第六章 理想流体动力学(1).ppt

1,第六章 理想流体动力学,当流体粘度很小且流体质点间的相对运动速度又不大时，粘性切应力是很小的，即可看成理想流体。理想流体中一般不存在热传导和扩散效应。 论述势流理论的基本内容，引出不可压缩流体平面流动的势函数、流函数概念，重点讨论不可压缩流体平面无旋流动的速度势函数与流函数的关系以及求解势流问题的奇点叠加方法。 从运动学的角度对理想流体旋涡流动的流场作进一步的讨论和分析。,2,第六章 理想流体动力学,§61 平面势流 §610 卡门涡街 §62 速度势函数和流函数 §610 空间势流 §63 复势与复速度 §64 几种基本的平面势流 §65 势流的叠加 §66 圆柱体绕流 §67 理想流体的旋涡运动 §68 理想流体旋涡运动的基本定理 §69 旋涡的诱导速度,3,第一节 平面势流,首先定义平面流动。 平面流动是指对任一时刻，流场中所有决定运动的函数 仅与两个坐标及时间有关，亦称为二元或二维流动。,特点:,平面有势流动的定义: 在有势质量力的作用下，理想不可压缩流体在相互平行的平面内作定常无旋流动，称该流动为平面有势流动，简称平面势流。,流场中，若任意流体质点的旋转角速度向量 ，这种流动称为有势流动或无旋流动。,4,为什么要研究平面有势流动？,实际流动中并不存在严格的平面流动。当流动的物理量在某一个方向上的变化相对其它方向上的变化可以忽略，,而且此方向上的速度很小时，就可简化为平面流动问题来处理，通过研究这一平面上的运动，就可以了解整个空间的流动。如果这种流动是有势的，即流体微团本身没有旋转运动，则这种流动称为平面有势流动。,5,第二节 速度势函数和流函数,一、速度势函数,在无旋流动中，任一流体微团的角速度都为零，即：,或者：,（6-1）,由数学分析可知，式（6-1）三个微分关系式的存在正是 成为某一函数 全微分的充要条件，即：,6,（6-2）,而当 t 为参变量时，函数 的全微分为：,（6-3）,比较式（6-2）和（6-3）得：,（6-4）,速度势函数。,由式（6-4）可知，当流动有势时，流体力学的问题将会得到很大简化，只要求出 ，即可求出速度分布，再根据能量方程进而求出流场中的压强分布。,7,势函数 有下列特点：,1、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影,设任意曲线S上一点M(x,y,z)处的速度分量为Vx, Vy, Vz，则取速度势的方向导数：,其中：,将以上关系式代入方向导数式中，则得：,8,（6-5）,式（6-5）表明：速度势函数沿任意方向取偏导数之值等于该方向上的速度分量。,2、存在势函数的流动一定是无旋流动,设某一流动存在势函数，其流动的角速度分量为：,同理：,所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。,9,3、等势面与流线正交,在任意瞬时，速度势函数取相同值的那些点构成流动空间的一个连续曲面，叫等势面。过等势面上一点A并在该面上任取一微元矢量 ，求它与该点速度矢量 的标量积：,上式说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。又因为速度矢量与流线平行，所以等势面与流线正交。,10,4、对于不可压缩流体，势函数是调和函数,不可压缩流体的连续方程为：,对于有势流动：,（6-8）,式（6-8）说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数，必满足拉普拉斯（Laplace）方程。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，其解具有可叠加性。,11,拉普拉斯方程实质上是连续方程的一种特殊形式。这样，求解有势流动的问题，归结为求解满足一定边界条件的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程为二阶线性偏微分方程，已有多种成熟的求解方法。求解这一方程，比用求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程来确定 要简单得多。,12,例6-1：有一个速度大小为V（定值），沿X轴方向均匀流动，求其速度势函数。 解：首先判断流动是否有势：,流动无旋，故为有势流动。,（1）,（3）,（2）,13,由（1）式积分可得：,由（2）和（3）式确定 ，则：,令C=0（这对 所代表的流场无影响） 故有：,14,在平面流动中，不可压缩流体的连续方程为：,二、流函数,上式可写成：,（6-9）,由数学分析可知，式（6-9）正是 成为某一函数 全微分的充分必要条件，即,（6-10）,15,当 t 为参变量时，函数 的全微分为：,（6-11）,对比（6-10）和（6-11）两式得：,（6-12）,符合上式条件的函数 称为二维不可压缩流场的流函数。