第1章系统的状态空间法.ppt

绪 论,一、现代控制理论的性质及发展,控制理论研究的问题：如何改进系统的动态性能，达到所需的性能指标。,控制系统中两个重要的概念： 1、反馈的概念 2、最优控制的概念,控制理论发展的三个时期：,1、经典控制理论时期（二十世纪3050年代）,研究对象主要是线性系统，以拉氏变换为数学工具。,较好的解决了单输入单输出反馈控制问题。,2、现代控制理论时期（二十世纪5070年代）,研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。,以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。,3、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪70年代至今）,二、现代控制理论基础主要内容,1、线性系统理论,2、系统辨识,3、最优控制,4、最优估计,5、自适应控制,1、线性系统理论,建立系统的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器,2、系统辨识,包括结构辨识和参数辨识,3、最优控制,通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。,在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。,4、最优估计,在通讯工程中，接受到的信号为：,Y（t）=S（t）+（t）,有用信号,干扰躁声,5、自适应控制,自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。,当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。,四、本课程主要内容,1、状态空间法,2、动态分析,3、能控性与能观测性,三、控制理论的应用,航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗,4、结构分解与实现,5、稳定性分析,6、状态反馈,7、最优控制,8、最小值原理,五、参考书,1、现代控制理论基础机械工业出版社 常春馨编,2、现代控制理论基础北京工业大学出版社 谢克明编,3、现代控制理论机械工业出版社 刘豹编,4、现代控制理论基础电子工业出版社 尤昌德编,第1章 控制系统的状态空间表达式,1.1 概述,1.2 控制系统的状态空间表达式,1.3 状态空间表达式的建立,1.4 状态方程的线性变换,1.5 系统的传递函数阵,1.6 离散系统的状态空间表达式,1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式,1.1 概述,古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。,现代控制理论是建立在状态空间法基础上。,1.2 控制系统的状态空间表达式,1.2 . 1 基本概念,1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。,2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。,1.2 . 1 基本概念,3、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个n维矢量。,4、状态空间 ：以n个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为n维状态空间。,5、状态方程 ：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。,一阶微分方程,6、输出方程 ：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。,1.2 . 1 基本概念,代数方程,7、状态空间表达式 ：状态方程和输出方程。,1.2 . 2 控制系统状态空间表达式,例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧质量阻尼系统，试建立输入的外力u (t)，输出为位移 y (t)的状态空间表达式。,y1= f1(x1 x2 u1 u2),K：弹性系数,f：阻尼系数,1.2 . 2 控制系统状态空间表达式,解：系统的运动方程：,系统的状态变量：x1=y,u,y,系统的状态方程：,系统的输出方程：,y = x1,1.2 . 2 控制系统状态空间表达式,u,y,矩阵形式：,y = x1,简写为：,1.2 . 2 控制系统状态空间表达式,多输入多输出线性定常系统：,1.2 . 2 控制系统状态空间表达式,1.2 . 3 控制系统状态空间的一般表达式,1.2 . 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图,ò,B,D,C,A,U(t),Y(t),DU,AX,CX,比例器,加法器,积分器,1、结构图,BU,X,1.2 . 4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图,例：线性系统的状态空间表达式为,解：这是一个三阶系统，需3个积分器,例：线性系统的状态方程为,解：这是一个三阶系统，需3个积分器,x1,+,2、信号流图,将上例中的结构图用信号流图表示,2、信号流图,将上例中的结构图用信号流图表示,1.3 状态空间表达式的建立,1.3 .1由系统方框图建立状态空间表达式,例：试建立系统的状态空间表达式,解：将惯性环节变为积分环节,1.3 .1由系统方框图建立状态空间表达式,解：将惯性环节变为积分环节,1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式,1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式,y =x1,1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式,例：含有零点,1.3 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：由RLC组成的系统如图，u为输入变量，y为输出变 量，试建立它的状态空间表达式。