N的比值 频率的三种状况：,2）, ,定值。,频率是一个近似值，概率是一个理论值、唯一的精 确值，比频率完美。,f s 1,n N,3） f 0 概率是实验或观察次数N趋于无穷时，相应频率的稳,1）0 f E 1,n N,N N ,PE lim f E lim,2、古典法, ,1）样本点Ei ：随机实验中的每一种结果 2）样本空间S：样本点的总和 3）随机事件A：基本事件的集合，它是S的子 集 4）古典概型的条件 样本空间只有有限个样本点 每个样本点出现的可能性相同,5）计算,m n,PA ,A中包含样本点的个数 样本点总数,例：5人中 3男 2女，随机抽有一女 的概率, ,男生代码 E1 E2 E3 女生代码 F1 F2 样本空间5个 n=5, ,随机事件样本点：m=2 再例：100人中，5人超过70岁，任抽一 人，是古稀老人的概率？,2 5,PA ,四、概率的运算, ,（一）条件之间的关系 1、包含与相等 A发生必然导致B发生，则B包含A AB 如果存在反向包含关系则 A=B,例：A=人；B=男人；C=女人；A与B？, ,2、事件和 A与B至少有一个发生才构成事件C则为和 A+B,例：A=香港人；B=澳门人；C=港澳人士；A+B？, ,3、事件积 A与B同时发生构成事件C则为事件积 AB,例：A=品德好；B=能力强；C=德才兼备；AB？,（一）条件乊间的关系（续）,AB= , 4、互不相容 A发生则导致B不发生 例：某人来自的省份。,5、对立事件,A与B为互不相容事件，且在一次实验或观察中必有 其一发生。,A+B=S,AB= 例：性别,6、相互独立：二者无关系,例：两个妇女同时生孩子，生男生女是否有关？,PA1 A2 An PA1 PA2 PAn ,（二）概率的运算, ,n i 1,1、加法 1）条件：A、B互不相容时：A+B（事件和）为A的概率B的概率之和。 PA B PA PB 推论：n个事件 2）A与B不满足互不相容时： PA B PA PB PAB 推论三个事件： PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC n个事件：,例：,1、湖南某地外出打工：100户中，每户一人广州打工：30 户；深圳打工：20户；上海打工：20户；任抽一户，南,下打工的概率？,2、某班学生30人，父亲大学文化8人，母亲大学文化6人， 父母均为大学文化的3人，任抽一人，父辈至少一人大学,文化的概率？,课内练习：,对某班女生调查：不吃早餐的50%，不吃中餐的20%，两餐,都不吃的10%，求下列事件概率：,1、只不吃早餐的 2、中、早至少一餐不吃 3、中、早只有,一餐不吃 4、中、早两餐都吃,2、乘法, ,简化式：A、B相互独立 PAB PA PB PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 一般式：A与B不满足相互独立 当一事件已发生条件下另一事件发生的概率条件概 率 PB A - A发生条件下事件B发生的概率 PAB PA PB A 或 PAB PB PA B,A1 PAn A1 A2 An ,推论： PA1 A2 An PA1 PA2,例题1,某城市中，有60%的家庭订阅日报，有80% 的家庭有电视机，假定这两个事件是独立 的，随机抽出一个家庭，发现既订日报又 有电视机的概率？,答案,A=该家庭订一份日报 B=该家庭有电视机 P(A)=0.60 P(B)=0.80 P(AB)=0.60*0.80=0.48,例题2,对同一目标进行3次射击，第一、二、三、 次射击命中的概率分别是：0.3,0.4,0.6，求 在这三次射击中恰有一次命中的概率。,答案, ,Ai=第i次射击命中 A=恰有一次命中 P（A） =0.3*0.6*0.4+0.7*0.4*0.4+0.7*0.6*0. 6 =0.436,例：,1、某厂一天两班生产350件产品，一班生 产200件，次品9件；二班生产150件， 次品4件。随机抽一件，是次品，问：是,一班生产的概率？解答,2、居民楼20户，无子女家庭2户，访问两,户均为无子女家庭的概率？,练习：据统计，能活到60岁的概率为0.8； 活到70岁的概率为0.4, 问现年60岁的人 活到70岁的概率？,例一答案：,第一种方法：,A=抽选的一件产品是一班生产的 B=抽选的一件产品是次品 已知B发生，p(A/B)=9/13,第二种方法：,P(A/B)=p(AB)/p(B)=9/350 ÷ 13/350 =9/13 AB=抽选的一件产品是一班生产的次品,PB PAi PB Ai ,其中 PB PAi PB Ai ,五、全概率不逆概率公式, ,1、全概公式 A1 、A2 An为完备事件组，即： 1） A1 、A2 An互不相容 2） A1 +A2 +An=S 对任一事件B都有 n i 1 2、逆概率公式（贝叶斯公式） 在B发生的情况下，追溯导致B发生的各种原因Ai概率,PAi PB Ai PB,PAi B ,n i 1, ,全概例： 有三个工作人员被指定复制某种表格。