模糊数学的模糊推理的研究.doc

精品论文推荐模糊数学的模糊推理的研究韩照平 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000） E-mail：hanfeng212121163.com摘要：模糊数学是近代新型的一门学科，它包含很多的方面。如模糊数学，神经网络，遗 传算法，分形几何，混沌理论等等，模糊数学能处理很多各种模糊问题。此篇文章就主要描述了模糊推理的作用，通过模糊关系和模糊矩阵，还有模糊逻辑对于一些事情进行模糊推理和判断。推理在我们日常生活中很是普遍，但是如何能更精确的做出判断就是模糊数学所需 要解决的问题关键词：模糊数学；模糊关系；模糊逻辑；模糊推理1. 引言模糊数学又称 Fuzzy 数学。“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词,该词除有模糊意思外,还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译为“乏晰”等。在此将 Fuzzy 译为模糊,或直接采用原文。 美国加里福尼亚大学著名控制理论专家扎德(L.A.Zadeh ，1912)教授仔细地研究了这个问题, 1965 年, Zadeh 教授发表了模糊集合论论文,这门新的学科需速发展起来，在我国 把这门学科称为模糊数学。模糊数学是研究和处理自然界和信息技术中广泛存在的模糊现象的数学，它的产生反应 了信息革命的迫切需要，也为信息科学提供了一种新的有力的数学工具。30 多年来，模糊 数学从理论到应用,从软件技术到硬件技术都得到了飞跃性的发展已在人工智能，信息处理 等众多领域的都获得了广泛的应用，人们认为它是智能数学的雏形。2. 模糊矩阵与模糊关系模糊关系在模糊集合论中占有重要的地位，而当论域为有限时，可以用模糊矩阵来表示 模糊关系。模糊矩阵可以看作普通关系矩阵的推广。2.1 模糊矩阵（1） 模糊矩阵的定义及其运算 模糊矩阵如果对任意的 i n 及 j m ，都有 rij 0,1 ，则称 R = (rij ) n×m 为模糊矩阵。通常以µ m×n 表示全体 n 行 m 列的模糊矩阵。模糊矩阵的并、交及补的运算对任意 R 、 S µ n×m ， R = (rij ) n×m ， S = (sij ) n×m ，则R U S = (rij sij ) n×mR I S = (rij sij ) n×m-5-ijR c = (1 r) n×m分别称以上三式为模糊矩阵 R 和 S 得并、交运算，及模糊矩阵 R 的求补运算。（2） 模糊矩阵合成运算1）结合律(Q o R) o S = Q o (R o S )2） (Q U R) o S = (Q o S ) U (R o S )注意：对于“交”运算，不满足上述分配律，即S o (Q U R) = (S o Q) U (S o R)(Q I R) o S (Q o S ) I (R o S )S o (Q I R) (S o Q) I (S o R)3） O o R = R o O ； I o R = R o I = R其中 O 为零矩阵， I 为单位矩阵。4）若 Q R ，则 Q o S R o S ， S o Q S o R5）若 Q1 Q2 ， R1 R2 ，则 Q1 o R1 Q2 o R2须特别指出的事，模糊矩阵的合成运算不满足交换律（可以自行验证），即Q o R R o Q（3） 模糊矩阵的转置 模糊矩阵的转置矩阵同普通矩阵的转置矩阵的概念是相同的，即把相应的行变为列，列变为行即可得到转置矩阵。其性质类同于普通矩阵。2.2 模糊关系（1） 模糊关系的定义设 X 、Y 是两个非空集合，则直积X × Y = ( x, y) x X , y Y 中的一个模糊子集 R 称为从 X 到Y 的一个模糊关系。模糊关系 R 由其隶属函数µ R : X × Y 0,1完全刻划。序偶 ( x, y) 的隶属度为 µ R ( x, y) ，它表明了 ( x, y) 具有关系 R 的程度。上述定义的模糊关系，又称二元模糊关系，当 X = Y 时，称为 X 上的模糊关系 R 。当论域为 n 个集合的直积时，它所对应的为 n 元模糊关系 R 。X 1 × X 2 × L X n（2） 模糊关系的运算设 R 、 S 是 X × Y 上的模糊关系，则定义一下模糊关系的并、交、包含、相等、补等运算。1） 并： RU S µ R ( x, y), µ S ( x, y)( x, y) X × Y2） 交： RI S µ R ( x, y), µ S ( x, y)( x, y) X × Y3） 包含： R S µ R ( x, y) µ S ( x, y)( x, y) X × Y则称 O 为 X × Y 上的零关系。4） 全称关系：若给定 X × Y 上的模糊关系 E 满足E µ E ( x, y) = 1，( x, y) X × Y即用模糊矩阵的合成 Q o R = S 来表示模糊关系的合成 Qo R = S 。3. 模糊逻辑与模糊推理人类自然语言具有模糊性，能正确的识别和判断。计算机对模糊性却缺乏识别和判断能力，为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数 学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。3.1 模糊语言把具有模糊概念的语言称为模糊语言， 众所周知,任何一种语言都是以一定的符号来代 表一定的意思，这种符号被称为文字，简称为“字”，语言中“字”和“义”的对应关系称为语义。 当我们以颜色为语言主题时，即论域U 为颜色，而表示颜色这一类单词就构成一个集合T 。语义通过从T 到U 的对应关系 N 来表达，通常 N 是一个模糊关系，对任意固定的 a T ，记N (a, u) = µ A (u)它是一个模糊子集，也可记为 A(u) 。单词 a 对应于U 的这个模糊子集，用与 a 相对应的大字母 A 表示这个集合。当 A = A 时，则集合为普通集合，单词 a 的意义是明确的，否则称为模糊的。