CATIA有关bezier等类型的曲线、曲面理论书.pdf
Chapter1 內插法與Lagrange多項式 n i i P 0= 為 n+1 個數據點，其座標法() n i ii yx 0 , = ，今欲求一最高為 n 之 內插多項式 n Q 使得 ()nixQy ini , 1 , 0,?= 亦即( )xQy n =圖形通過 n i Pi 0=。 若 ( ) = = n k k kn xaxQ 0 則 ()niyxQ iin , 1 , 0,?= 即為 niyxa i n k k k , 1 , 0, 0 ?= = 展開為 () =+ =+ =+ n n nnn n n yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa 1 2 110 111 2 11110 001 2 01010 1 . ? ? ? ? (1.1)為一線性聯立方程式，可進一步改寫成 () 2 . 1 1 1 1 0 1 0 2 1 2 11 0 2 00 nn n nnn n n y y y a a a xxx xxx xxx ? ? ? ? ? 稱為 Xa=y (1.2)可由高斯消去法解出 n i i a 0= 如此可求出( )xQn ，數學尚可証明0)(Xdel，亦即(1.2)有一解，但 是，數值方法與分析上，)(Xdel雖不為 0 但當n越大時)(Xdel越靠 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P n P 近 0，亦即 X 為 ill-conditioned，此時以高斯消去法解(1.2)時，易產生 大的誤差，當n越大，)(Xdel越靠近 0 的原因如下： 若ni n i xi, 1 , 0,?= 將 X 每行之值標出來 故( ) = = n k k kn xaxQ 0 此一表達內插多項式方式不佳，一般用來表達內插 函數多為下列型式： ( )( ) = = n k k k xqyxf 0 使得 ()()nixqyxf n k i k ki , 1 , 0, 0 ?= = 上式有很多種解，吾人只考慮最方便之一種 () = = ki ki xq kiik ,0 ,1 , 合乎以上條件之( ) n k k xq 0= 有無窮多組解，吾人試造出數組( ) n k k xq 0= 以內插多項式( )xQn 為例，吾人希望 ( )( )() 3 . 0 , = = n k knkn xqyxQ ( )xqy k = 其中( )xq kn, 為次數最高為n次之多項式，且 () = = ki ki xq kiiki ,0 ,1 , 由觀察法 ( ) ()()()()() ()()()()() nkkkkkkk nkk kn xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xq = + + ? ? 1110 1110 , () () = = = n ki i ik n ki i i xx xx 0 0 Example： 求內插多項式( )xQ 3 ( )( ) = = 3 0 ,33 k kk xLyxQ ( )( )( )( )xLyxLyxLyxLy 3 ,332,321 , 310,30 += 其中 ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() ()()() 231303 210 3, 3 321202 310 2, 3 312101 320 1 , 3 302010 321 0, 3 xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L xxxxxx xxxxxx L = = = = 但 Lagrange 內插多項式計算效率太差，故實際時亦不用， 只用於推導公式。 1 P 2 P 3 P 0 P 回本頁 下一章 Chapter2 Hermit Polynomial 已知() n iiii yxP 0 , = 與n i Pi dx dy 0= ，吾人欲求出一多項式( )xQ使得， () , 1 , 0 ,niyxQ ii ?= （2.1） ni dx dy dx dQ i i P x , 1 , 0 , ?= （2.2） 由（2.1）與（2.2）共有 2n+2 個條件可解 2n+3 個未知係數，故可以找到一次數 最高為 2n+1 次之多項式 12 +n Q滿足（2.1）與（2.2） 。