第03章流体运动学.ppt

1,第3章,流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。,主要内容：,4.建立连续性方程,第三章 流体运动学35:20,1.介绍研究流体运动的两种方法,2.用这两种方法来表达流体质点的运动,3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念,课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？,2,6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无旋运动的概念并引入速度势函数。,§3-1 研究流体运动的两种方法,流体质点(particle)体积很小的流体微团。,5. 引入流函数的概念,两个基本概念：,流体就是由这种流体微团连续组成的。,3-1两种研究方法,3,同上,流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。,空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。空间点是不动的，而流体微团则是运动的。同一空间点，在某一瞬时为某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过。,4,拉格朗日法,研究流体运动的两种方法,一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）,始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等）的变化规律。,5,同上,拉格朗日变量：,（，） （，） （，）,设任意时刻，任意一个流体质点的空间坐标为,z，则以a,b,c标认的流体质点在0时刻所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间的函数，即,6,同上,其速度和加速度为：,7,二、欧拉法(Euler)（空间点法）,欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标，以及时间的函数。,例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:,8,同上,xx（，） yy（，） zz（，） （，） （，）,A,9,加速度(accleration),加速度的矢量试:,10,同上,从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：,11,局部导数,) :变位导数,1） : 局部导数，在固定空间点处， vx随时 间变化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。,它是在同一时间，在空间不同点处速度不同 而引起的加速度，又叫“对流加速度”。,讨论问题：,1)什么情况下只有局部加速度？,局部=当地,对流=迁移=位移,12,讨论思考,2.什么情况下只有位移加速度？,3.什么情况下两部分加速度都有？,4. :称为流体的质点导数,13,同上,流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式:,例如:,14,§3-2 几个基本概念,一、定常运动与非定常运动,1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时 间而变化的流动。即有,2.非定常流动(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.,15,定常运动与坐标的选取有关,16,0,均匀流动与非均匀流动,1. 均匀流动 所有物理量均不随空间位置而变化的流动。即有,2.非均匀流动 在流场中有物理量随空间位置变化.,=0,17,二、轨迹线(path line),1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。,2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。,18,轨迹线的方程式,3. 轨迹线的方程式 ：,一条迹线：一个流体质点在一段时间内描述的路径。,给定速度分布积分上式可得迹线方程。,t3,t4,19,三、流线(stream line),定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。,20,视频：流线-平板层流-begin,21,视频：流线_球,22,视频：流线_机翼,23,2. 流线特点,流线上各点的切线方向所表示的是在同一时 刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。,定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。,流线一般不相交,流线不转折，为光滑曲线。,24,3. 流线的微分方程,上述可组成一微分方程组，给定了速度分布。积分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流线。 