不可压缩流体的平面流动，无论其是无旋流动还是有旋流动，以及流体有、无粘性，均存在流函数，可见流函数比速度势更具普遍性。,16,流函数 有下列特点：,1等流函数线是流线 即沿同一条流线，流函数值为常数。,等流函数线上， 常数 ，即,由此得：,这就是流线方程！,将,代入上式,17,即,所以沿着流线：,因此找到流函数 后，不但可以知道流场中各点的速度，而且可以绘制流线，更加直观地表达流场。,2两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚度的流体流量,如图所示，在流函数值为 的两条流线间任作一曲线AB，ds为AB线上的微元线段，过微元线段处的速度为 ，则通过ds的单位厚度流量为:,18,沿AB线段积分，可得通过AB的流量：,由于沿流线流函数值为常数，所以有：,（6-13）,即平面流动中，通过任意两条流线间单位厚度的流量，等于这两条流线上的流函数值之差。 同时，流经任意柱面AB（单位厚度）的流量只取决于A、B处的流函数值，而与曲线AB的形状无关。,19,3、在有势流动中，流函数也是调和函数,对于平面有势流动有:,将,代入上式,得:,所以在平面有势流动中，流函数也是调和函数，也满足拉普拉斯方程。这样，解平面有势流动问题也可变为解满足一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。,20,例6-2：设某一平面流动的流函数： 试求该流动的速度分量，并求通过点 和点 的连接线AB的流量 。 解：,即流场中所有各点处的速度大小相等，方向相同。,21,通过AB的流量应等于A与B两点处的流函数的差，即,即通过AB连线的流量为零。 实际AB在同一条流线上。,22,在平面有势流动中，同时存在流函数和速度势，有：,三、流函数和势函数的关系,两式交叉相乘得到：,这是等势线簇 和流线簇 相互正交的条件。因此，在平面有势流场中，流线簇和等势线簇组成正交网格，称为流网。工程实际中，可利用绘制流网的方法，求解势流流速场。在计算流体力学中，也常利用流网概念构建计算网格。,1、等流函数线簇与等势线簇正交,23,2、柯西黎曼条件,3、流函数与势函数均为调和函数,在平面流动中，有时用极坐标 比用直角坐标更为方便。在极坐标系中，速度势 、流函数 与流速 的关系为：,显然，流网的正交性与坐标系的选取无关。,24,例6-3：某定常平面流动为： 求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。 解：（1）检验该流动是否满足平面运动的连续方程,可见，该流动满足平面运动的连续方程，存在流函数：,积分得：,所以流线方程为：,25,（2）检验流动是否无旋,可见，该流动是无旋的，存在势函数：,积分得：,所以等势线方程为：,26,作业：,6-1 6-3,27,第三节 复势与复速度,由前面的内容已知，势函数和流函数均为调和函数，且它们之间满足柯西黎曼条件：,即势函数和流函数是互为共轭的调和函数，其解可用叠加的方法求解，即,现将平面势流的速度势函数作为某一复变函数的实部，把流函数作为虚部，即,（6-18）,28,则 必为一解析的复变函数，称此 为该平面势流的复势。此时自变量为：,对于极坐标：,其中：,反之，若有一个复变函数是解析的，即其实部与虚部满足柯西黎曼条件，则其实部代表某一理论上存在的平面势流的速度势函数，而其虚部则代表那个流动的流函数。,29,若已知平面势流的复势，则流场中任意点处的速度就可求出。 根据复变函数求导公式：,即：,V称为复速度，其意义是复势的导数的实部为流速的X轴（实轴）分量，而其虚部则为流速的Y轴（虚轴）分量的负值。,复速度的模等于速度的绝对值：,30,根据复数的表示方法，复速度也可表示为：,取W的共轭，则有：,故在速度复平面上， 是 关于实轴的反影。,31,所以根据共轭复变数的运算方法可以简便地求出流场中任一点的速度。 对于平面无旋流动，只要求出流场的复势或复速度，即可求出速度场。,32,第四节 几种基本的平面势流,一、均匀流,流体作等速直线运动，流场中各点的速度大小相等、方向相同的流动称为均匀流。,设均匀流与X轴平行，速度为 ，则：,由于,故,33,对上式进行积分得：,上式中积分常数对流动没有影响，可以舍去，所以有：,故均匀流的等势线为一簇平行于Y轴的直线，流线是一簇平行于X轴的直线。 均匀流的复势为：,34,二、点源和点汇,流体从一点径向均匀地呈直线向外流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。