江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第20天椭圆理（含解析）苏教版.pdf

第 20 天 椭圆第 20 天 椭圆 1. 1. 椭圆1 的焦点坐标为_ x2 16 y2 25 2. 2. 已知中心在坐标原点的椭圆，焦点在 x 轴上，焦距为 4，离心率为，则该椭圆的 2 2 方程为_ 3. 3. 已知椭圆 C：1 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为_ x2 a2 y2 4 4. 4. 若椭圆的两焦点与短轴的两端点在单位圆上，则椭圆的内接正方形的边长为 _ 5. 5. 已知椭圆1(mn0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是以椭圆短轴长为直 x2 m y2 n 径的圆上任意一点，则·_PF1 PF2 6. 6. 如图，已知过椭圆1(ab0)的左顶点 A(a，0)作直线 l 交 y 轴于点 P， x2 a2 y2 b2 交椭圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且2，则椭圆的离心率为_PQ QA 7. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， A， B1， B2分别为椭圆 C：1(abc)的右、 x2 a2 y2 b2 下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1，则椭圆 C 的离心率是_ 8. 8. 已知点 P 是椭圆1 上的动点， F1为椭圆的左焦点， 定点 M(6， 4)， 则 PMPF1 x2 25 y2 16 的最大值为_ 9. 9. 已知 F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，点 A 是椭圆上位于第一象 x2 a2 y2 b2 限内的一点，O 为坐标原点，·|2，若椭圆的离心率为，则直线 OA 的方程是OA OF2 OF2 2 2 _ 10. 10. 已知椭圆 C：1(ab0)的短轴长为 2， 离心率为， 设过右焦点的直线 l x2 a2 y2 b2 2 2 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B， 过点 A， B 作直线 x2 的垂线 AP， BQ， 垂足分别为 P， Q. 记 ，若直线 l 的斜率 k，则 的取值范围为_ APBQ PQ 3 11. 11. 设椭圆 E 的方程为1(ab0)， 点 O 为坐标原点， 点 A 的坐标为(a， 0)， 点 B x2 a2 y2 b2 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足 BM2MA，直线 OM 的斜率为. 5 10 (1) 求椭圆 E 的离心率 e； (2) 设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB. 12. 已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点， x2 a2 y2 b2 直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1) 若F1AB90°，求椭圆的离心率； (2) 若2，· ，求椭圆的方程AF2 F2B AF1 AB 3 2 13. 13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1(ab0)的右焦点为 F，A 是椭 x2 a2 y2 b2 圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于 M，N 两点(点 M 在第三象限)，与椭圆的右准线交于 点 P.已知 AMMN，且· b2.OA OM 4 3 (1) 求椭圆 C 的离心率 e； (2) 若 SAMNSPOFa，求椭圆 C 的标准方程 10 3 14. 14. 如图，已知椭圆 C：1(ab0)过点(0，1)和，圆 O：x2y2b2. x2 a2 y2 b2(1， 2 2) (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若直线l与圆O相切， 切点在第一象限内， 且直线l与椭圆C交于A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，当OAB 的面积 S 为时，求直线 l 的方程 6 4 第 20 天 椭 圆 1. 1. (0，±3) 解析 ： 根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c2a2b225169，所 以 c3，故焦点坐标为(0，±3) 2. 2. 1 解析 ： 因为焦距为 4，所以 c2，离心率 e ，所以 a2，b2a2 x2 8 y2 4 c a 2 a 2 2 2 c24，则该椭圆方程为1. x2 8 y2 4 3. 3. 解析 ： 由题知， 椭圆的焦点在 x 轴上， 故可设椭圆的长半轴长为 a， 半焦距为 c， 2 2 故 c2，所以 a2，所以 e .a242 c a 2 2 2 2 2 4. 4. 解析 ： 不妨设椭圆的方程为1(ab0)，依题意得 bc1，a， 2 6 3 x2 a2 y2 b2 2 则椭圆的方程为y21.设椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0，x0)，代入椭 x2 2 圆方程，得 x0，所以正方形边长为. 6 3 2 6 3 5. 