1、双曲线定义及性质的应用一、双曲线的定义双曲钱第一定义第一定义：平面内与两个定点T八的距离之差的绝对值等于非军常数(小于旧人|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，的焦点的距离叫做双曲线的供距.例1.已知产是双曲线C:1一=1的右焦点,P是C的左支上-点A(02).求A4PF周长的最小值及此时P的建标.【解析】双曲线左焦点(-2.0).则有IPH-I尸用=2.则/1.1.+IM+W=IHM+I叫+勿AF+AFt+2a=AF+2z=(2.当旦仅当4P,Fi共线时取等号，-即A针尸周长昌小为65万.此时H线AK方程为y=+2,与双曲线联立得到枢-翡).总结：1.在期到双曲战中线段和的双
2、依问题时，常利FH双曲戏的第定义及三角形三边关系.2.注意双曲线上点的位置,在哪一支上.影响所求最值.练习I.已知”是双曲戌!一工=1的左焦点,A(,4),P是双曲线右支上的动点,则IPH+%的以小侑为.9【解析】双曲畿右焦点鸟(-4.0),IPF1.+E4=2+P闻+E4N2+伤|=9,当且仅当4凡巴共战时取等号.练习2.P为双曲线/一二=|右支上一点，”,N分别是B1.(X+4)?+丁=4,和(x-4)y1=卜上的点,则IPM-IPM的最大值为【答案】5揭示：例2.已知双曲线C:三一）J=1，是C右支上的任意点.4（I）设点4的坐标为（3.0）,求|叼的城小信，及此时P点坐标.（2）设右解
3、点为F2,求|/岑|的公小值，及此时P点坐标.【解析】（I）设尸的坐标为（My）,则X22,P4=（x-3）2+y2=（-3）2+-1=杵-6x+8=J*守+,又因为a2,则当X=,时俨4|最小值为竽，此时代弓.土吓）.2设尸的坐标为54）,VAx2,右焦点月（、反0），IPAMxw+y2=J（x一厨+%=RX.述）2,又因为22.则当x=2时IPA1.域小值为#-2（即。一”）.此时/（2,0）.双曲线第二定义第二定义：动点M到定点F的拒禽和它到定直线/的即国之比等于常数D,则动点M的轨迹叫做双曲线.四=e（d为点尸到右准城的距离），左、Zi鞋城分别为X=，无焦点时应左准战，右焦点时应dc例
4、1.已知点/为F-2_=I上一点，右焦点.45,3）,3（1）求I/%I+；I尸玛I的以小伯，及此时P点坐标.2）求小-3隼I的地大限及此时P点坐标.【解析】（1）易知e=2,设点产到与右供点用相应的右准线X=孑的距离为“，则且工J=e=2.则IPAI+：IPE1.=IPAI+d则当百线垂直于准线时合题意.且点尸在双曲线的右支上,此d2时点P纵坐标为3,代入双曲触方程，求得点P的坐标为(2.3).(2)PAPF2PA-d,即在双曲戏上求点尸，使得点P到定点A的距离与4I1./到右准跳X=2的距离之差最大，则点，在双曲跳的左支上，巨线垂直于准线时符合r4/题意.且此时点P的纵坐标为3.代入双曲线
5、方程，求得点P坐标为(-2,3).练习I.已知点A(3,2),F(2,O)在双曲线/一弓=|上求一点p,使IPA1.+gP“的值最小.【答案】(粤,2)例2.己知P是双曲雄三-二=1右支上的动点，戊f是双曲tU的右焦点，定点A(&4),的最小值.616IpfI24【解析】如图,设。为P在右准线X=不上的投影，A为A在右准税X=W上的投影，扁4,-+5E4=5PZJ+5,4=5(|P/|+|PA|)5=5(8-)=24.,5-I此时P与A，A共线，在如图4位林/，练习2.已知P是双曲线三一=|右支上的动点，点P是双曲线的右焦1620点,定点A(7.6),求2MF+3EA的以小值.【答案】19.双
6、曲线第三定义第三定义：在双曲戏1-4=1(。0,0)中，48两点关于原点对称，/,是双曲践上异于AB两点abi的任苣.,.Kk1.存在，则b/=e-1.(反之亦成立)(焦点在Y轴上时,椭曲满足推导过程：设P(MF)(-,y1).则比-斗一).所以一2=1.%一=1：由一得-b-a-b2r.2b2,所以将4-勺常=目4为定面22例I.己如双曲线I-二=1.()O)的实轴长为4,若点P是双曲线上一点，过原点的直线/马双曲a2h2线相交与MV两点.记直线只盯,尸的斜率分别为内.若人.刈=；.则双曲线的方程为.-V2=I【解析】由第三定义知q=,，且24=4,则双曲线方程为工一一=1.4a-44二、双
7、曲线的性质(I)双曲线的通经长为主：a(2)设P双曲线右支上一点.6,以分别是左右焦点，则P2c+,|/”|之-当且仅当P为右支顶点时取等号：(3)双曲线的然点到准线的矩离为6：J1.：(4)双曲线上的任意点到双曲税的两条渐近线的距溜的乘积为定伯巴？-：C(5)设/，为双曲线上任一点，三角形A/个；入的内切ff1.x轴的切点为(&0)或(一0)(内切圆圆心在直城工=或工=-”上)：推导过程：0出0)双曲线的右焦点为(。.0),准线为勿r.V=O.焦点到渐近线-b的距离d=亲善/向(4)设双曲线上的点PC%,%),则有工-冬=1,Wb2x;-a2ys=a2b2,渐近线分别为限一厅=O，abbx+
8、ay=0,则点P（X）,Iy1.）到渐近线的距离&=Mk吗y1.r+4-I（H-佻）（M+醐2-Oo2a2b24%1一二-J(5)证明：设/；4的内切期与三条边分别相切与点。.凡S.P是双曲税右支上的点，由双曲线的定义知IP用-PW=2,RQ+Q用)-4冏+S)=2a,因为QRS为切点,则IPq=IPIs,Q用=W即ISE1.=IR段，则式即为IKN-IRg=2f1.,设切点?(XK,0)，则有c+Kh-(c-XE)=2,则XR=,所以APFEi的内切圆与X轴的切点为SO).当，是双曲观左支上的点时，同理可证切点为(r0)离心率问题1 .她本方法：从定义出发，找到a),c的等式或不等式;2 .
