高墩稳定分析的精细传递矩阵法.doc

精品论文高墩稳定分析的精细传递矩阵法尹俊红，李青宁（西安建筑科技大学土木工程学院，西安 710055）5摘要：本文将精细传递矩阵法运用于对高墩的稳定性分析中，精细传递矩阵法是将高精度的 精细积分法和力学概念清晰的传递矩阵法结合起来，以微分方程和矩阵分析理论为基础，推导结构传递矩阵的方法。采用精细传递矩阵法，得到高墩的临界荷载，比较了本文方法与ANSYS 的计算结果，验证了本方法的准确性和有效性。并针对动力稳定性分析，提出将精10细传递矩阵法与振型分解反应谱法相结合，以推导高墩在动力作用下的动力反应传递矩阵， 并根据动力失稳判别准则确定了高墩的动力临界荷载。通过数值算例证明提出的方法力学概念清晰、计算快捷、能很好的反映高墩的力学传递特征，该理论适宜于工程实际应用。关键词：高墩；稳定性；精细传递矩阵法；动力反应传递中图分类号：U441；U448.4215Precise Transfer Matrix Method for Stability Analysis ofHigh PierYIN Junhong, LI Qingning(Civil engineering School，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055)20Abstract: In this paper，the precise transfer matrix method was used in the stability analysis of high pier，which combines the high-precision integration with the clear concept of transfer matrixmethod，based on the theory of differential equations and matrix analysis，and the transfer matrixof structure was got.The critical load ofhigh pier was got with precise transfer matrix method.Comparing the method and ANSYS calculation ， result shows the accuracy and25effectiveness of the method.And in the light of the dynamic stability analysis，put forward thatcombined with precise transfer matrix method and vibration mode decomposition response spectrum method，then the transfer matrix of dynamic response for high pier under dynamic actionwas deduced.And according to the dynamic instability criterion of high pier for dynamic stability analysis，dynamic critical load of high pier was got.The example shows mechanics concepts was30clear、calculation was fast and mechanical transmission characteristics was reflect well.The theoryis suitable for engineering application.Key words: high pier;stability;precise transfer matrix method; dynamic reaction transfer0引言35桥墩承受着由相邻两跨上部结构所传递的水平力和竖向力，是桥梁结构的关键部位1。 在一些地区由于地势需要，且随着桥梁技术的进步和施工工艺的不断革新，这些地区往往选 择采用高桥墩，使用高桥墩能使桥型更为经济合理和美观。桥墩是长细比较大的结构，由于 现代工程材料的革新，强度问题目前已经可以满足要求，而其稳定问题则成为主要值得探讨 和研究的课题2。当高墩发生失稳破坏时，不仅墩身发生破坏，桥梁上部结构势必受到威胁40和损坏。所以，对高墩进行稳定性分析是极有必要的。目前现有的分析高墩问题的方法计算 结果不能很好反映结构性能和状态的传递特征。本文采用精细传递矩阵法3 4对高墩稳定性基金项目：国家自然科学基金(51078306)；高等学校博士学科点专项科研基金(20106120110004)；高等陕西 省教育厅专项科研计划项目(12JK0916) 作者简介：尹俊红（1986），女，博士研究生，桥梁病害机理与灾变预测 通信联系人：李青宁（1952），男，教授，博导，主要从事桥梁工程结构分析及抗震研究. E-mail:lqn952163.com- 10 -进行分析，并通过算例验证了该方法的准确性与可靠性。该方法无需对微分方程进行求解，只需按照迭代公式进行计算，就可以得到所需要的传递矩阵，简便快捷。整个精细传递矩阵 格式的维数只取决于状态向量的个数，计算精度仅取决于指数矩阵的计算精度5。451静力稳定性1.1精细传递矩阵法的基本原理和公式建立平面坐标系。