5. 2nm 解析 ： 在椭圆1(mn0)中，b2n，c2mn，·( x2 m y2 n PF1 PF2 PO OF1 )· ()|2|2b2c2n(mn)2nm.PO OF1 PO OF1 6. 6. 解析：由AOP 是等腰三角形，得 P(0，a)又2，则点 Q在 2 5 5 PQ QA ( 2 3a， a 3) 椭圆1(ab0)上，代入化简得 a25b25(a2c2)，即 2ac，所以离心率 e x2 a2 y2 b2 5 . c a 2 5 2 5 5 7. 7. 解析 ： B2(0， b)， F(c， 0)， B1(0， b)， A(a， 0) 由 B2FAB1得 51 2 kB2F·kB1A· 1， 则 b2a2c2ac， 即 e2e10.又 e(0， 1)， 所以 e b c b a b2 ac . 51 2 8. 8. 15 解析 ： 右焦点F2(3， 0)， 则MF25， 所以PMPF12aPMPF22aMF2105 15，当且仅当点 P 在 MF2的延长线与椭圆的交点处时取等号，故 PMPF1的最大值为 15. 9. 9. yx 解析 ： 设 A(xA， yA) 又 F2(c， 0)， 所以·(xA， yA)·(c， 0) 2 2 OA OF2 cxAc2. 因为c0， 所以xAc， 代入椭圆方程得1， 解得yA， 故kOA. c2 a2 y2 b2 b2 a b2 a c b2 ac a2c2 ac 又 ，故 ca，故 kOA，故直线 OA 的方程是 yx. c a 2 2 2 2 a2( 2 2 a) 2 a × 2 2 a 2 2 2 2 10. 10. 解析 ： 由题意得 b1， ，a2b2c2，解得 a22，b21，所以 ( 2， 2 6 3 c a 2 2 直线 x2 是该椭圆的右准线设直线 l 的倾斜角为 ，则 ktan 0， 2) ( 2 ，) ， 所以 ，sin .设右焦点为 F， 且 AFm， BFn， mn， 则 AP3 3 ， 2) 3 2 ，1) m， BQn， PQABsin (mn)sin ， 所以 22 APBQ PQ 2m 2n （mn）sin . 2 sin ( 2， 2 6 3 11. 11. 解析：(1) 由题设条件知，点 M 的坐标为( a， )又 kOM，所以， 2 3 b 3 5 10 b 2a 5 10 所以 ab，c2b，故 e . 5a2b2 c a 2 5 5 (2) 由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为，可得. ( a 2， b 2) NM ( a 6， 5b 6) 又(a，b)，AB 所以· a2 b2 (5b2a2)AB NM 1 6 5 6 1 6 由(1)的计算结果可知 a25b2， 所以·0，故 MNAB.AB NM 12. 12. 解析 ： (1) 若F1AB90°， 则AOF2为等腰直角三角形， 所以有 OAOF2， 即 bc， 所以 ac，e .2 c a 2 2 (2) 由题知 A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c，设 B(x，y)a2b2 由2，得(c，b)2(xc，y)，AF2 F2B 解得 x，y ，即 B. 3c 2 b 2( 3c 2 ，b 2) 将点 B 坐标代入1，得1，即 1，解得 a23c2. x2 a2 y2 b2 9 4c 2 a2 b2 4 b2 9c2 4a2 1 4 又由·(c，b)· ，AF1 AB ( 3c 2 ，3b 2) 3 2 得 b2c21，即有 a22c21 由解得 c21，a23，所以 b22， 所以椭圆的方程为1. x2 3 y2 2 13. 13. 解析：(1) 由题意可知 M 在以 OA 为直径的圆上 联立方程组消去 y 得x2axb20，解得 x1a，x2， x2 a2 y2 b21， (x a 2) 2 y 2(a 2) 2 ，) c2 a2 ab2 c2 所以 xM(a，0)，·xMxAa b2， ，所以 e ， ab2 c2 OA OM ab2 c2 4 3 c2 a2 3 4 c a 3 2 此时 xM (a，0)，符合题意 ab2 c2 a 3 (2) 由(1)可得 a2b，cb，右准线方程为 xb，M，直线 MN 的3 4 3 3( 2 3b， 2 2 3 b) 方程为 yx，所以 P.2 ( 4 3 3 b， 4 6 3 b) SPOF OF·yPb·b2b2，SAMN2SAOMOA·2b×bb2， 1 2 3 2 4 6 3 2|yM| 2 2 3 4 2 3 所以 2b2b2a，b2b，2 4 2 3 10 3 10 2 3 20 3 所以 b，a2，22 故椭圆 C 的标准方程为1. x2 8 y2 2 14. 14. 解析：(1) 由解得所以椭圆 C 的方程为y21. 02 a2 12 b21， 12 a2 1 2b21，) a 2， b1，) x2 2 (2) 因为切点在第一象限，可设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0)，联立方程 x22y22， ykxm) 得(12k2)x24kmx2m220， 则原点到切线的距离 d1，则 m21k2.AB· x1x2 4km 12k2， x1x22m 22 12k2. ) |m| 1k2 1k2 ··， 所 以 S（x1x2）24x1x21k2 ( 4km 12k2) 2 4· 2m22 12k2 2 2· 1k2 12k2 k2 1 2 AB·d ×1×·，则，解得 k2 ，则 k， 1 2 2 2· 1k2 12k2 k2 6 4 （1k2）·k2 （12k2）2 3 16 1 2 2 2 所以 m，直线 l 的方程为 yx. 6 2 2 2 6 2