单级倒立摆控制器设计与实现(本科毕业设计论文).doc

毕业设计（论文）题 目 单级倒立摆控制器 设计与实现 西安理工大学本科生毕业设计（论文）1单级倒立摆控制器设计与实现 摘 要自然界中的许多系统都是非线性的，单级倒立摆系统（Single Level Inverted Pendulum System）就是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。它的这些特性使得许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性等等，都可以通过单级倒立摆系统实验直观的表现出来。而作为实验装置，倒立摆又具有成本低廉、结构简单、便于模拟、形象直观的特点。因此，目前许多控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，用于验证控制方法的正确性。本设计首先建立倒立摆系统的数学模型，在熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法的基础上确定研究方案和实施的控制方法。通过MATLAB软件对倒立摆进行仿真实验，实现了倒立摆的平衡控制。并在此仿真实验的基础上使用硬件设备进行实际控制。 关键词： 单级倒立摆；控制方法；MATLAB；仿真；硬件AbstractMany of the natural world System are nonlinear, and Single level Inverted Pendulum System is a typical variable, stable and strong coupling nonlinear System. These properties make many abstract concepts of control theory such as stability, controllability and so on, can all intuitive expression comes out through the single inverted pendulum system experiment. And, as an experimental device, it has some characteristic such as low cost, simple in structure, convenient in simulation, image intuitively. Therefore, now many the researchers of control theory are always take it as the typical research object, using to prove the correctness of the control method.In this paper, first of all to building the inverted pendulum mathematics model, on the basic of the familiar with the basic theory of linear system and the basic methods of nonlinear system linearization, determining the system program of the research and the implementation of the system control method, as the all state feedback control of single stage of the inverted pendulum. Through the programming software MATLAB simulation experiment, realize the balance control of the inverted pendulum. The experimental results verify the validity and feasibility of the control method in this paper.Key words: Single Inverted Pendulum System；control method；MATLAB；simulation；hardware目 录第一章 绪论11.1 引言11.2 倒立摆系统的研究背景及意义21.3 倒立摆系统国内外研究现状41.4 倒立摆控制方法的发展趋势51.5 论文主要内容61.6 本章小结6第二章 单级倒立摆的系统建模82.1 数学模型建立的基本方法82.1.1 数学模型的基本概念82.1.2 数学建模的基本概念82.1.3 建立数学模型的基本方法92.2直线一级倒立摆系统的模型建立102.2.1 直线一级倒立摆系统运动分析102.2.2 直线一级倒立摆系统数学模型112.3 旋转一级倒立摆的系统建模132.3.1 旋转倒立摆运动分析132.3.2 旋转倒立摆系统数学模型142.4 系统的稳定性分析182.5 本章小结19第三章 单级倒立摆的控制方法203.1 系统概述203.2 控制方法概述203.2.1 线性系统理论控制方法203.2.2 智能控制理论213.3 PID控制器223.3.1 PID控制原理223.3.2 PID参数的确定方法233.4 状态反馈控制253.4.1 状态反馈控制原理253.4.2 单级倒立摆系统可控性分析273.4.3 全状态反馈调节器的实现283.5 LQR控制283.5.1 LQR原理283.5.2 LQR的实现303.6 本章小结30第四章 单级倒立摆的仿真及实物控制314.1 实验仪器介绍314.1.1 设备实物图314.2 直线一级倒立摆的PID控制334.2.1 PID程序仿真结果图及实际控制图334.2.2 PID控制操作结果334.2.3 PID控制结果分析344.3 直线一级倒立摆的状态空间反馈控制344.3.1 状态反馈程序仿真结果图及实时控制图344.3.2 状态反馈控制结果364.3.3 状态反馈结果分析374.4 直线一级倒立摆的LQR控制384.4.1 LQR程序仿真结果及实时控制图384.4.2 LQR控制操作结果394.4.3 LQR控制结果分析404.5 旋转一级倒立摆的LQR控制404.5.1 旋转一级倒立摆的实时控制图414.5.2 旋转一级倒立摆的控制结果414.5.3 结果分析424.6 本章小结42第五章 总结43致 谢44参考文献453第一章 绪论1.1 引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低，结构简单的特点，以及物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性的不稳定系统。在控制过程中，它能有效地反映比如可真定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题。是检验各种控制理论的思想模型，迄今人们已经利用经典控制理论，现在控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的稳定控制。 控制方法是在倒立摆系统中研究的核心内容。因为对倒立摆这样一个典型的非线性、不稳定、复杂的被控对象进行研究, 无论在理论上还是在方法上都具有重要的意义, 各种控制理论和方法都可以在这里得到充分的验证, 并且可以促成不同方法之间的有机结合。到目前为止，倒立摆系统的控制方法主要分为线性控制、预测控制和智能控制三大类。本课题在深入理解倒立摆基本原理的基础上，确立单级倒立摆控制为本文的研究课题。单级倒立摆系统（Single Inverted Pendulum System）是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。它的这些特性使得许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性等等，都可以通过单级倒立摆系统实验直观的表现出来。而作为实验装置，它本身又具有成本低廉、结构简单、便于模拟、形象直观的特点。因此，许多现在控制理论的研究人员一直将它是为典型的研究对象。而在欧美发达国家的许多高等院校，也将它视为必备的控制理论教学实验设备。所以，研究倒立摆系统对以后的教育研究领域和控制研究领域具有非常深远的1影响。1.2 倒立摆系统的研究背景及意义倒立摆系统是支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置，主要是由导轨、滑块和各级摆杆组成。目前，倒立摆的形式多种多样，按其形式可分为：悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、环形倒立摆、直线倒立摆、平面倒立摆和复合式倒立摆；按级数可分为：一级、二级、三级、四级、多级等；按其运动轨道可分为：水平式、倾斜式；按控制电机又可分为：单电机和多级电机。1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，滑块可以沿导轨水平运动，在滑块上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的滑块，并且在主动滑块和从动滑块之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。3) 平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是 XY 运动平台，另一类是两自由度 SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。