9、几何法：根据题目中给出的或脸含的条件找出等盘关系即可，比，如等腰、钝角、脱角.中垂线，垂直、内外切等.(双曲疑本身所具有的不等关系)例I：双曲线=1.(a0,h0)的左右娓点分别是FvF2,若P是其上的一点,且IP用=2|桃|.则双曲线的离心率的取值范阚是.fe(1.3)【解析】IPKHP周=2m归耳|=2仍用，则IP用=WjP用=2m则P在双曲线的右支上,则有可知仍间Nc-.即加c-,则e3,则ew(1.,3).(或由IP用c+解得ew(1.3).例2.如图，是椭圆q,=1.和双曲段G的公共焦点，若四边形AfBEi为矩形,则双曲线的离心率为.e=手【解析】关于共焦点的问遨.C相等,在购网里面
10、IA用+A同=4.在RtF2中满足2+AE2=2,解得IA用=2-1.A&=2+正，则在双曲线中“=/=J1.则e=返(直线和双曲线的位关系)例3.已知双曲线:-二=I的右焦戊为F,若过点FH怵斜角为60的直线a1.b与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范阚为.2,xo)【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为I个或2个.取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条百.线的斜率为A小于等于右渐近战,y=2x的斜率，则与右渐近战只有一个交点，如上图所示可得a-3,解不等式可求出e2a练习1.设双曲戏0)；=1与直线，：x+y=1.相交于不同的点A8,求双曲妓的国心率的取值越
11、围.潭,0)5先,+8)【解析】联立化司得(I-A2)X2+2(x-2a1=O,所以-a20,002.aIfieJ2-伊卜4.已知1.A分别是双曲线E-W=1的左右焦点.过F1且垂直于X轴的直线ab与双曲线交于A.8两点，若6是锐向三角形，求双曲城的离心率的取俏范围。e(1.1.+2)【解析】由于M。鸟为等腰:角形，故只需乙4鸟为锐角,则j5A6M45,由大边对大练习2.过双曲戏二一(ffjft)F1F2,MiJW2c.解得ee(1.,1.+0)a=I的分侬点且垂H于X轴的曲戏与双曲线交于A8两点，D为虚轴上的个端点，1.1.AA/)为饨角角形,则此双曲线熟心率的取假范困是.(1.2)(2+2
12、oc)【解析】AB为双曲线的通径,可设A(C.艺),8(C.-艺),若48)中/MB为直21.i角时.此时点。坐标为(0.1.),要保讦AABD为饨用三角形则。点上移保证即可,解得?应a若八48中，NAR8为百.用时，此时设A(O,x),MD,=(-2|尸制|”|COSe=IPGf+-4J;并不是焦点三角形.题目中出现11PF1PF21R存在RTA,所以很容易想到面积相等即IPEIIPEI=PD巴鸟，但是/。长度未如，在IIftI三角形中依据相似存在如下等式P。，=2j1.+c,因此代入IPKHP6I=P。由6整理得e=C中点弦设A8是双曲线C:二一=1(。80)的任意一弦,P足AB中点.则1.-ko,=e2-.(Ir(C士E=I/b2X?,.-*-!=a1b2证明：令Aa2)”(七,为)，/(/，为)则生卫=为，:)=)M(A-,+x,).(.y,-x;)(y1.+ya).(y1.-yj,1.(.v,-y)_-由于,0)上一点，则过该点的切战方程为：-=1.cbab切点弦方程：设P(X,)J是双曲税外的一点，过点P作曲税的两条切线.切点M、N.则切点弦MN所在直线方程为警.爷=I