某一人 复制了这种表格的40%，第二人复制了35%， 第三人复制了23%，第一人的错误率为0.04， 第二人的错误率为0.06，第三人的错误率为 0.03。随机抽一份表格，这份表格有错误的概 率为多少？ 逆概例： 接上例。某天，随机抽出一份表格，发现有错 误，办公室主管想知道由第一、第二、第三个 工作人员所造成的概率是多少？,2） PK 1,第二节 概率分布、均值不方差, ,性质：1）,分布列表明全部概率在各可能取值之间的分布规律，全面描叙离散随机变量 的统计规律,Pk 0,一、概率分布： 随机现象一共有多少种结果，以及每种结果伴随的概率。 1、离散型随机变量及其概率分布分布列 概率分布：P X i Pi 例1：10人中，女性3人，抽3人，女性人数的概率分布。 例2：两名孕妇，生女婴的概率分布。, K 1,P x ,x ,Px1 x2 x dx, xdx 1,2、连续型随机变量及其概率分布 概率密度函数, ,2）, , 2 ,x 2,x 0, x x,概率密度： x lim,x 0,1）, ,任意两点（X1，X2）之间的概率为： x2 x1 概率密度 x 存在以下性质：,F x P x xdx,P x ,x ,3、分布函数, ,1）定义：F（x）=P（ x） 意义：随机变量从最远的起点（- ）到所研究的x点所有概率的总和。 2）对于离散型随机变量，则：依据概率的加法定理：例, , ,频率 频率密度, xi , P xi x,F x P x ,3）对于连续性随机变量，则：依据单微积分知识： x 4）分布函数与概率分布有一一对应关系 5）几个概念的比较：, , 2 ,x 2,x 0, x x, 概率 概率密度 x lim,向上累计频率 f i 分布函数,F x P x1 ,例：,家庭子女数：,x1 x2 x3 x4,x4,F(x)=？, P(=Xi),1 0.5,2 0.2,3 0.2,4 0.1,E x1 P1 x2 P2 xn Pn xi Pi,1）离散型 x ni xi,2）连续型E x x dx,二、数学期望（总平均值）：, ,1、数学期望的公式 n i 1 N 2、数学期望与平均值 ni P N 当调查总数N等于总体个案时： 数学期望又可称作总体均值 3、数学期望是各随机变量取值分别乘以取值的概率， 因此，也称作随机变量的加权平均值。,例：,两名学生拿名次比较：, ,求E(),甲 （名次） p 乙 （名次） p,1 0.2 1 0.3,2 0.5 2 0.3,3 0.3 3 0.4, E i , ,推广n个 ：,4、数学期望的性质： 1）常数的数学期望等于该常数 EC C 2）随机变量与常数之和的期望等于随机变量期望与常 数之和 E C E C 3）E C C E 4）两个随机变量 E E E 推广n个随机变量： n i 1 5）两个独立随机变量的期望 E E E ,E12 n E1 E2 En ,方差：D ,三、方差不标准差,1、离散型随机变量,2、连续型随机变量, ,方差：D, E E 2 x E 2 Pi ii, ,x E 2 xdx,标准差 ： D 3、方差和标准差都反映了随机变量的可能值密集在数学 期望周围的程度。方差值越小，密集程度越高；反之则方 差值较大。,P,C D, ,4、计算过程 利用公式求 E（）= 求 E（）2 求 E（）2 ·（ =xi） 2= 5、方差的性质 常数的方差为0 D（+C）= D（） D（ ·）=C2 ·（） 两个独立变量 D（+ ）= D（）+D（ ） 推广n个,例题,12名学生，3女，9男。任抽一人，如为女 生，则不放回，再抽一人，直到抽到男生 为止，求，抽到男生以前已抽出的女生人 数的数学期望与方差。,答案,=抽出女生数,P(=0)=9/12=0.75,P(=1)=3/12*9/11=0.2015,P(=2)=3/12*2/11*9/10=0.0409,P(=3)=3/12*2/11*1/10*9/9=0.0045,四、矩、偏态不峰态, ,（一）矩 矩是各点对某一固定点离差幂的平均值 1、原点矩vi：表示对原点“0”的i阶距 2、中心矩ui：表示对E（）的第i阶距 3、中心矩与原点矩的关系 u1=0 u2= v2 v12 u3= v3 3 v2 v1 +2v13 u4= v4 4v3 v1+6v2 v12 3 v14,续 （二）偏态：三阶中心矩,u3= E E（）3,（三）峰态：四阶中心矩 u4= E E（）4,