如果流体径向直线均匀地流向一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。,35,由于流动是径向的，根据流动连续原理，在极坐标中通过任一圆柱面的流量（也称为点源或点汇的强度）都相等，即,所以有：,式中 是点源或点汇流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度。点源取正号，点汇取负号。,由于,36,积分上式，并令积分常数为零，得到：,这就是点源和点汇的速度势和流函数。 点源和点汇的复势为：,37,当 时，得到等势线为半径不同的同心圆； 当 时，得到流线为通过原点极角不同的射线，等势线与流线正交。当 时， ，源点或汇点称为流动的奇点。在该点处的流动没有意义，必须排除在所考虑的流场之外。,38,若源点和汇点的位置不在原点，则其复势应为：,点源和点汇的复势为：,39,三、点涡,流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径 成反比的流动称为点涡，又称为自由涡。除涡线本身外为无旋流动。,40,设点涡的强度为 ，则任一半径 处流体的速度由斯托克斯定理可求得：,于是有：,所以原点处有旋无势，中心处为固体涡： 其它处为自由涡，速度分布为： 点涡所感生的流体运动，除点涡本身外，均为无旋有势流动，而涡点本身是这个流动中的奇点。,41,积分上式，并令积分常数为零，得到：,这就是点涡的速度势和流函数。,由于,42,点涡的复势为：,若涡点的位置不在原点，则其复势应为：,对应于涡的逆时针方向！,43,当 时，得到等势线为通过原点极角不同的射线； 当 时，得到流线为半径不同的同心圆，等势线与流线正交。,44,例6-4：距台风中心8000米处的风速为13.33m/s，气压表读数为98200Pa，试求距台风中心800米处的风速和风压，假定流场为自由涡诱导流动。 解：自由涡的强度是：,由伯努利方程可得：,即,则r=800m处的速度为:,45,第五节 势流的叠加,一、势流叠加原理,由于拉普拉斯方程是线性方程，故几个满足该方程的速度势或流函数，线性叠加后得到的新的速度势和流函数，仍满足拉普拉斯方程。,设有两个平面无旋流动的势流，其速度势分别为,它们线性叠加后的新的速度势为：,由于速度势 均满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，所以叠加后的速度势函数 仍满足拉普拉斯方程，即,46,同样，叠加后的流函数 仍满足拉普拉斯方程，即,将速度势函数 对X轴取偏导数，得：,即：,同样，将速度势函数 对Y轴取偏导数，得：,所以叠加后的流速为：,47,设流场中存在几个势流，它们的复势分别为：,势流的叠加原理：叠加两个或更多的势流时，叠加后的流动仍然是势流，合成流动的复势为分流动复势的代数和。 势流的叠加原理为用解析法求解某些较复杂的势流问题，提供了一个有效的途径。 研究势流叠加原理的意义在于，将复杂的势流分解成一些简单势流，将求得的这些简单流动的解叠加起来，就得到复杂流动的解。,则合成流动的复势为：,48,二、点汇和点涡叠加的流动-旋涡流,若点源和点涡同置于坐标原点，叠加后组成一新的流场，其合成流动的复势为：,其速度势和流函数为：,49,等势线：,流线：,流线和等势线是相互正交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。 离心式水泵和风机蜗壳内的流动就类似于点源和点汇叠加得到的螺旋流。,50,三、点源和点汇叠加的流动-偶极子流,点源位于点A(-a,0)，点汇位于点B(a,0)，则叠加后流动的复势为：,若源和汇的强度相等，即,则：,如果源和汇无限接近，即 若强度不变，则汇将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。,51,若在 2a 逐渐缩小时，强度q 逐渐增大，当 2a 减小到零时，q 增大到无穷大，使得 取有限值， 这种极限状态下的流动称为偶积子流。M为偶极矩，这是一个向量，方向从点源到点汇。,52,下面求偶极子的复势:,或,53,将其实部和虚部分开后可得偶极子流动的势函数和流函数的表达式:,1、等势线,令,将 代入上式：,54,整理得：,表明等势线是一族圆心在X轴上，并与Y轴在原点相切的圆周族，如图中虚线所示。,2、流线,令,将 代入上式：,55,整理得：,可见，流线是一族圆心在Y轴上， 并与X轴在原点相切的圆周族， 如图中实线所示。,56,作业：,6-4 6-6,57,第六节 圆柱体绕流,假设流动为理想不可压缩流体的定常无旋流动。 理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题，其中均匀流绕圆柱流动是最基本的问题之一。