2011高考二轮复习文科数学专题三 等差数列与等比数列.ppt

专题三 数 列,第一讲 等差数列与等比数列,考点整合,等差数列的概念及性质,考纲点击,1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等差数列与一次函数的关系,基础梳理,一、等差数列 1等差数列的定义 数列an满足_(其中nN*，d为与n值无关且为常数) an是等差数列 2等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1，公差为d，则ana1_am_(n，mN*) 3等差中项 若x，A，y成等差数列，则A_，其中A为x、y的等差中项 4等差数列的前n项和公式 若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn_na1_.,答案： 1.an1and 2.(n1)d (nm)d,整合训练,1(2009年福建卷)等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14, 则公差d等于( ) A1 B. C2 D3,答案：C,考纲点击,等比数列的概念及性质,1理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等比数列与指数函数的关系,基础梳理,二、等比数列 1等比数列的定义 数列an满足_q(其中an0，q是与n值无关且不为零的常数，nN*)an为等比数列 2等比数列的通项公式 若等比数列的首项为a1，公比为q，则ana1·_am·_(n，mN*) 3等比中项 若x，G，y成等比数列，则G2_，其中G为x、y的等比中项，G值有_个 4等比数列的前n项和 设等比数列的首项为a1，公比为q，则,答案：,2(2010年浙江卷)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 ( ) A11 B5 C8 D11,答案：D,高分突破,有关等差数列的基本问题,(1)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据以上排列的规律，数阵中第n行(n3)从左向右的第3个数为_ (2)已知an是一个等差数列，且a21，a55. 求an的通项an； 求an的前n项和Sn的最大值,思路点拨：(1)将该数阵中各行的数排成一行，则成一个正整数数列，再注意数阵中第n行有n个数，所以可求该数阵前n1行共有多少个数，从而可求第n行的第3个数； (2)由a2及a5的值，可求出等差数列an的首项a1及公差d，从而求出通项公式an，再由Sn的公式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值 解析：(1)从三角数阵可知，第n行从左向右的第3个数应为该正整数列的第123(n1)3个数，该数的值为：,n24n(n2)24. 当n2时，Sn有最大值4. 法二：an2n5. 该数列为递减数列，设其前n项和最大，则有,跟踪训练,1已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24，bn . (1)求公差d的值； (2)若a1 ，求数列bn中最大项和最小项的值,b3b2b11；当n4时，1bnb4. 数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.,有关等比数列的基本问题,设数列an的前n项和为Sn，已知ban2n(b1)Sn. (1)证明：当b2时，ann·2n1是等比数列； (2)求an的通项公式,思路点拨：(1)只需证明 为非零常数即可或转化为an1(n1)·2n(ann·2n1)q，q为非零常数 (2)当b2时，由(1)可求出ann·2n1的通项公式，从而得到an的通项公式；当b2时，构造新数列，求其通项公式 解析：ban2n(b1)Sn， 令n1得ba12(b1)a1，a12. 又ban2n(b1)Sn， ban12n1(b1)Sn1.,得：ban1ban2n(b1)an1. 即an1ban2n. (1)当b2时，由得an12an2n， an1(n1)·2n2an2n(n1)·2n 2(ann·2n1) 即 2，又a11·21110， ann·2n1是首项为1，公比为2的等比数列 (2)当b2时，由(1)知，ann·2n12n1， an(n1)·2n1. 当b2时，由知：,跟踪训练,2已知数列an，bn是各项均为正数的等比数列，设cn (nN*) (1)数列cn是否为等比数列？证明你的结论； (2)设数列ln an，ln bn的前n项和分别为Sn，Tn.若a12， ，求数列cn的前n项和,等差、等比数列综合问题,等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比q； (2)若a1a33，求Sn,解析：(1)依题意有 a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)， 由于a10，故2q2q0，又q0，从而q .,跟踪训练,3(2010年陕西卷)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列 (1)求数列an的通项； (2)求数列 的前n项和Sn.,祝,您,学业有成,专题三 数 列,第二讲 数列求和及综合应用,考点整合,数列求和的基本方法,考纲点击,掌握基本的求和方法：等差、等比数列求和，一般数列的：错位相减法、倒序相加法、裂项求和法等,基础梳理,一、数列求和的基本方法 1公式法 (1)等差数列前n项和公式： Sn_. (2)等比数列前n项和公式：,2转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并,3错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于数列an·bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列 4倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和 5裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和,答案：,整合训练,1(1)(2009年北京卷)若数列an满足：a11，an12an(nN*)，则a5_；前8项的和S8_.(用数字作答) (2)(2010年辽宁卷)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41, S37，则S5( ),答案：(1)16 255 (2)B,考纲点击,数列的应用问题,能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题,基础梳理,二、数列的应用题 1应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决 2数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解 3解应用问题的基本程序,整合训练,2(1)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( ) A511个 B512个 C1023个 D1024个 (2)(2010年江苏卷)函数yx2(x0)的图象在点(ak， )处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.,答案：(1)B (2)21,高分突破,等差、等比数列的判定以及可转化为 等差或等比数列的求和问题,已知点列P1(x1,1)，P2(x2,2)，P3(x3,3)，Pn(xn，n)，PnPn1与向量a 共线，nN*，O是坐标原点，x11. (1)求x2，x3； (2)求数列xn的通项公式； (3)求 的坐标,跟踪训练,1已知等差数列an中，a3a716，a4a60，求an前n项和Sn.,错位相减法求和,等比数列an的前n项和为Sn, 已知对任意的nN* ，点(n，Sn)，均在函数ybxr(b0)且b1，b，r均为常数)的图象上 (1)求r的值； (2)当b2时，记bn (nN*)求数列bn的前n项和Tn.,解析：(1)因为对任意的点nN* ，(n，Sn)，均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上 所以得Snbnr，当n1时，a1S1br， 当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b， 所以an(b1)bn1.,(2)当b2时，an(b1)bn12n1，,跟踪训练,2设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设cn ，求数列cn的前n项和Tn.,解析：(1)当n1时，a1S12； 当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2， 又当n1时，a12满足a14×12. an4n2(nN*) 设bn的公比为q，由b2(a2a1)b1，得4b2b1， q .,Tnc1c2cn13×45×42(2n1)4n1 4Tn1×43×425×43(2n3)4n1(2n1)4n 得 3Tn12(442434n1)(2n1)4n (6n5)4n5， Tn (6n5)4n5,裂项相消法求和,(2009年广东卷文)已知点 是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1 (1)求数列an和bn的通项公式； (2)若数列 前n项和为Tn，问Tn 的最小正整数n是多少？,跟踪训练,3(2010年山东卷)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,递推关系给出的数列问题,在数列an中，已知a13，an15an4 (1)求证数列an1为等比数列； (2)求数列an的通项,解析：(1)法一(待定系数法)：设an15(an)， 则an15an4， 1即aa115(an1) an1是以a114为首项，5为公比的等比数列 (2)an1(a11)·5n14·5n1. an4·5n11. 法二(除幂法)：两边同时除以5n1得：,an5n·bn3·5n15n114·5n11.,祝,您,学业有成,