為了方便起見，將（2.1）與 （2.2）重寫為： ()niyxQ iin , 1 , 0 , 12 ?= + （2.3） ()niyxQ iin , 1 , 0 , 12 ?= + （2.4） 仿照 chap1 Lagrange 多項式之型式，吾人可令 ( )( )( )xHyxHyxQ n n i in n i in12 0 12 0 12 + = + = + +=, （2.5） 在進一步設法求出 in H , 12 + 與 in H , 12 + ，將（2.5）代入（2.3） ()( ) jjin n i ijin n i i yxHyxHy=+ + = + = ,12 0 ,12 0 , j=0,1,n 滿足上式中， in H , 12 + 與 in H , 12 + 最方便的情形為 ( ), 0 1 , 12 = = + ji ji xH ijjin （2.6） ( )0 , 12 = +jin xH （2.7） 將（2.5）代入（24） ( )( )( ) ( )( )njyxHyxHy xHyxHyxQ jjn n i ijin n i i in n i i n i inin , 1 , 0 , 12 0 , 12 0 , 12 00 , 1212 ?=+ += + = + = + = + 滿足上式中 in H , 12 + 與 in H , 12 + 最方便的情形為， 1 P 2 P 3 P 4 P n P ( )njxH jin ., 1 , 0 , 0 , 12 ?= + （2.8） ( ) = = + ji ji xH ijjin 0 1 , 12 （2.9） 根據（2.62.9）找出( )xH in, 12 + 與( )xH in, 12 + 。由於（2.62.9）與之前 Lagrang多項 式( )xL in, 所滿足的( ) = = ji ji xL ijjin 0 1 , 有類似之處，故吾人假設 ( )()( )xLbaxxH inin 2 , 12 += + （2.10） ( )()( )xLdcxxH inin 2 , 12 += + （2.11） 將（2.10）與（2.11）代入（2.62.7） ()()njxLbax ijjinj , 1 , 0 , 2 , ?=+ （2.12） ()( )njxLdcx jinj , 1 , 0 , 0 2 , ?=+ （2.13） 由（2.12）, 1=+ baxi 由（2.13）, 0=+ dcxi 將（2.10）與（2.11）代入（2.82.9） ( )( )()( )( )xLxLbaxxaLxH inininin, 2 , 12 2+= + ( )( )()( )( )xLxLdcxxcLxH inininin, 2 , 12 2 += + ( )( )()( )( )njxLxLbaxxaLxH jinjinjjjnjin , 1 , 0 , 02 , 2 , 12 ?=+= + （2.16） ( )( )()()()njxLxLdcxxcLxH ijjinjinjjinjin , 1 , 0 , 2 , 2 , 12 ?=+= + （2.17） 由（2.16） ，()()02 , =+ iini xLbaxa （2.18） 由（2.17） ，()()12 , =+ iini xLdcxc （2.19） 由（2.14） ， （2.15） ， （2.18） ， （2.19）4 個代數線性方程式可解 4 個未知數dcba, 其結果為 ( )()()( )xLxLxxxH iniiniin 2 , 12 21= + （2.20） ( )()( )xLxxxH iniin 2 , 12 = + （2.21） 1=+ baxi （214） ()()02 , =+ iini xLbaxa （2.18） （2.20）與（2.21）在實際計算上，計算量仍太大，計算時不用（2.20）與（2.21） 與 Lagrange 多項式一樣，實際計算皆利用 divided difference 來做。 上一章 回本頁 下一章 Chapter 3 參數曲線(Parametric curve) 有很多的曲線無法以單純的 y=f(x) 或 x=g(y) 來表示 例如上圖曲線至少需以三個 y對 x之函數來表示，十分不便。 若採用參數曲線,亦即 x=f(u), y=g(u), aub, 則表達上相對容易許多!例如平面 上圓的方程式為 x2+y2=r2,其參數式為 x=r cos(u), y=r sin(u), 0u2. 