采用小挠度理论，将高墩简化为平面受压杆系结构，见图 1。1.1.1 应变和位移关系取高墩微段进行分析，由位移引起的转角为：50q = dndy（1）PM +dMPQ +dQdyQy Px P M图 1 高墩与取出的微元体Fig. 1 high pier and micro section挠曲率为：d 2n55k = （2）dy 21.1.2 力和位移关系弯矩和曲率间的关系为：M = -EIk（3）1.1.3 微元体平衡方程60ì dMïï dyí= Q + Pq（4）ïdQ = 0îïdy1.2高墩的静力精细传递矩阵与求解令状态向量6 S = n，q，M，Q,1T ，式（1）式（4）可表示为如下形式7：dS = BSdyé01000ùêú（5）ê00- 1B = êEI0 0úú（6）ê0P0 1 0úê úê0 0 0 0 0úë ûê0 0 0 0 0ú65式(5)的一般解为:S = e SBy( y)0（7）将高墩总长离散成步长为 Dy 的距离间隔，则任一位移 yk = k Dy ， yk +1 = yk + Dy 。根据式(7)得到 S（y k +1）和 S （y k）的转换关系：S（y k +1）= T（iDy）S （y k）（8）i70式中，T (Dy) = eBDy 为指数矩阵。根据精细积分法，有T（i Dy）= eBDy（B Dy ）2N= e 2NBt 2N=（e ）（9）Dy75式中，t =N2一般 N 取 20。为了避免舍入操作时精细积分法的精度损失，指数矩阵的计算分为两步进行8。1 将指数矩阵 eBt 展开为泰勒级数BtTi (t ) = e= I + Ti 0（10）（Bt）2（Bt）LTi 0 = Bt + L +2！（11）L！80式中， L 表示截断数。2通过下列格式Tij = 2Tj -1 + Tj -1 ×Tj -1 （ j = 1, 2,L N ）（12）计算得到TiN ，可得到单元场传递矩阵：Ti = I + TiN（13）85高墩离散成 n 个单元段，则结构的总传递关系为：Sn = TnTn-1 LT1S0 = US0（14）高墩任意截面有 4 个状态向量，边界处必有 2 个状态向量为 0，将边界条件引入式（14），求解特征值方程 f (P) = 0 ，即可得高墩稳定临界荷载 P 。高墩的重力对其稳定性 的影响往往不可忽略，临界荷载经过如下公式修正9：90P0 = P - 0.3133qL （15）2动力稳定性2.1高墩动力特性分析如图 1 所示坐标系，取一微段 dy ，其截面上有 6 个状态向量，即：轴位移 u ，横向位 移n ，转角q ，弯矩 M ，剪力Q ，轴力 P 。95结构横向和竖向受到的惯性力为:2 ）F = mAdy dn（x，tx dt 2= -mAw 2n dy（16）2 ）F = mAdy du（x，ty dt 2= -mAw 2udy（17）微元体的平衡方程整理可得ì dP = -mAw 2uïï dyï dQ = mAw 2n （18）ïí dyï dMîï dy = Q100由材料力学公式，有：ì du = Pïï dyEAíïdv = qïdy（19）ï dqï=- Mî dyEI令高墩状态向量 S = u,n ,q , M , Q, P，1T 。将式（18）和式（19）整理，并表示成矩阵的形式dS = BSdy（20）êé 0 0 0 0 001 ùEA úê úê 0 0 1 0 0 0 0úê 10 0 0 -ú0 0 0ê ú105B = êEI ú（21）ê 0 0 0 0 1 0 0úê úê 0 mAw 20 0 0 0 0úê-mAw 20 0 0 0 0 0úê úêë0 0 0 0 0 0 0úû式（20）的一般解为S = e SBy( y)0（22）将高墩总长离散成步长为 Dy 的距离间隔，则任一位移 yk = k Dy ， yk +1 = yk + Dy 。根据上述指数矩阵的精细算法就可以得到矩阵T（iDy），从而得到高墩稳定状态传递的单元场110传递矩阵Ti。若高墩分为 n 个单元段，整体传递关系为：Sn = TnTn-1 LT1S0（23）将结构底部和顶部边界条件引入式（23），求解频率方程 f (w) = 0 ，可得结构振动频率w j （ j = 1 n ），然后得底部状态向量 S0 和各截面状态向量。1152.2动力反应传递矩阵由振型分解反应谱法可得 j 振型i 质点的横向地震作用力10为：Fx，ij = aig j X ji Gi（24）式中，a i相应于 j 振型自振周期的地震影响系数，按照规范取值。X jij 振型i 质点的水平相对位移；120g j j 振型的参与系数。令 T T , T , T ,T , T ,，T 1TB B B B B B B T。考虑i 质Sx，i =uijn ijqijM ijQijPij ，Sx，i = uij ,n ij ,qij , Mij , Qij , Pij ，1点在 j 振型的横向地震作用力，以及顶部施加轴向力 P0 。i 质点的状态向量在地震作用下的 传递关系为：T BSi = TSi（25）125其中，T i 是i 质点在 j 振型在地震作用下的点矩阵。é1000000 ùê0100000 úêúê0010000 úT i = ê0001000 ú（26）êúê000010Fx，ij úêúê000001P0 úê0000001 úëû1302.3高墩动力屈曲分析为求得高墩在动力作用下的临界屈曲荷载，本文以动力失稳判别准则的拟静力准则11 为基础，在线弹性范围内，以静力屈曲荷载作用下的墩顶的位移作为控制因素，当在地震作 用下的墩顶位移达到这个值时，即认为此时桥墩发生失稳。