,解：u= uR + uL + uC,1.3 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。,u=T,根据牛顿定律：,1.3 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。,1.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1、输入函数不包含导数项时,设系统的微分方程：,变换为：,令：,x1=y,xn1=y（n2）,xn=y（n1）,系统状态方程：,1.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1、输入函数不包含导数项时,系统状态方程：,y =x1,y =x1,1.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,2、输入函数包含导数项时,设系统的微分方程：,状态空间表达式,选择待定系数c1 、c2 、c3使状态方程中不含导数项,2、输入函数包含导数项时,将上式展开：,求c1 、c2 、c3,2、输入函数包含导数项时,令：,y= x1+c0u （1）,a1 ×（3）+ a2 ×（2）+ a3 ×（1）+（4）,即：,2、输入函数包含导数项时,比较系数得：,c0= b0,c1=b1a1c0,c2=b2a1c1 a2c0,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0,对于n阶系统：,cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc0,2、输入函数包含导数项时,求系统的状态变量,y= x1+c0u （1）,x1 = y c0u （1）,因为：,所以：,状态变量是由y、u及它的各价导数组成。,解：c0=0,b0=0,c1=b1a1c0=14×0=1,c2=b2a1c1 a2c0=1 4×1= 3,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4×（ 3）2×1=13,y= x1,作业： 1-1试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。,u,y,+,1 T2S+1,+,1-2 将y+2y+4y+6y=2u变换为状态空间表达式。, ,1-3 将,变换为状态空间表达式。,1-3 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,已知系统的传递函数,=G(S)+d,化为真分式：,输出与输入之间的直接传递关系,首先讨论G(S),1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,G(S) =,1、G(S)特征方程的n个极点互异,用部分分式法,S1、 S2、 Sn：特征方程的极点,k1、 k2、 kn：待定系数,因为 ki=,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,设第i个状态变量的拉氏变换为,(SSi) xi(S)= U(S),Sxi (S)=Sixi(S)+U(S),由拉氏反 变换得状态方程：,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,求输出方程：,=k1x1(S)+ k2x2(S)+ + knxn(S),y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t),y(t)'=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,计入d的影响,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,矩阵形式：,y(t)'=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,对角线标准形,+du,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,信号流图：,y(t)'=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du,u,1,1,1,1,1,1,y,d,例：已知系统传递函数为：,G(S) =,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由 S3+7S2+14S+8=0,求得：S1= 1、 S2= 2、 S3= 4,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,设系统有5个特征根：S1、 S1、 S1、 S4、 S5。,重极点系数：,单极点系数：,m：重极点的个数,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,设状态变量的拉氏变换为,则：,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,整理后得：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,取拉氏反 变换，得系统状态方程：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,系统状态方程：,约当标准形,2、G(S)特征方程有相重极点,=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S),求输出方程：,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S),y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t),系统输出方程：,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t),信号流图：,例：已知系统传递函数为：,G(S) =,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由 S3+7S2+16S+12=0,求得：S1= 2、 S2= 2、 S3= 3,(S+2)2(S+3)=0,S2,信号流图或结构图？