又在電腦 繪圖中,曲線皆以參數式表達. P(u)= (x(u),y(u), ou1; x(u),y(u)通常為 u的多項式! 回顧之前的 LaGrange 內插與 Hermit 內插,首先: 1. Lagrange 內插： 內插Pii=0n,首先引進i=i/n, i=0,1,n 再分別求出通過(xi,i)i=0n和(yi,i)i=0n的 Lagrange 多項式 x(u) = i=0n xiLn,i(u), y(u) = i=0n yiLn,i(u) 或寫成 P(u) = i=0n PiLn,i(u) 同理 2. Hermit 參數曲線亦可以求出,但在微分的處理上需稍加注意. 以下圖 Hermit 參數曲線作為例子說明: ( )xfy 1 = ( )xfy 2 = ( )xfy 3 = 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P n P 6 P 0 P 1 P 已知 Pii=0 , x,0 與x,1 , 則其 Hermit 多項式最多為三次, 今欲以參數是表示: x = d/d = d/d/d/d = u/u 所以x,i =u,i/u,i 則題目變成已知Pii=0 ,Pu,ii=0 , 求其 Hermit 參數曲線, 吾人將不用第二章的 Hemite 多項公式,而另行推導 P(u) = au3+bu2+cu+d, -(3,1) 亦即 (u) = axu3+bxu2+cxu+dx, -(3,2) (u) = ayu3+byu2+cyu+dy, -(3,3) 又(3,2), (3,3)中有八個未知數待求,可由 P(0) = d -(3,4) P(1) = a+b+c+d-(3,5) Pu(0) = c-(3,6) Pu(1) = 3a+2b+c-(3,7) 求出, 其解為 a = 2 P(0) -2 P(1) + Pu(0) + Pu(1) -(3,8) b = -3P(0) +3 P(1) -2 Pu(0) - Pu(1) -(3,9) c = Pu(0) -(3,10) d = P(0) -(3,11) 將(3,8)(3,11)代入(3,1)整理後可得 P(u) = (2u3-3u2+1)P(0) + (-2u3+3u2)P(1) + (u3-2u2+u)Pu(0) + (u3-u2)Pu(1) = F1P(0) + F2P(1) + F3Pu(0) + F4Pu(1) -(3,12) 與第二章的 Hermit 多項式 H3,i和 ?3,i相通, 但(3,12)比傳統的 Hermit polynomial (2,20), (2,21)較為節省運算量, (ps.當然若把 u2視為 u*u , u3視為 u2 * u 來運算會比較省時) 通常在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,皆好用(3,12)的形式表示, 其中 P(0), P(1), Pu(0) 和 Pu(1) 稱為控制點, 而 F1, F2, F3 和 F4 稱為基底函數(basis function)或摻和函數(blending function) 而(3,12)可寫成 P(u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t 矩陣相成的型態,簡寫成 P(u) = Ft B -(3,13) 其中 F = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u)t ; B = P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t 對任何的 B, F 都不變. 習慣上, (3,1)稱為代數形式,可改寫為 P(u) = au3+bu2+cu+d = u3 u2 u 1 a b c d t =Ut A -(3,14) 其中 U=u3 u2 u 1 t ; A=a b c d t (3,13)稱為 P(u)之幾和形式, (3,14)稱為 P(u)之代數形式, P(u) = Ft B = Ut A 可進一步合併 P(u) = F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t = u3 u2 u 1 2 -3 0 1 同理 F2 F3 F4 亦可以此種形式表示, 故 Ft = F1 F2 F3 F4 =u3 u2 u 1 MF = Ut MF -(3,15) 其中 MF 稱為 Hermit Basis transform matrix. 