注意：积分时时间作为参量。,(3-13),25,例3.1,试求： （）时刻流体质点的分布规律； （），时这个质点的运动规律； （）流体质点的加速度； （）欧拉变数下的速度与加速度。,例3.1已知拉格朗日变数下的速度表达式为： vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1 、为时流体质点所在位置的坐标。,26,同上,注意到在t=0时，x=a、y=b，即有,解（1）,进一步求得流体质点的一般运动规律为:,27,同上,t=2时流体质点的分布规律:,（2）a=1，b=2的特定流体质点，其运动规律为：,（）质点的加速度为:,28,同上,（4）由质点一般运动规律,则拉格朗日变数与的表达式为,代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为,29,同上,可进一步求得欧拉变数下的加速度为：,30,例3.6,例 3.6 已知流场的速度分布为 xx+t， y-y+t,（）1，过点（1, 2）的加速度。,解：（1）轨迹线微分方程为:,试求：,（）0，过点（-1,-1）的迹线；,（）0，过点（1,2）的迹线；,（），过点（-1，-1）的流线；,31,同上,将t0，x=-1，y=-1代入上式得10 20,此非齐次常系数线性微分方程组的通解为 1t- 2-t+-,故经过点(-1,-1)的轨迹线方程为: = -1 =-1,消去t后得: x + y = - 为一条过点(-1,-1)的直线。,32,同上,（） 将0，代入通解得: C1 C2,故过点（1，2）的轨迹线方程为: 2et- 3e-t+t-1,（）流线微分方程为:,积分后得: ln（x+t）=-ln（-y+t）+C,或为 (x+t)·（-y+t）=,代入t=0，=-，=-1得=-1 则过点(-1,-1)的流线方程为 y=1,33,同上,（）加速度公式为,所以 ax=1+（x+t）·（y+t）·s2 ay=1+（ x+t ）·（ y+t ）·4ms2,34,例3.7,例3.7 以Lagrange变数（a，b，c）给出流体的 运动规律为：,ae-2t b（1+t）2 z=ce2t（1+t）-2,求： （）流体的速度场； （）过点（1,1,1）的流线； （）过点（1,1,1）的迹线； （）流动是否定常？,35,同上,解 （1）流体的速度场为,（2）由流线微分方程:,即,积分时将视为参数，或令代入上式得：,36,同上,积分得 lnx-1=lny+C 或 xy=C,当x=1，y=1时得 c=1,xy=1 Z=1便是t=0，过点（1,1,1）的流线方程,（）将t=0和点（1，1，1）代入下式：,x=e-2t y=（1+t）2 z=e2t（1+t）-2,则轨迹方程为：,ae-2t b（1+t）2 z=ce2t（1+t）-2,得 a=1，b=1，C=1,37,同上,(）从所求出的速度场知，速度与时间有 关，故流场为非定常流动。,38,四、流管和流量(flowrate)-end,（1）流管：设某一瞬时，流场中任封闭曲线C （不是流线），经过曲线C的每一点 作出该瞬时的流线，这些流线的组 合形成一个管状的表面。,39,（2）流量-begin,（2）流量：流管的垂直截面，叫“过流断面” 其面积记为，单位时间内通过过 水断面的体积，称为体积流量,(3-14),40,（3）平均流速,这是人为定义的一个速度，实际流动中过流断面上各点的流速是不相等的。,(3-15),41,五 条纹线,条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一 点的各流体质点轨迹线的端点的连线。,42,一维，二维与三维流动,1. 流动维数的确定：,三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t)或v=v ( r, , z, t),二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t),一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或 v=v ( s ),43,2. 常用的流动简化形式：,二维流动： 平面流动,轴对称流动,(2) 一维流动： 质点沿曲线的流动 v=v ( s ),流体沿管道的平均速度 v=v ( s ),44,§3-3 连续性方程式,§-连续性方程式（equation of continuity),一、一元流动（one dimensional flow）的连续性 方程式,对于定常流动,即,对于不可压缩流体：,或,截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。,对于低速气流可视为不可压缩流体。,(3-17),(3-18),(3-19),45,二、空间运动的连续性方程式-end,以 x方向为例,同理,单位时间内密度的变化引起 质量的增量:,化简后得:,(3-21),_,46,同上,定常流动,不可压缩流体连续性方程为,不可压缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变化率互相约束，不能随意变化。在流动过程中形状虽然有变化，但体积却保持不变（体积膨胀率为零）。