,作业,1-4 已知系统传递函数为：,试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的 模拟结构图或信号流图。,1.3 .1 由系统方框图建立状态空间表达式,1.3 .2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,1.3 .3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1.3 .4 由系统传递函数建立状态空间表达式,1.4 状态方程的线性变换,特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形 或约当标准形。,1.4 .1 系统状态的线性变换,设：X=x1 x2 x3 xnT,它们之间的线性变换：,P：n×n非奇异变换阵,1.4 .1 系统状态的线性变换,1.4 .2 系统的特征值,1、特征值及特征矢量,AP=P,A的特征值,P AP=0,(I A)P =0,有非零解的必要条件：,|I A | =0,A的特征方程,1.4 .2 系统的特征值,|I A | = n +a1 n1+a n1 + a n,求得A的特征值： 1、 2、 n,Api=ipi,对应于i的一个特征矢量,由全部所对应的特征矢量：,P=p1 p2 pi pn,线性变换阵,2、特征值不变性,特征多项式,经线性变换后，其特征值不变。,|I A |,2、特征值不变性,对于,对于,1.4 .3 化状态方程为对角线标准形,设,，若A的特征值1、 2、 n互异，,则必存在非奇异变换阵P，使其进行X=PX的变换后，其,状态方程,将为对角线标准形，即,且,P=p1 p2 pi pn,A的特征值： 1、 2、 n,特征矢量：,p1 p2 pi pn,证明,证明：,若Pi是对应于i的一个特征矢量,则必满足(iI A)pi =0,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,证明：,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,Api=ipi,Apn=npn,写成矩阵形式：,Ap1 Ap2 Api Apn,=1p1 2p2 ipi npn,Ap1 p2 pi pn= 1p1 2p2 ipi npn,AP= p1 p2 pi pn,1.4 .3 化状态方程为对角线标准形,证毕,例：试将状态方程,变换为对角线标准形。,解：(1)求系统特征值,|I A | =,|I A |,= 3+6 2+11 +6=0,( +1)( +2) ( +3)=0,(2)求特征矢量,对应于1= 1 的特征矢量为p1，,Ap1=1p1,可以看出： p21=0,p11=p31,令 p11=1 p31 =1,求得： 1= 1、 2= 2、 3= 3,同理，将 2= 2、 3= 3分别代入,Ap2=2p2,Ap3=3p3,求得：,变换阵P=p1 p2 p3=,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,当A有相重特征值时； 1、A的线性独立特征矢量数等于它的阶数n，这时A 仍可以化为对角线标准形；,2、A的线性独立特征矢量数小于它的阶数n，这时A 不能化为对角线标准形，只能化为约当标准形；,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,例：,A=,对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2,对应于1= 1 的特征矢量为p1，,显然1I A 的秩是1， p1有两个独立的解，对应两个 独立的特征矢量，即,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,对应于3= 3 的特征矢量为p3，,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,若：,A=,对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2,但rank1I A =2，独立的特征矢量只有一个。,约当标准形：,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,设A是5×5的方阵，其特征值为1、 1、 1、 4和5， 存在一个变换阵Q，使得,J= Q1AQ,A的约当标准形J由三个约当块组成。若 1 只有一个 独立的特征矢量，则,J= Q1AQ=,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,J= Q1AQ=,若 1 有两个独立的特征矢量，则,若 1 有三个独立的特征矢量，则,J= Q1AQ=,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,设 1 有一个独立的特征矢量，求Q。,J= Q1AQ,Q J=AQ,令,=Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,将上式展开得：, 1 Q1=A Q1,Q1 + 1 Q2=A Q2,Q2 + 1 Q3=A Q3, 5Q5=A Q5, 4 Q4=A Q4,（ 1 IA）Q1= 0,（ 1 IA）Q2= Q1,（ 1 IA）Q3= Q2,（ 4 IA）Q4= 0,（ 5 IA）Q5= 0,Q1、Q4、Q5为独立特征矢量，Q2、Q3为非独立特征矢量,1.4 .4 化状态方程为约当标准形,（ 1 IA）Q1= 0,（ 1 IA）Q2= Q1,（ 1 IA）Q3= Q2,（ 4 IA）Q4= 0,（ 5 IA）Q5= 0,解此方程组得变换阵Q,解：(1)求系统特征值,|I A | =,= ( 1)2( 2),1.4 .4 化状态方程为约当标准形,|I A | =( 1)2( 2),求得： 1= 1、 2= 1、 3= 2,将1= 1 代入（ 1 IA）Q1= 0中,rank1I A =2，独立的特征矢量只有一个。