將 (3,15) 代回 (3,13) ? P(u) = Ut MF B -(3,16) 而 Ft = Ut MF , A= MF B, 將(3,16)展開來為 P(u) = u3 u2 u 1 MF P(0) P(1) Pu(0) Pu(1) t , 0u1, 結論： 在電腦繪圖(CG)或電腦輔助幾何(CAGD)上,亦常以 (3,16)表示, 對不同的基底函數有不同的 MF 而已 上一章 回本頁 下一章 Chapter 4 Cubic spline 有些中文書翻譯成 3 次仿樣曲線。Cubic spline 用途肇因於 Lagrange 或 Hermite 內插曲線，當內插點數一多時，則內插多項式次數易隨著 增高。高次多項式有容易桭動之現象，曲線較不平滑，以下圖說明： 紅色曲線為 7 次之內插 Lagrange 多項式曲線，振動劇烈，不符 CG 與 CAGD 所需，吾人希望是如圖 4.1 中黃色平滑內插曲線，而小時候 玩的連連看遊戲及如圖 4.1 中黑色曲線。其平滑度低，以可微分條件 言之屬於 C°；吾人欲提高其平滑度，亦即選擇次數較高之 p i e c e w i s e p o l y n o m i a l 來內插之，若在內差點接得好的話，以 n 次 p i e c e w i s e p o l y n o m i a l 而言 平滑度最高可屬於。在 CG 與 CA G D 上，最常用的為 n = 3此一 p i e c e w i s e 3次多項式，吾人稱為 Cu b i c s p l i n e 。 圖 4. 2中，欲造一 Cu b i c s p l i n e 內插 ， 需 n 段 3次多項式，每個 3次多項式有4 個未知係數待決，故共有 4n 個未知係數，吾人虛列出 4n 個方程式求之。 加上在x0及xn額外的條件 （i ） c l a m p e d b o u n d a r y c o n d i t i o n （i）clamped boundary condition （ii）natural boundary condition Si (xi - 1) =Yi - 1 i=1, 2 , 3, n 且 Sn(xn) = Yn ( 4. 1) Si(xi) = Si +1(xi), i = 1, 2 , 3, . . , n - 1 ( 4. 2 ) Si' (xi) = Si +1' (xi), i = 1, 2 , 3, . . , n - 1 ( 4. 3) Si“ (xi) = Si +1“ (xi), i = 1, 2 , 3, . . , n - 1 ( 4. 4) S1“ (x0) = Sn“ (xn) = 0 ( 4. 5b ) S1“ (x0) = 且 Sn“ (xn) = ( 4. 5a ) （4.1）至（4.5）共提供 4n 個方程式，可解決 4n 個未知係數。 實際上如此解法較複雜，吾人將改採較直觀的 3次 Hermite 多項式解 之，而且以參數曲線表之。 以圖 4.3 做說明： 希望找出每一個 Si 參數曲線之參數多項式 假設 已知（實際尚未知）則無人可利用H e r m i t e 參數曲線公式求出，Pi( u ) , i = 1, 2 , 3, n . 根據三次 H e r m i t e 參數曲線公 式 Pi( u ) , 0 u1。 Pi( u ) = xi( u ) , Yi ( u ) , zi ( u ) Pi' , i = 1, 2 , 3, n - 1. ( 4. 6 ) 中有 n 1 個切線斜率P0',P1' Pn' 未知，需 n 1 個方程式求 之，利用二次微分在內部點連續之條件： 及（i）natural boundry condition 或（ii）clamped boundary condition 其中與為端點之微分值。將（4.7）與（4.8）化簡：根據 則（4.7）變為 整理得到 利用到 （4.8a）變為 且 Pi“( 1) = Pi +1“( 0 ) , i = 1, 2 , , n - 1 （4. 7） P1“( 0 ) = 0 且 Pn“( 1) = 0 （4. 8 a ） P1'( 0 ) = 且 Pn'( 1) = （4. 