双椭球热源模型热流分布参数取值的误差分析.doc

精品论文大全双椭球热源模型热流分布参数取值的误差分析郑振太1,2， 单平1， 胡绳荪1， 罗震1（1天津大学 材料科学与工程学院，天津 300072；2河北工业大学 材料科学与工程学院，天津 300130）Email：zzt_00yahoo.com.cn 摘要：为了分析双椭球热源模型在取不同的热流分布参数值时的最大热流密度误差，从标准的 Goldak 双椭 球热源模型出发，推导出了双椭球热源模型的一般表达式。在此基础上，对最大热流密度进行了误差分析。结果表明，为了保证焊接数值模拟结果的准确性，双椭球热源模型的热流分布参数不宜取小于 5 的值。关键词：双椭球热源模型；数值模拟；热流分布参数；最大热流密度中图分类号：TG402文献标识码：A60 序言根据目前焊接工作者的实践和共识，所谓的焊 接热源模型，可以认为是对作用于焊件上的、在时 间域和空间域上的热输入分布特点的一种数学表 达。目前为止，用于焊接数值分析中的所有焊接热 源模型大都不随时间而发生变化，也就是在焊接进 行过程中认为热源模型是不发生变化的，即是静态 热源模型。而动态热源模型是随着焊接的进行热输 入是发生变化的。例如，在短路过渡CO2气体保护焊中，电弧有熄灭的过程。此熄灭过程的热流密度分布显然不同于电弧的热流密度分布特点。如果根据 短路过渡CO2气体保护焊这种“短路”的实际工程特 点而建立一个电弧和熔滴热源交替作用的热源模型则显然是一种动态热源模型。每层焊接时的热流分布条件的不同，应采用不同的热源模型参数，即宜采用动态热源模型。 目前，Goldak 的双椭球热源模型在焊接数值模拟中得到大量应用。由于多层多道焊需采用不同的 热源模型参数，因此下面将在推导双椭球热源模型 一般式的基础上，对不同热流分布参数的取值进行 误差分析，以便指导热流分布参数的具体取值。1 双椭球热源模型的一般式11 标准的 Goldak 模型标准的Goldak双椭球热源模型如图 1 所示。可 见，是由前后 2 个四分之一的椭球组成，具体的数 学表达式为2：模型前半部分椭球的体热流密度分布为：建立一个静态热源模型需要两个要素，即“以6 3 f q3x2a3y2b3z2q(x, y, z) =f 0 exp()（1）c何种空间形式分布”和“以何种分布模式分布”。而abcf 222f动态热源模型还需要确定上述两要素中的一个或两个要素随时间变化的规律，即“时间”要素。可见，模型后半部分椭球的体热流密度分布为：6 3 f q 3x23y23z2 b 0 就静态热源而言，在总输入热量一定的情况下，因q(x, y, z) =exp()222（2）为上述两个因素而导致的不同热源模型将对焊件温abcb cbab度场影响巨大。热源模型是否选取适当，对瞬态焊 接温度场的计算精度，特别是在靠近热源的地方， 有很大的影响1。在多层多道焊的数值模拟中，由于式（1）和式（2）中，a、b 、cf、cb为热源形状参数，q0为热输入功率，ff 、fb 为模型前后椭球的能量分 配系数。实际上，即式（1）和式（2）中的“3”即为热流分布参数，表征热流分布的集中程度。律及fffb2，则有3, 4： x2 y 2 z 20.5 f f q0 = qmax f exp()222（4） c fab式中参数含义与式（1）同。因而得到：0.5 f q x2 y 2 z 22f 0 =exp()2b2（5）qmax fc fa其中，积分域 为下式所确定的椭球的四分之一。图 1 双椭球形热源模型示意图+ 1x2y2z 2222（6）1.2 双椭球热源模型的一般式式（1）和（2）可变化为更具有一般性的表达c fab建立广义的球坐标变换如下式：式如下： x = c f sin cos qmax f exp( x22 y 22 z 2)2 y = a sin sin （7）q( x, y, z) = c fab（3） z = b cos qmax b exp( x22 y 22 z 2)2此时立体 转变为 1，而体积元 dxdydz 转变为cbabdxdydz = abc f 2 sin d d d（8）下面分析一下热流分布参数、的取值与qmax之间的关系，以便确定具体的热源模型表达式。 如果以前半部分的椭球为例，根据能量守恒定根据对称原理及积分域为椭球的四分之一区域，因此有：0.5 f f q0 = abc f2d sin dqmax f40 0（9）12 2 2 2 2 2 2 2 20 exp( sin cos sin sin cos )d 式（9）为具有普遍意义的热源模型参数和最大热流密度之间的关系式。