,设有一速度为 的均匀流，从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为 的无限长圆柱体，这一流动可看作平面流动。,下面将圆柱体绕流分两种情况进行讨论。,58,一、圆柱无环量绕流,圆柱体无环量绕流是由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动，如图所示。,1、速度势和流函数,若均匀流的速度为 ，沿X轴正向流动，偶极子流的偶极矩为M，二者叠加后的复势为：,M为偶极子流的偶极矩。,59,将上式实部和虚部分开后，可得圆柱体无环量绕流的速度势和流函数为：,60,将流函数 的流线称为零流线，由上式得：,或,即零流线方程为：,或,可见，零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为 的圆周和X轴。,由于流体不能穿过流线，零流线的圆可以代之以圆柱面。,61,因此，一个均匀流绕过半径为 的圆柱体的平面流动，可以用这个均匀流与偶极子流叠加而成的组合流动来代替。 所以，均匀流绕过圆柱体无环量的平面流动的速度势和流函数可写成：,复势为：,上面表达式中 ，因为 在圆柱体内，没有实际意义。,62,2、速度分布,流场中任一点 的速度分量为：,表明流体在无穷远处变为均匀流。,63,在极坐标系中，速度分量为：,沿包围圆柱体的任意周线的速度环量为：,所以均匀流与偶极子流叠加得到的流动为圆柱体无环量绕流流动。,64,柱面上 速度分布：,直角坐标系下，柱面上的速度分布：,65,这说明，沿圆柱体表面流体只有切线方向的速度，没有径向速度，即组合流动紧贴圆柱表面，既没有流体穿入，也没有脱离圆柱面。,柱面上速度分布：,或,在圆柱面上速度是按照正弦规律分布的。在 （B点）和 （A点）处， ，A、B二点是分流点，称它们为前驻点和后驻点。,在圆柱面的上下顶点， ，达到圆柱面速度的最大值。,66,3、柱面压力分布,列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，可得：,将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布：,工程上常采用压强系数来表示圆柱体上任一点处的压强，其定义为：,67,由上式知，无量纲压强系数与圆柱体的半径和无穷远处的速度、压强无关，仅是坐标 的函数。具有这样特性的压强系数，也可以推广到其他形状的物体（例如叶片的叶型等）。,在圆柱面的前驻点 和后驻点 处， ，这时压强具有最大值。在圆柱面的上、下顶点处， ， ，此时压强具有最小值。沿圆柱表面压强系数的分布如图所示。,68,4、柱面所受合力,从图中可看出，圆柱面上的压力分布对称X轴和Y轴，因此，流体在圆柱面上的合力等于零。将圆柱面上的压力在圆柱面上积分，也可得到流体作用在圆柱体上的合力为零,流体作用在圆柱体上的总压力沿X轴和Y轴的分量，即圆柱体受到的与来流方向平行和垂直的作用力，分别称为流体作用在圆柱体上的阻力D和升力L。,69,对于理想流体：,上式表明，理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量的流动中，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力。,这一结论不只适用于圆柱体，同时还可推广到任意剖面形状的柱体绕流问题中去。但出现这种情况的先决条件是流体在绕过物体时不发生脱流现象，即流体不从物体表面分离而形成旋涡。理想流体均匀绕过物体时不受合力的作用，这就是著名的达朗贝尔疑题。,70,在实际流体中，由于粘性的作用，流体绕过圆柱时必然产生摩擦，且流动要发生分离，流动图形与理想流体绕流截然不同，实验测量出的与理论计算出的压强分布曲线有很大的差别，如图中虚线所示。因此，圆柱体在实际流动中的绕流将产生阻力。圆柱表面的速度分布与压力分布不再关于Y轴对称了。,71,例6-5：如图所示，有一个半径为 的圆柱体被无穷远速度 的均匀来流绕过。现从圆柱表面上开两个测压孔A和B，其位置为 ，从两测压孔分别接出测压管到水银差压计。 如果流体的密度 ， 水银的密度,试求： （1）差压计中的液柱差 （2）差压计中哪只测压管中的液柱的液面较低？,72,解：差压计液面差可根据静力学原理如下计算：,根据圆柱无环量绕流时表面压力分布的公式可知：,73,74,例6-6：一半径 的圆柱置于水流中，中心位于原点(0,0)，在无穷远处有一平行于X轴的均匀流，方向沿X轴正方向， 试求点(-2,1.5) 处的速度分量。,75,解：此问题属于圆柱绕流问题，按照速度分布公式，有 ：,坐标变换,