8 b ） Pi“(u) = 6(2P0,i-2P1,i+P0,i'+P1,i')ui+2(-3P0,i+3P1,i-2P0,i'-P1,i') 6(2P0,i-2P1,i+P0,i'+P1,i')+2(-3P0,i+3P1,i-2P0,i'-P1,i')= 2(-3P0,i+1+3P0,i+1 - 2P0,i+1'-P1,i+1') P0,i + 4Pi' + Pi+1' = 3(Pi+1 - Pi-1) i=1,2,3n-1 (4.9) P0,i = Pi-1 , P1,i = Pi = P0,i+1 , P1,i+1 = Pi+1 -3P0 +3P1 2P0' P1' = 0 6(2Pn-1 + 2Pn + Pn-1' + Pn') + 2(-3Pn-1 + 3Pn - 2Pn-1' - Pn')= 0 整理得到 （4.8b）變為 P0' = 與 Pn' = （4.10b） （4.9）與（4.10b）可寫成 ( 4. 9 ) 與 ( 4. 10 a ) 可寫成 ( 4.11a）與（4.11b）之矩陣皆為對角線三航矩陣（tridiagonal matrix） 此種線性系統其數值解所需運算量只要 O(n2)；十分有效率。解出 Pi' , i = 0,1,2.,n 代回（4.6）即可求出Pi（u） ，i =1,2,3.,n。 2P0' + P1' = -3P0 + 3P1 = 3(P1-P0) 上一章 回本頁 下一章 之斜率而 亦即 其中 10 01 01 00101 0 10 1 ' 11 ' 0 ' )0( ' )0( ' )(),()0( '),()0( ' )0( ')0( ',)1 ()(' 1)1 ()()1 ()()(')(')( ' PP xx yy x y dx dy yynyXXnX nPnPPiBiPununBo iuuinuiuunBiunPiBiuP n i n inin i inin i n i = = += = = = (control 10),()( 0 0 ' 稱為控制點其中係數 n i n i iP uunPiBiuP = = = n i unBi 0 ' )( = 次多項式亦為故次多項式皆為每一個 時同時為與且其中 nunnBiu ui ini n uuuunBi i n i inin i )(, 1! 0 , 0, )!( ! ! )( 10 ,)1 ()()( 1 ' = = = = n i iP 0= 控制點 n PP 與 0 n PP 與 0 110 , nnP PPP 相切處與 100 PPP 相切 1nnP P 亦即與對稱於故 則 代入 ,1)( )(,)1)(,)1)()( ,1,)1 ()()( ' '' ' uuunBj nBknkBn kniletuuuunBi kknn k kknn kn inin i = = Chapter5 Bezier曲線 之前講的 cubic spline 有如下之缺點： ?無法確知曲線座落在哪個區域 ?牽一髮而動全身，亦即移動一內插點則”整條“曲線跟著改變，即具有整體效 果(global effect) ? Bezier 曲線可克服缺點?，但仍無法克服缺點?，在後面介紹之 B-spline 則 ?皆可克服。 Bezier 曲線（也是參數曲線）之數學形式為： （5.1） point） ，注意不是內插點，而其基底函數 為 Bernstein多項式，定義如下： .（5.2） 所圍成的多邊形稱為特徵多邊形（characteristic polygon） Bezier 曲線有如下的性質： （1）Bezier 曲線會經過頭與尾的控制點，即 其驗證很容易 （2）Bezier 曲線在 處會分別與 相切，其驗證如下： 故曲線在 同理可證曲線在 Pn處與 (3)由於基底函數 PnP PPPnini BonPiBipu n i = = = = ) 1 (, 1 ,)0(,3 , 2 , 1, 0)0( )2 . 5(),0()0( , 0 00' 0 1' 吾人可推得同理，考慮 即通過故其餘 只有而由當 µ n i iP 0= 控制點 (4)若 連線形成一多邊形（特徵多邊形或稱為控制點多邊形）為一 凸多邊形，則 Bezier 曲線一定座落在此凸多邊形內，如下圖： （5.3） （5.4） . (5.5) 直接算 較費時。 算效率，之形式，主要是為了計寫成 時，當同理而 ）又可寫成（ 之圖形如課本圖 時，當 其中 時，例如： bMuPM P P P P P b u u u u unM bMu P P P P uuuuP Bi uuBuuuBuuuBuuBo uBPuBPuBoPuBoPuPiBiuPn uuBuuuBuuBo uBPuBoPuBoPuPiBiuPn B t B B B t i i i = = = = = = = = += = += = = = 00001 00044 006126 0412124 14641 , 1 4, 1111 1 3 2 3 1 0 1 3 1 00 1000 0001 0033 0363 1331 1 . )(4 . 