N 是集合T 对论域U 的模糊关系，设 µ N : T × U 0,1 为 N (a, u) 的隶属函数，它具有两个变量，其中， a T , u U 。 µ N (a, u) 表示属于T 的单词 a 与属于U 的对象 u 之间关系的程度。 在自然语言中有一些词可以表达语气的肯定程度，如“非常”“狠”“极”等；也有一类词，如“大概”、“近似于”等，置于某个词前面，使该词意义变为模糊；还有些词，如“偏向”“倾 向于”等可使词义由模糊变为肯定。下面着重介绍一下语气算子，语气算子定义如下(H A)(u) A(u) 其中 A(u) 为论域U 的一个模糊子集， H 称为语气算子， 为一正实数。如论域U 为年龄，而 A(u) 表示单词老，那么随着 取不同值，就可以表示出“年老”的程度。当 > 1 时，H 称为集中化算子，它能加强语气的肯定程度。我们不妨称 H 5 为“相4当”， H 2 为“很”， H 4 为“极”，则00 u 6055年龄很大(u) = ( HA)(u) = A(u)4= )1 + (u 502 2 60 < u 12045当 < 1时，H 称为散漫化算子，它可以适当地减弱语气的肯定程度。如可称 H 1 为14“微”， H 1 为“略”， H 3 为“比较”。241自然语言中的一些词可以数量化，如胖，瘦，长，短，高，矮等以及加上语言算子派生 出来的词汇，如很胖、偏瘦、极长、倾向短、不高也不矮， 都称为语言值，它们都是 以实数域或其子集为论域的词汇。此外，如可能、很可能、不大可能等也都是语言值。如果在论域U = 1,2,3,.,12上定义 大、小的语言值，则它们分别为1大= 0.2 6+ 0.4 7+ 0.6 8+ 0.8 9+ 10+ 11+ 121小 = 1+ 0.82+ 0.63+ 0.44+ 0.25+ 0.16那么根据前面介绍的语言算子，则有不大也不小 = 大c 小c= 0.2 2 + 0.4 3 + 0.6 4 + 0.6 5 + 0.4 6 + 0.2 721很小 = H 小 =1 + 0.64 2 + 0.36 3 + 0.16 4 + 0.04 5上面对模糊语言做了初步介绍，目前模糊语言方面的研究还很不成熟，语言学家正在深 入研究。模糊命题人们把具有模糊概念的陈述句称为模糊命题,一个模糊命题用英文字母下面加波浪“”表示。 模糊命题比二值逻辑中的命题更能符合人脑的思维，它是普通命题的推广，反映了真或假的程度。因此仿照模糊集合中的隶属函数的形式，将模糊命题的真值推广到 0,1区间上去连续值。模糊命题 P 的真值记作V (P) = x0 x 1显然，当 x = 1时表示 P 完全真； x = 0 时，表示 P 完全假。介于 0、1 之间时，表征 P真的程度。 x 越接近于 1，表明真的程度越大； x 越接近于 0，表明真的程度越小，即假的 程度越大。3.2 模糊推理(1) 判断与推理 判断和推理是思维形式的一种，判断是概念与概念的联合，而推理则是判断与判断的联合。直言判断句的句型为“ u 是 a ”，是表示论域中的任何一个特定对象，称 u 为语言变元； a 为表示概念的一个词或词组。这种判断句记作 (a) 。如果 a 的外延是清晰的，则 a 所对应 的集合为普通集合， a 称 (a) 是普通的判断句。如果 u A ，称“ u 是 a ”的判断为真，把 A 称为 (a) 的真域；如果 u A ，称“ u 是 a ”的判断为假。 不难看出(a)对u真 u A ， 当“ u 是 a ”的判断没有绝对的真假时，将 u对 A 的隶属度定义为 (a) 对 u 的真值。“若 u 是 a ，则 u 是 b ”型的判断句称为推理句，简记为“ (a) (b) ”。(2) 模糊推理句模糊推理句同模糊判断句一样，不能给出绝对的真与不真，只能给出真的程度。类似 于普通推理句，模糊推理句真值定义如下“ (a) (b) ”对 u 的真值 (a) (b)(u)( A B) c (u) = (1 A(u) (1 B(u)由于有 A B = AI B c ，故可得-7-( A B) c = ( A I B c ) = Ac U B于是有 (a) (b)(u) = (1 A(u) B(u)(3) 模糊推理在应用模糊集合论对模糊命题进行模糊推理时，应用模糊关系表示模糊条件句，将推 理的判断过程转化为对隶属度的合成及演算过程。设 A 和 B 分别为 X 和Y 上的模糊集，他们的隶属函数分别为 µ A ( x) 和 µ B ( x) ，词 a 和b 分别用 X 和Y 上的子集 A 、 B 描述，模糊推理句“ (a) (b) ”可表示为从 X 到Y 的一个模糊关系，它是 X × Y 的一个模糊子集，记为 A B ，它的隶属函数定义为µ A B ( x, y) µ A ( x) µ B ( y) 1 µ A ( x) (4) 模糊条件语句及其推理规则 模糊条件语句是一种模糊推理，它的一般句型为“若则否则”。模糊条件语句在模糊自动控制中占有重要地位，因为模糊控制是有许多条件语句所组成。“若 a 则 b 否则 c ”这样的模糊条件语句，可以表示为(a b) (a c c)( A B) ( Ac C ) 实际上也是 X × Y 的一个模糊子集 R ，因此它也是一种模糊关系，模糊关系 R 中的各元素根据下式计算µ ( A B ) ( Ac C )( x, y) = µ a ( x) µ B ( y) (1 µ A ( x) µ C ( y)采用模糊向量的笛卡尔乘积的形式，上式可表示为R = ( A× B) ( AC × C )推理规则的合成规则可与叙述如下：如果 R 是 X 到Y 的一个模糊子集，且 A 是 X 上的一个模糊子集，则由 A 和 R 所推得的模糊子集为Y = Ao R下面通过具体例子来说明如何从模糊条件语句进行模糊推理。例 1一个很深的淡水湖，我们要对它下面进行搜索，但是水压很大，如果到到水底的距离很小，那么水压就会很大，否则的话就是很小设 x 表示到水底的距离， y 表示水压，则上述问题可表述为“若 x 低则 y 高，否则不 很高。”如果 x 很低，试问 y 如何？