,(3-24),(3-25),47,三、平面极坐标系中的连续方程,r,代入 (3-21),48,三、平面极坐标系中的连续方程,不可压缩流体=const,式中为径向速度，为圆周切向速度。,定常流动,(3-27),(3-28),49,四、柱面坐标系中的连续方程end,、是柱坐标，轴上的速度分量。,五、球面坐标系中的连续方程,，是速度在球坐标， 轴上的分量。,(3-29),50,六、积分形式的连续性方程,流场中取一任意形状的控制体，其边界面为控制面。,单位时间内经过边界 流入控制体内的净质量为:,讨论：1. 上式积分结果若大于零的含义？,2.上式积分结果若小于零、等于零的含义？,净流入质量,51,欧拉型连续方程式的积分式,曲面所围体积内的流体质量为:,由于内流体既不产生也不消失，根据质量 守恒定律，单位时间内流入 面的净质量与体积 内的质量变化率应相等，即,将上式移项得,(3-31),52,物理意义,物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减 等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量,(3-31)左端第项使用高斯定理，将其面积分变 为体积分得：,又将左端第一项的微分符号移入积分号内得：,53,欧拉型连续方程的微分式,将上述结果代入得：,因积分域为流场中任取的控制体，故必有：,流体无论是理想还是粘性流体，定常还是非定常流动,均匀还是非流动都适用。,(3-21),54,§3-4 流体微团运动的分析,流体微团的运动形态：,55,平面流动,平面流动,平移 转动 线变形 角变形,56,平行六面体流体微团,瞬时边长为dx,dy,dz的平行六面体流体微团,顶点（xdx，ydy，zdz）处速度分量用泰劳级数展开，略去二阶以上小量得:,M,M1,57,同上,（3-33）,以第一式为例，方程右边作如下变换：,58,同上,整理得：,同理第二，三方程作变换得：,（3-35）,59,各项的物理意义,（3-34）,其中：,1）x,y、,z的意义,：点相对于点在 向的相对速度,B,60,同上,上述两项使微团在与方向产生线变形,:点相对于点在向的相对速度,dt内使向右移动的 距离为,dt内使D向上移动的 距离为,（1） ：代表流体微团沿方向的应变率,即方向单位长度线段的伸长或缩短变形速度,61,同上,同理可知另外两个量的物理意义,（2） : 方向的应变率,（3） : 方向的应变率,62,2)x ,y ,z的物理意义-begin,:向速度分量在DC 和AB层间的速度差。,：向速度分量在B C和AD层间的速度差。,速度差使相邻两层流体产生剪切变形,AB在dt内转动的角度为:,单位时间内AB边的转角为,63,同上,同理，AD在dt内转角为：,单位时间内AD边的转角为,所以,: 流体微团在平面内剪切变形 的平均角速度，或称剪切应变率。,同理可证另外两个量的物理意义，有：,64,同上,流体微团在xy平面内剪切变形的平均角速度，或称剪切应变率。,yz平面上剪切应变率,xz平面上剪切应变率,65,3）x、y、z的物理意义,流体微团的平均旋转角速度:单位时间内AE的旋 转角度。,设dt时间内旋转d,AE:流体微团角平分线,66,同上,微团角分线的旋转角速度为：,由此可知：,代表流体微团绕过点并平行于轴的轴线旋转的平均角速度。,67,流体微团绕点并平行于轴的轴线旋转的平均角速度。,同上,同理得另外两个量的物理意义，三个方向有：,流体微团绕点并平行于x轴的轴线旋转的平均角速度。,流体微团绕点并平行于y轴的轴线旋转的平均角速度。,68,同上,速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。,69,流体微团的运动,流体微团的运动由如下三部分：,线变形使六面体微团体积扩大或缩小，角变形使六面体微团的形状改变。,平移运动：速度为（vx，vy，vz）；,旋转运动：角速度为（x，y，z）；,变形运动：线变形速度（x、y、 z ）和 角变形速度为（x，y，z ） 的剪切变形运动。,70,同上,平面流动,平移 转动 线变形 角变形,71,同上,将线变形速度x、y、z和角变形速度 x，y，z写成一个标量函数：,海姆霍兹速度分解定理可写成,72,§3-5 旋涡运动与无旋运动,旋涡运动（有旋运动）：流体微团有绕着穿过自 身轴的转动，转动角速度。,无旋运动：流体微团除平移和变形以外，本身 没有旋转，这时转动角速度为零，,xyz,73,例3.2,例3.2 假设流线均为水平直线的均匀流动，速度分布为x0，y。,很易验证xyz，无旋运动.,例3.3 平行剪切流动。流场 具有抛物线规律的速度分布,容易验证 xy=0,为有旋运动。,V0,十字架,74,例3.4,例3.4 流体像刚体一样转动，流线是同心圆， 流场各点速度与r成正比，V=r(=const.,切向速度，在,y方向的投影为,旋转角速度公式即可证得 xy,75,同上,运动有旋，每个流体微团作圆周运动的过程中也以角速度自转,微团的分角线和整个十字架固连在一起，以角速度绕穿过十字架中心的轴而转动。,76,例3.5,例3.5 流体微团作圆周运动，速度与半径成 反比, 如流体中存在旋风中心，会带动 周围流体运动。,流体微团切向速度在轴上投影为：,x,77,同上,可以验证,同理：,可见这种流动是无旋运动。