2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一课件：第3章 基本初等函数 3.2.1 .pdf
3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算 法则. 2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用. 1234 1.对数的概念 (1)如果a(a0,且a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为 底N的对数,记作b=logaN(a0,且a1),其中a叫做对数的底数,N叫做 真数; (2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lg N; (3)以无理数e(e=2.718 28)为底的对数叫做自然对数,即logeN, 记作ln N. 1234 名师点拨指数式和对数式的关系如图所示: 对数式logaN(a0,且a1)可看作一记号,表示关于x的方程 ax=N(a0,且a1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,且 a1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的 逆运算. 1234 1234 2.对数的性质 (1)0和负数没有对数. (2)loga1=0(a0,且a1). (3)logaa=1(a0,且a1). 名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N0.这是由于在实数范围 内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N0,故要求对数的真数必须 大于0. 1234 答案:D 【做一做2-2】 若log3(log2x)=0,则x= . 解析:由已知得log2x=1,故x=2. 答案:2 1234 3.积、商、幂的对数的运算法则 1234 名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以 正用、逆用和变形用. 2.当心记忆错误:loga(MN)logaM·logaN,loga(M±N)logaM±logaN. 3.虽然loga(M+N)logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与 logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取 值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2 时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4. 1234 【做一做3-1】 对于a0,a1,下列说法中正确的是 ( ) 若M=N,则logaM=logaN; 若logaM=logaN,则M=N; 若logaM2=logaN2,则M=N; 若M=N,则logaM2=logaN2. A.B. C.D. 1234 解析:在中,当M=N0时,logaM与logaN无意义,故不成立; 在中,当logaM=logaN时,必有M=N0成立,故成立; 在中,当logaM2=logaN2时,有M0,N0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未 必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但MN,故不成 立; 在中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故不成立. 答案:C 1234 1243 名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1 的任意实数; 2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数. 1243 一、解读对数的定义 剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式, 其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x 是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示. (2)对数x=logay中,规定a0,且a1的原因. 若a0,且a1,真数N0,因 此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则 很容易出错. 题型一题型二题型三题型四题型五 解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以xy=(x-2y)2, 即x2-5xy+4y2=0. 所以(x-y)(x-4y)=0, 解得x=y或x=4y. 因为x0,y0,x-2y0, 所以x=y应舍去. 所以x=4y, 1有下列说法: 零和负数没有对数; 任何一个指数式都可以化成对数式; 以a(a0,且a1)为底1的对数等于0; 以3为底9的对数等于±2; 其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析:正确,错误, 如(-2)2=4,(-1)2=1等不能写成对数式; 因为log39=log332=2,所以错误; 因为log3(-5)无意义,所以错误. 答案:B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2若a0,a1,x0,y0,xy,下列式子中正确的个数是( ) logax·logay=loga(x+y) logax-logay=loga(x-y) logaxy=logax·logay A.0B.1C.2D.3 答案:A 1 2 3 4 5 答案:2 1 2 3 4 5 4计算2log210+log20.04= . 解析:原式=log2102+log20.04=log24=2. 答案:2