,任取q11=1,解得q21= 3/7， q31= 5/7,再将Q1代入（ 1 IA）Q2= Q1中,rank2I A =2，独立的特征矢量只有一个。,任取q12=1,解得q22= 22/49， q32= 46/49,再将Q1代入（ 1 IA）Q2= Q1中,要保证Q阵非奇异,将3=2代入（3 IA）Q3= 0中,rank2I A =2， 独立的特征矢量只有一个。,令q13=2，则q23= 1，q33= 2,作业,1-5 已知,试化为标准形并求其传递函数。,1.5 系统的传递函数阵,1.5 .1 传递函数阵的概念,当初始条件为零时,Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S),Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S),双输入双输出,1.5 .1 传递函数阵的概念,Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S),Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S),简记为：Y (S) =G(S) U (S),n个输入n个输出,分离式控制,1.5 .2 闭环系统的传递函数阵,Y (S)=G0(S) E(S)= G0(S) U(S)F(S),G0(S),H(S),E(S),F(S),U(S),Y(S),=G0(S) U(S)H(S) Y(S), I+G0(S) H(S) Y(S)= G0(S) U(S),Y (S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) U(S),闭环传递函数阵：G(S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S),1.5 .3 由状态空间表达式求传递函数阵,X：n维，,Y：m维，,U：r维，,对上式取拉氏变换,SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S),X(0)=0,Y(S)=CX(S)+DU(S),SX(S) =AX(S)+BU(S),X(S) =SIA1BU(S),Y(S)= CSIA1B +D U(S),传递函数阵：G（S）= CSIA1B +D,例：已知系统的状态空间表达式为,x1=x2+u1,x2=x3+2u1u2,x3=6x111x26x3+2u2,y1=x1 x2,y2 =2x1+x2 x3 试求其传递函数阵。,解：,G（S）= CSIA1B +D,1.5 .4 传递函数阵的不变性,对状态方程进行线性变换后，其对应的传递函数阵不变.,证明：G(S):原系统的传递函数阵,G(S)= CSIA1B +D,设P是非奇异变换阵，由于,= CPS P1PP1AP1 P1B +D,= CPP1( S IA) P1 P1B +D,= CP P1 S IA 1 PP1B +D,= C S IA 1 B +D,1.5 .5 组合系统的状态空间表达式与 传递函数阵,1、子系统的并联联结,设子系统S1、S2分别为n1、n2维，其组合系统的示意图,Y (t),组合系统,Y=Y1+ Y2= C1X1+D1U+ C2X2+D2U,传递函数阵：,G1(S)= C1SIA11B1 +D1,G2(S)= C2SIA21B2 +D2,G(S)= CSIA1B +D,1、子系统的并联联结,传递函数阵：,G1(S)= C1SIA11B1 +D1,G2(S)= C2SIA21B2 +D2,G(S)= CSIA1B +D,= C1SIA11B1 + C2SIA21B2 + D1+ D2,= C1SIA11B1 +D1+ C2SIA21B2 +D2,G(S) = G1(S)+ G2(S),1、子系统的并联联结,1.5 .5 组合系统的状态空间表达式与 传递函数阵,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2(C1X1+D1U)= C2X2+D2C1X1+D2D1U,1.5 .5 组合系统的状态空间表达式与传递函数阵,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2(C1X1+D1U)= C2X2+D2C1X1+D2D1U,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2C1X1+D2D1U,传递函数阵：,G(S)= CSIA1B +D,2、子系统的串联联结,G(S)= C2SIA21B2 + D2 C1SIA11B1 + D1,G(S)= G 2(S) G1(S),3、子系统的反馈联结,Y (t),Y1=C1X1=Y,Y2=C2X2,3、子系统的反馈联结,·,X1=A1X1+B1U1=A1X1+B1(UC2X2)= A1X1B1C2X2 +B1U,Y1=C1X1=Y,G1(S)= C1SIA11B1 =G0(S),G2(S)= C2SIA21B2=H(S),G(S)= CSIA1B,传递函数阵：,G(S)=I+ G0(S) H(S)1G0(S),作业,1-6 设子系统S1、S2的状态空间表达式分别为,求并联系统的状态空间表达式及它的传递函数。,1.6 离散系统的状态空间表达式,X(k+1)T=G(kT) X(kT)+ H(kT)u(kT) (1),Y (kT)=C(kT) X(kT)+ D(kT)u(kT) (2),T:采样周期。,(1)式是一阶差分方程组,(2)式是代数方程组,离散系统的状态空间表达式由系统的高阶差分方程或 脉冲传递函数获得。,1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式,一、线性时变系统,二、非线性系统,本章结束！,