设 时，式（9）可简化为f0.5 f f q0 = abc qmax f1 2 exp( 2 )d 01= abc 2 +1 erf fexp( 2 )4 2()（10）) 0= abc f 12 e+4 erf ( 其中 erf 函数为：E()0.002xerf ( x) =e t 2 dt（11）-0.05 0-0.10因此得到最大热流密度为，f f q0-0.15-0.20qmax f=1abc +erf ( ) （12）-0.25f e2 0 5 10 1520忽略式（12）中的1/e项，并且erf函数项近似为1 故得到图 2 双椭球热源模型的不同热流分布参数下的绝对误差2f f q 0还注意到图 2 显示的是负偏差，即近似的结果q ma x f（13）abc f 是使模型的最大热流密度值小于实际值。同理可以得到后半椭球的最大热流密度公式为22 相对误差分析qmax b=1abc fb q0+erf ( ) （14）而由于此误差所导致的热源模型中的热流密度 峰值的相对误差为：b e2 1+erf ( )E = 2 e 2 （17）qmax b2 f qb 0abcb （15）q ()2 当取 3 时，得到标准的 Goldak 双椭球热源模型公式如式（1）和式（2）。2 最大热流密度的误差分析21 绝对误差分析可以看出，由于上述的忽略和近似而引入的绝 对误差为：将其绘图观察则如图 3 所示。60E () / %5040302010E ( ) = 12 e+4 erf ( ) q 4（16）00 5 10 15 20= 1+ (erf ( ) 1)2 e将其绘图观察则如图 2 所示。4 图 3 双椭球热源模型的最大热流密度的相对误差曲线由图 2 可见，随着 取值的增大，误差迅速减 小直至接近 0。还可以看出， 值不宜取得比 3 小。 实际上，当 10 时，误差只取决于式（16）中的 第 1 项。可以看出，从最大热流密度相对误差而言， 的 取值不宜小于 5，如此则可将其相对误差控制在 2 以内。而 取 3 和 4 时的相对误差分别为 11.2和4.6。3 结论根据最大热流密度的误差分析表明， 在使用双 椭球热源模型时，热流分布参数不宜小于 5，此时可 将最大热流密度的相对误差控制在 2以内，在应用 于热流密度比较集中的焊接方法的数值模拟时更是 如此。参考文献：1 汪建华，焊接数值模拟技术及其应用M，上海：上海交通大学出版 社，2003，9242 J. Goldak, A. P. Chakravarti, M. Bibby, A new finite element model for welding heat sourcesJ, Metallurgical Transactions B, 1984, 15B(2): 2993053 张万国，高等数学M，上海：复旦大学出版社，2002，179224 4 谢盛钢，李娟，陈秋桂，微积分M.北京：科学出版社，2005，3940，108148Error analysis of doubel ellipsoidal heat source model's maximal heat flux on heat flow distributing parameter taking the different valuesZheng Zhentai, Shan Ping, Hu Shengsun, Luo ZhenTianjin University, Tianjin (300072)AbstractFor analysing double ellipsoidal heat source models error of maximum heat flux at the heat flowdistributing parameter taking different values, firstly the general expression is derived from standard Goldak double ellipsoidal heat source model. On the basis, the error analysis has carried out on maximal heat flux here. The analysis results indicate , in order to ensuring the accuracy of welding numerical simulating result, the heat flow distributing parameter being inadvisable to take the value being smaller than 5.Keywords: double ellipsoidal heat source model,numerical simulation, heat flow distributing parameter,maximal heat flux作者简介：郑振太，男，1966年5月出生，博士生，副教授，主要研究点焊过程质量控制及 焊接过程数值模拟，已发表论文10几篇。