5 6 . 43 )( 33),1 (3)( 32,)1 (3)(31,)1 ()(3 )( 33)( 32)( 3)(3)(3)(3 )(22),1 (2)(21,)1 ()(2 )(22)(2)(2)(2)(2 4 3 2 1 0 2 3 4 1 3 2 1 0 23 3 0 ' 3 ' 2 ' 2 ' 3 ' '3' 3 0 2'1'0' 2 '' 2 ' ' 2 0 2'0'0' inin i uuunBi =)1 ()()( ' = = = n i in n i in i uuPiunPiBiuP 00 1 )1 ()()()( Berstein 多項是有一些很有趣的特性，事實上它的來源與機率有關。 首先研究 它可用 Pascal三角形表之： 老師以前在美國的科學博物館看過很有趣的實驗 其中 u可看為球往右掉之機率，則往左 掉的機率為 1-u，此時機率分布曲線即為 常態分布， 所有事件機率之和 而其幾何意義即是如右圖： 此種方式衍生出來之 Bezier 曲線運算法稱為 de Caste ljau演算法 ( )ni u i 0 , 時即為當 2 1 )1 ()(= uuu inin i = = n i inin i uu 0 1)1 ()( ) 6 .5()1 ()1 ()1 ( )1 ()1 ()1 ()()1 ( 3)1 (3)1 ()( 3 ,)1 ()()()( 122212,22),1 (221,)1 (2,2 3221 2110 3 3 2 2 2 1 3 0 00 0' ''' 2 '' 2 ' uuuPuPuuPuP uuuPuPuuPuP uPuPuuPuPuP n PiuuPiunPiBiup BBBouBuuBuBon n i n i n i inin i + += += = = =+= = = 為例：如此一來，以 布之平均值）之期望值（根據機率分即而 時例如 因其形狀像朵花，有些與的書上又稱此演算法為“開花演算法“ （blossom algorithm）此演算法在後續 B-splone 與 NURBS 曲線將再出現，只是 公式不同。 上一章 回本頁 下一章 Chapter6 B -s p l i n e曲線 Bezier 曲線之缺點有二 一 是牽一髮而動全身（global effect）亦即移動其中任何一控制點，整條曲線皆 改變。 二 是曲線多項是次數受控制點影響，若有 N+1 個控制點，則 Bezier 曲線次數 N 次數高時，計算較費時，且有時會有震動現象，故需分成數個次數較低之 Bezier 曲線，而連接處需考慮連續性，而 B-spline 曲線可克服上述困難，它控制點移動 時只會影響部分的曲線（local effect） 。另外其次數與控制點數目無關，可由使用 者任意選擇，一般而言，B-spline 比 Bezier 有更多的彈性，在 CG 與 CAGD上應 用更廣。事實上，若有 N+1 個控制點，而選擇 N 次之 B-spline 曲線比 Bezier 曲 線（最高次數） ，則此 Bezier 曲線可視為 B-spline 曲線之一特例，由於 B-spline 曲線有更大的彈性，相對而言，其數學公式較為繁瑣。 B-spline 之定義 ( )( )() 1 . 0 , uNPuP n i kii = = 其中係數部分 n i i P 0= 為 n+1 個控制點，而( )uN ki+ 為每各控制點相關之基底函數， 下標k 表曲線之自由度，以多項是次數而言為1+k次。( )uN ki+ 係以遞回定義表 示如下 ( )() 2 . 0 1 1 , 其他 = +ii ki tut uN 且 ( )( )( )() . 1, 1 1 1, 1 , uN tt ut uN tt tu uN ki iki ki ki iki i ki+ + + + + = 以而其中 i t 稱為節點 （knot value） ，而所有 i t 之集合，稱為節點向量 （knot value） ， 對於開放非均勻（open nonuniform）式 B-spline，其節點向量通常選定如下： ()6.4 ,12 ,1 1,.,00 +=+= =+= = knniknt nkikit kit i i i 只有1+ kn個節點，通常使用者只需提供控制點數（在此為1+n次）與曲線次 數（為1+k次） ，即可決定節點個數與之前曲線參數10 u不同之處在此 20+knu，當然亦可將其正規化為10 u，但一般在 B-spline 中較少如 此使用，通常最極至的情況下，節點向量=0,1，此時12=+kn，故kn=+1， 及控制點樹等於曲線自由度，而此一 B-spline 曲線亦同時為一 Bezier 曲線。 