,78,一、速度势函数,无旋运动:,正好是微分 为某个函数 的全微分的充分必要条件：,称为速度势函数,可得:,3-6速度势函数与流函数05,79,速度势函数与速度之间关系,势流：存在速度势函数的流动,也称为势流。,对速度势求偏导数就可得到速度。,速度势函数与速度之间关系:,比较两式可得,代入连续性方程可得:,80,二、流函数,求解拉普拉斯方程 得到速度势函数 由速度势函数与速度的关系式求出速度。,流函数存在的条件：只要是连续的平面流动，不 一定无旋，就存在流函数，还有一些流动也存在 流函数，如可压缩流体平面运动，不可压缩流体的空间轴对称流等。 与速度的关系,(3-54),81,流函数的性质：,（）流函数和流线的关系。const的曲线 和流线重合。,平面运动的流线方程式为,或写成 ydxxdy=,即 积分后便得 const,将与速度的关系式代入上式得：,82,同上,即const为流线方程的解。因此const的 曲线和流线重合。,注意：流函数是由连续性方程引入和定义的，而 流线是按速度矢量的方向来定义。任何情况下都 存在流线，但流函数只在少数几种情况（平面流 动，空间轴对称流动等）才存在。,83,（）流函数和流量的关系,通过任意两条流线之间(流管)的流量等于 此两流线的流函数之差值。,则,3-56 图3-20a,84,证明：,B和A:相距为有 限距离的两条流线,即通过两流线间的流量等于此两流线的流函数之差值。,85,（）流函数和速度势的关系,对于平面无旋运动，速度势和流函数就同时存 在。它们之间的关系可通过速度投影得到。,此关系式在数学中称为哥西黎曼条件，若知道 和中之一，就可通过积分求出另一个。,等流函数线：const的曲线（与流线重合）,等势线：const曲线,等势线和流线互相垂直,86,证明：,在const曲线上任取一微元弧长ds（dx，dy）,即等势线与速度垂直,另一方面，流线与速度平行，则等势 线与流线互相垂直，即12，,因此，即,vxdx+vydy,87,()无旋流动，流函数也满足拉普拉斯方程式end,若所研究的是平面无旋运动，则,将速度与流函数之关系代入上式，有：,即：,说明平面势流中流函数和速度势同时满足拉 普拉斯方程。,88,例3.8,例3.8 已知速度场为,求： 流体微团的旋转角速度。,解 （）由旋转角度公式得：,89,例3.9,例3.9 出油管与腔室轴线的夹角，进油速 度为v，若出油速度等于kv(k为常数）， 腔室内活塞的移动速度应为多大？,解：进油的体积流量为,出油面积为：,出油流量：,90,同上,现设活塞的移动速度为，按连续性方程有,活塞的移动速度为 uv(ksin),91,例3.11,例3.11 大圆管半径为R1,与半径为R2的小圆管连接，测得大圆管内流速分布为,k为常数,求：,1）大圆管内平均流速,2）所通过的体积流量,3）小圆管内平均流速,92,同上,解：1）,2）,3）因,得：,93,总 结,一、内容总结 描述流体运动的方法有两种：拉格朗日法和欧拉法，在流体力学中主要采用欧拉法。流体运动连续方程描述了流体运动时的质量守恒律。流体流体微团的运动分为三种形态：平移、变形(线变形、角变形)、旋转。为了更方便地研究流体力学的有关问题，引入了势函数和流函数的概念。,94,总 结,本章的基本概念：质点加速度、当地加速度、迁移加速度、质点导数、当地导数、迁移导数、定常流动与非定常流动、均匀流动与非均匀流动、一元流动、二元流动、三元流动、迹线、流线、流线特性、极限流线、驻点、流谱、流束、流面、流管、过流断面、流量、平均流速、平移、线变形、角变形、旋转、有旋运动、无旋运动、有旋场、无旋场、控制体、速度势函数、流函数、流函数的性质，等。,95,总 结,基本理论与基本公式： (1) 描述流体运动的两种方法： 1)拉格郎日法； 2)欧拉法：选定空间点(x, y, z)，研究不同时刻流体质点位于所选空间点上其物理量的变化规律，例如流体质点的速度，压力，密度等可表达式。 3)质点导数：定义与计算，见(3- )式。 (2)流体的流量的计算(3-)式、平均流速的计算(3-)式。. (3) 不可压流体的连续性方程(3- )式、不可压流体沿流管定常流动的连续方程(3- )式。,96,总 结,(4) 流体微团的运动分解，海姆霍兹速度分解定理(3-26)式、流体微团的旋转角速度计算(3-)式。. (5) 速度势函数的计算及与速度的关系(3-)式、流函数的计算及与速度的关系(3-)式。 (6)流函数的特性： 1) =const代表一条流线。 2) =0在理想流体运动中，这条流线与物面重合。 3) QAB=A-B代表单位宽度面积上通过的体积量。 4) 的等值线的等值线，组成流网。 5)在无旋流动下，流函数也满足拉普拉方程。,97,总 结,二重点，难点 1.重点：(1)基本概念：定常流与非定常流，均匀流与非均匀流，有旋流与无旋流。流线及其特性，流管，流束，流量，过流断面，欧拉法表示的流体质点的加速度；流体微团的运动形态及其物理意义；流函数，势函数存在的条件及其特性。 (2) 基本方法：研究流体运动的两种方法，主要掌握欧拉法。给定流场速度分布，求流体质点的加速度，流线形状，旋转角速度，剪切变形速度，线变形速度，流量。 (3) 基本原理：质量守恒定理连续性方程 2.难点：(1) 欧拉法及其流体质点加速度的表示及物理意义。 (2) 流体微团的运动形式及物理意义。 (3) 控制体法的应用。,