设定论域 X= Y = 1 ,2 ,3 ,4 ,5为了便于计算，将模糊子集写成向量形式A = (1 , 0.8 , 0.6 , 0.4 , 0.2)B = (0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 , 1)C = (0.96 , 0.84 , 0.64 , 0.36 , 0)A1 = (1 , 0.64 , 0.36 , 0.16 , 0.04)模糊条件语句可写为若x低则y高，否则y不很高 = (A× B) (Ac × C )= (1,0.8,0.6,0.4,0.2) × (0.2,0.4,0.6,0.8,1) (0,0.2,0.4,0.6,0.8) × (0.96,0.84,0.64,0.36,0)= (1,0.8,0.6,0.4,0.2)T o (0.2,0.4,0.6,0.8,1) (0,0.2,0.4,0.6,0.8)T o (0.96,0.84,0.64,0.36,0)0.20.20.40.40.60.60.80.81 0.8 00.200.200.20000.2= 0.20.40.60.60.6 0.40.40.40.3600.20.20.20.20.40.20.40.40.40.20.60.60.40.20.80.80.40.21 0.80.60.80.60.80.60.6400.360.360= 0.40.40.60.60.6 = R0.60.80.60.80.60.640.40.360.40.2由上式的模糊推理的合成规则可得y = A1 o R= (1,0.64,0.36,0.16,0.04) o0.20.40.60.81 0.20.40.60.80.80.4 0.40.60.60.6 0.60.60.60.40.40.80.640.360.2= (0.36,0.4,0.6,0.8,1)由此可得出 y 的模糊集为y = 0.36 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 112345计算结果表明“ y 跟高差不多”，或说“近似于高”。目前，模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。4. 结论模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的，这种不确定性是由于其概念的外延不明 确而造成的，在这点上与概率论是严格区分开的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物 的需要，Zadeh 的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究 确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足 之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概 率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊 决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控 制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不 少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986 年日本山川 烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是 1000 万次/秒。1988 年，我国汪培庄教授 指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机分立元件样机，它的推理速度为 1500 万次/ 秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。模糊数学理论还远没有成 熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。参考文献1 郭嗣宗，陈刚.信息科学中的软计算方法.东北大学出版社.20012 郭嗣宗，综合决策中的适度分析法.阜新矿业学院学报,1987.(2).12-17 3 葛苏林.模糊子集 模糊关系 模糊映射.北京师范大学出版社.19854 汪培庄.模糊集合论及其应用.上海科学技术出版社5 陈世权.模糊决策分析.贵州科学技术出版社.19906 刘锡荟.模糊数学及计算机应用.中国科学院研究生院讲义.2001Fuzzy Fuzzy Reasoning ResearchHan zhaopingLiaoning Engineering Technology University College, Fuxin, Liaoning (123000)AbstractFuzzy math is a new type of modern science, it contains a lot of respect. Such as fuzzy mathematics, neural networks, genetic algorithms, fractal geometry, chaos theory and so on, a lot of fuzzy math todeal with all kinds of fuzzy issue. This article describes the main role of fuzzy reasoning, fuzzy and fuzzy matrix, there are some things fuzzy logic fuzzy reasoning and judgments. Reasoning in our dailylife is very common, but how can we make more precise judgments is the fuzzy math problems.Keywords: fuzzy math; fuzzy relationship; fuzzy logic; fuzzy reasoning