範例說明： 例如4=n（即個控制點， 4 0=i i P）k 分別為 1，2，3，4，5 當5=k B-spline 曲線即為 Bezier 曲線。 1=k 節點向量為 654310 ,5 , 4, 3 , 2, , 1 , 0tttttt= = = = = = 其他 其他 其他 其他 其他 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ,4 1 ,3 1 ,2 1 ,1 1 ,0 u N u N u N u N u N 圖 6.1 4 0 1 , =i i N之圖形 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 41 ,44 31 ,33 21 ,22 11 ,11 01 ,00 0 , , 54 , 43 , 32 , 21 , 10 PuNPuPu PuNPuPu PuNPuPu PuNPuPu PuNPuPu uNPuP n i kii = = = = = = = 當 隨著u在0,5之間變化，所描繪出的不是一條曲線，只是 5 個控制點。 1,0 N 1 , 1 N 1 ,2 N 1 ,3 N 1 ,4 N 2=k 節點向量為 654310 ,4 , 4 , 3 , 2 , , 1 , 0 , 0tttttt= = = = = = = 其他 其他 其他 其他 其他 需先算 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 5 , 4, 3 , 2, 1 , 0 , 1 ,4 1 ,3 1 ,2 1 ,1 1 ,0 1 , u N u N u N u N u N iNi 圖 6.2 4 0 1 , =i i N之圖形 ( )( ) += +=+ += += += += = = uuuuuuuu uuuu uuuuuuuu uuyuuxuuuuyx uuyuuyuuuuxuuxyx uuyuy uuuxx uPuuPuP BPBPBP uBPuP i n i 故 Bezier 曲線無法造成本題所要求之圓,事實上,整個 B-spline 亦無法辦到 這問題出在 B-spline 之基底函數為多項式,若改以有理函數(rational function)取代 之則有可能,以前例1 22 =+ yx,其參數式可以下列函數表達: 1 )1 ( 421 )()( 1 2 )( 1 1 )( 22 242 22 2 2 2 = + + =+ + = + = t ttt tytx t t ty t t tx 故吾人欲延伸 B-spline 為 rational B-spline 最直觀之方式為: 1 22 =+ yx 0 P 1 P 2 P )2 . 7()( ) 1 . 7( )( )( )( 0 0 , 0 , uP uNW uNWP uP i n i i n i kii n i kiii = = = = = 其中基底函數: )3 . 7( )( )( 0 , , = = n i kii kii i uNW uNW 節點向量(knotvector)之決定,同 B-spline,由於之前討論之節點向量為非均勻分布 (non-uniform),以便通過端點,故之前的 B-spline 亦稱為 non-uniform B-spline,如今 延伸出之 rational B-spline 亦稱為 non-uniform rational B-spline 簡稱 NURBS 接下來,討論其一些性質: 1. 1 )( )( 0 , , 0 = = = n l kll kii n i i uNW uNW ,所有的基底函數和為 1 2.當),(, 1 , uNiW kiii =意即當所有1= i W,NURBSB-spline 意即 B-spline 只是 NURBS 的一個特例 3.iWi , 0因為0 = = + + = = = NURBS 之演算: 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 2 D 1 D )( )( , )( )( )( )( ),( ),( )( , , , , 3D ,s