此时对应的荷载值定为高墩的动 力临界荷载。与式（6）相比，系数矩阵可扩展为：êé000001 ù0EA úê úê0 0 1 0 0 0 0úê1000-ú0 0 0ê úB = êEI ú（27）ê00P0ê00 1 0 0úê00000úê0ê000000úú0úêë00 0 0 0 0 0úû然后再利用指数矩阵的精细算法就可得到单元场传递矩阵Ti 。135高墩第 j 阶振型时的总传递矩阵为：Sn = T nTn LT iTi LT1T1S0 = US0（28）轴向力 P0 取按照微小增量逐渐增加的值。根据高墩边界条件可求得结构在地震力作用下 j 振型地震内力和变形 S j ，按振型合:2S =å S j（29）140145150可得地震作用下高墩的变形，绘制n P0 曲线，并以此来判断高墩发生屈曲时的 P0值。3算例某桥墩，高度 H =80m，墩的尺寸为 3*6m，壁厚 0.5m，墩身采用 C55 混凝土，弹性模 量 E = 3.0 ´104 MPa ，G = 1.275 ´104 MPa 。抗震设防烈度为 8 度，类场地，设计地震分 组为第二组。（1）临界荷载计算将高墩分为 8 个单元段，采用精细传递矩阵法，边界条件为一端固接一端自由。计算结 果与大型有限元分析软件 ANSYS 对比，见表 1。可以看出，两种方法计算结果相差很小， 验证了本方法的准确性。表 1 临界荷载值Tab. 1 critical load精细传递矩阵法/ kN有限元法/ kN误差/ %2.87 ´ 1042.886 ´ 1040.55155（2）墩顶最大位移计算由表 1 计算结果代入式（6），运用精细传递矩阵法，编制程序计算得到墩顶最大位移为n = 7.39cm。（3）频率和振型 采用精细传递矩阵法，各结点前五阶自振频率和振型见表 2 和表 3。160165表 2 自振频率Tab. 2 natural frequencyf1/ Hzf 2/Hzf 3/fHzf 4/Hzf 5 /Hz0.3712.326.4511.412.6表 3 前五阶自振振型Tab. 3the fifth order natural vibration mode阶次n 0n 1n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8一阶振型00.344-10.5690.401-0.7260.951-0.103-0.799二阶振型00.06341-0.8470.143-0.0130.222-0.247-0.728三阶振型0-0.102-10.885-0.2520.1070.20.197-0.625四阶振型00.1950.3830.5570.7070.8320.9240.9811五阶振型0-0.111-0.8131-0.160.51-0.1930.343-0.427170175（4）位移与荷载曲线采用 MATLAB 软件，由前五阶振型组合效应，得位移随荷载的变化曲线，见图 2，可以 看出，在荷载值为 2.66´ 104 kN 时，墩顶达到最大位移n = 7.39cm，此时对应的值即为高墩 的临界荷载值。静力与动力临界荷载的关系比较：2.87 ´ 104 kN-2.66 ´ 104 kN=2.1 ´ 103 kN2.872.662.87=73%1804结论图 2 位移荷载曲线Fig. 2 load-deformation curve185（1）精细传递矩阵法推导过程简单，只需写出微分矩阵，根据指数矩阵的精细积分算 法，进行次循环即可得到所需的传递矩阵。本方法算法简单，易于编程，结果正确可靠。（2）根据边界条件，可得到高墩的临界荷载。精细传递矩阵法还可应用于高墩的动力 分析，求解高墩的自振频率和振型。根据动力传递理论和失稳判别准则，可得到高墩的动力 失稳临界荷载。（3）精细传递矩阵法可用于高墩的稳定性分析，适用于实际工程。通过算例显示，高墩动力临界荷载与静力荷载虽然差值不大，设计分析时也宜分析其影响190195200205参考文献 (References)1 康文静.超高墩设计理论研究D.武汉：华中科技大学，2006.2 尹俊红，李青宁.高墩抗震的传递矩阵法J.水利与建筑工程学报，2012，10(4)：55-58.3 孙建鹏，李青宁.求曲线箱梁桥自振频率的精细传递矩阵法J.西安建筑科技大学学报(自然版).2009，41(6)：811-816.4 孙建鹏，李青宁.求解结构自振频率的精细传递矩阵法J.世界地震工程.2009，25(2)：140-145.5 郭泽英，李青宁， 张守军. 结构地震反应分析的一种新精细积分法J.工程力学， 2007， 24(4)：35-40. 6 李青宁. 变截面杆元传递矩阵法J.西安建筑科技大学学报. 2001，33(1)：18-23.7 孙建鹏，李青宁.门式钢框架稳定分析的精细传递矩阵法J.西安建筑科技大学学报(自然科学版)，2011，03：374-378.8 王一凡. 直接积分法与精细积分法结合求解结构动力方程J.工业建筑, 2006， 36(增)：554-566. 9 倪晓博，许笛.自重压杆稳定性问题分析J.企业技术开发，2010，29 (1)：108-109.10 中国建筑科学研究院，GB50011-2010.建筑抗震设计规范S.北京：中国建筑工业出版社，2010. 11 严东晋，宋启根.结构冲击屈曲准则讨论J.工程力学，1997，14(4)：18-25.