2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案：1.3.2 奇偶性 Word版含解析.pdf

1.3.2 奇偶性 课标要点 课标要点 学考要 求 高考要 求 1.奇函数、偶函数的概念bb 2.奇函数、偶函数的性质cc 知识导图 学法指导 1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原 点的中心对称还是关于 y 轴的轴对称 2 学习本节知识注意结合前面所学的知识， 如单调性、 函数图象、 解析式等，加强它们之间的联系 3学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义 域上的性质，忽略定义域是一个易错点. 知识点 奇、偶函数 1偶函数的定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 2奇函数的定义 一般地， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 3奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数 的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函 数 (2)偶函数的图象关于y轴对称 ； 反之， 如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对 称，则这个函数一定不具有奇偶性 小试身手小试身手 1判断(正确的打“” ，错误的打“×”) (1)偶函数的图象关于(0,0)对称( ) (2)奇函数的图象关于 y 轴对称( ) (3)函数 f(x)x2，x1,2是偶函数( ) (4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4) 2下列函数为奇函数的是( ) Ay|x| By3x Cy Dyx214 1 x3 解析 ： A、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数， 而 C 项中函数为奇函数 答案：C 3若函数 yf(x)，x2，a是偶函数，则 a 的值为( ) A2 B2 C0 D不能确定 解析 ： 因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以2a0， 所以a 2. 答案：B 4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是 _(填序号) 解析 ： (1)(3)关于 y 轴对称是偶函数， (2)(4)关于原点对称是奇函数 答案：(2)(4) (1)(3) 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x3x； (2)f(x)；1x2x21 (3)f(x)； (4)f(x)Error! 2x22x x1 【解析】 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称 又 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)， 因此函数 f(x)是奇函数 (2)由Error!得 x21，即 x±1. 因此函数的定义域为1,1，关于原点对称 又 f(1)f(1)f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)函数 f(x)的定义域是(， 1)(1， )， 不关于原点对称， 所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称 f(x)Error!即 f(x)Error! 于是有 f(x)f(x) 所以 f(x)为奇函数 满足 f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数 方法归纳 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函 数图象关于 y 轴对称， 则函数为偶函数 此法多用在解选择、 填空题中 跟踪训练 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)x2(x22); (2)f(x)|x1|x1|； (3)f(x)； (4)f(x)Error! 1x2 x 解析：(1)xR，xR. 又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)， f(x)为偶函数 (2)xR，xR. 又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|) f(x)， f(x)为奇函数 (3)f(x)的定义域为1,0)(0,1 即有1x1 且 x0， 则1x1，且x0， 又f(x)f(x)，f(x)为奇函数 1x2 x 1x2 x (4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称 当 x0 时，x0，f(x)1(x)1xf(x) 综上可知，对于 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，f(x) 为偶函数 根据函数奇偶性定义判断 类型二 函数奇偶性的图象特征 例 2 设奇函数 f(x)的定义域为5,5， 若当 x0,5时， f(x)的图象如图， 则不等式 f(x)x2. (3)定义域易忽略 方法归纳 1函数奇偶性和单调性的关系 (1)若 f(x)是奇函数， 且 f(x)在a， b上是单调函数， 则 f(x)在b， a 上也为单调函数，且具有相同的单调性 (2)若 f(x)是偶函数， 且 f(x)在a， b上是单调函数， 则 f(x)在b， a 上也为单调函数，且具有相反的单调性 2利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化 为 f(x1)f(x2)或 f(x1)0 时，f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象 解析：(1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 则 f(0)0； 当 x0，f(x)是奇函数， f(x)f(x)， f(x)f(x)(x)22(x)x22x， 综上，f(x)Error! (2)图象如图： 能力提升能力提升(20 分钟，分钟，40 分分) 11定义两种运算 ： ab，ab，则函数 f(x)a2b2 ab2 为( ) 2x x 22 A奇函数 B偶函数 C奇函数且为偶函数 D非奇函数且非偶函数 解析：由定义知 f(x)， 4x2 x222 4x2 |x2|2 由 4x20 且|x2|20， 得2xf(m 1)，则 m 的取值范围为_ 解析：f(x)为偶函数， f(x)f(x)， 则 f(|x|)f(x)， 不等式 f(m1)f(m1)可化为 f(|m1|)f(|m1|)， 又f(x)在(0,2上为增函数， Error! 解得1m0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)， 于是 x0 时，f(x)x22xx2mx， 所以 m2. (2)由(1)知 f(x)在1,1上是增函数， 要使 f(x)在1，a2上单调递增 综合 f(x)的图象知Error! 所以 1a3.故实数 a 的取值范围是(1,3 14已知定义在(1,1)上的奇函数 f(x)是增函数，且 f axb x21 ( 1 2) . 2 5 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(t1)f(2t)0. 解析：(1)因为 f(x)是定义在(1,1)上的奇函数， axb x21 则 f(0)0，得 b0. 又因为 f ， ( 1 2) 2 5 则 a1， 1 2a ( 1 2) 21 2 5 所以 f(x). x x21 (2)因为定义在(1,1)上的奇函数 f(x)是增函数， 由 f(t1)f(2t)0 得 f(t1)f(2t)f(2t) 所以有Error!Error! 解得 0t . 1 3 故不等式 f(t1)f(2t)0 的解集为Error!.