4) 复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其呗控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。早在二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一阶倒立摆实验设备，此后其控制方法和思路在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直角度控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制以及日常生活中所见的任何重心在上、支点在下的控制问题等，均涉及到“倒立摆问题”。而近年来，新的控制方法不断出现。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。因此，许多现代控制理论的研究人员一直将它是为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。因此，学习倒立摆将为我们在研究其他控制理论和方法奠定最坚实的基础。在稳定性控制问题上，倒立摆即具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉、便于模拟和梳子实现多种不同的控制方法。作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现。而且当一种新型的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。1.3 倒立摆系统国内外研究现状早在二十世纪50年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。在那时，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计处一级倒立摆实验设备。到20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出。自此，对于倒立摆系统的研究便成为控制界关注的焦点。倒立摆的种类有很多，按其形式可分为：悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、环形倒立摆、直线倒立摆、平面倒立摆和复合式倒立摆；按级数可分为: 一级、二级、三级、四级、多级等；按其运动轨道可分为：水平式、倾斜式；按控制电机又可分为：单电机和多级电机。目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲：如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学、清华大学、北京理工大学、哈尔滨工业大学、浙江大学、澳门大学、台湾国立大学；东京工业大学、东京电机大学、东京大学、冈山大学、庆应大学、筑波大学、神奈川技术学院、大阪府立大学；韩国的釜山大学、忠南大学；俄罗斯新西伯利亚国立大学等。此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也都对这个领域有持续的研究。各个领域的专家学者以倒立摆系统为实验平台，检验自己所提出理论的正确性及其在实际应用中的可行性，进而将这些控制理论和方法应用到更为广泛的领域中去。例如，将以及倒立摆的研究衍化为对航空航天领域中火箭发射助推器的研究；将二级倒立摆与双足机器人的行走控制联系起来。目前，对倒立摆的研究已经演绎到四级乃至更高级。中国作为这里研究的中心之一，研究水平相对较高。北京师范大学采用变论域自适应模糊控制的方法在国际上首次实现了四级倒立摆的稳定控制。北京航空航天大学采用拟人智能控制方法实现了三级倒立摆的稳定控制。此外，也有基于云模型理论成功控制三级倒立摆的报道出现。在2010年的6月18日，我国大连理工大学的李洪兴教授领导的科研团队在世界上首次实现空间四级倒立摆实物系统控制，这是一项原创性的具有世界领先水平的标志性科研成果。而最近几年，日本国内的研究机构对倒立摆系统的相关研究也比较多。其中，东京工业大学、东京电机大学合作，利用谋划控制器，实现对倒立摆系统的起摆和控制；日本庆应大学将对倒立摆起摆和稳定控制的研究成果应用到双足机器人的控制上；神奈川技术学院将摆的研究成果应用与轮椅性能的改善。而韩国忠南大学和台湾国立大学都曾经用神经网络实现对倒立摆系统的稳定控制。美国、波兰、加拿大、意大利也有研究机构对这类问题进行研究，只是不像亚洲地区如此集中。1.4 倒立摆控制方法的发展趋势从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较免疫的效果。但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般地工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。对着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。在这一阶段，利用模糊理论用于控制单级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制的规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的实际异常复杂，执行时间大大增长的问题，对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制单级倒立摆，很好地解决了这个问题。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍里有变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制。因此，在理论与实践不断发展进步的今天，对倒立摆的控制方法主要分为以PID控制、状态反馈控制、LQR最优控制为典型代表的非线性系统理论控制和以神经网络控制、模糊控制、遗传算法控制为代表的智能控制两大类。1.5 论文主要内容本论文第一章是绪论，概述了单级倒立摆的背景意义、研究现状及发展趋势。第二章是单级倒立摆的系统建模，综述了数学建模的基本概念、基本方法等，并对系统进行运动分析和模型建立。 第三章是系统的控制方法设计。首先确定了课题采用的设计方案，详细分析了实现系统稳定的控制方法原理、控制器的设计等。第四章是系统的实时仿真以及实际操控。通过MATLAB软件对其系统建立系统模型图，然后进行编程，输出系统各个环节的控制实验结果。在此基础上再进行实际设备的操作控制，并进行仿真与实际试验的结果分析。第五章是全文的总结。1.6 本章小结 本章主要概述了单级倒立摆的背景意义、研究现状及发展趋势。并且讲论文整体内容做了简要介绍。第二章 单级倒立摆的系统建模2.1 数学模型建立的基本方法2.1.1 数学模型的基本概念数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。数学模型的另一个特征是经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。但是，数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓“模型就是模型”（而不是原型），即是指该性质。2.1.2 数学建模的基本概念数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象，简化，假设，引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型。从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果。所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。2.1.3 建立数学模型的基本方法建模的一般方法：1 机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。1) 比例分析法建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2) 代数方法求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3) 逻辑方法是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4) 常微分方程解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式。 偏微分方程解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。2 仿真和其他方法1) 计算机仿真（模拟）实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。1 离散系统仿真有一组状态变量。2 连续系统仿真有解析表达式或系统结构图。2) 因子试验法在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。3) 人工现实法基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。对于单级倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。2.2直线一级倒立摆系统的模型建立2.2.1 直线一级倒立摆系统运动分析倒立摆系统的控制问题一直是控制研究中的一个典型问题。控制的目标是通过给滑块底座施加一个力u（控制量），使滑块停留在预定位置，并使杆不倒下，即不超过一预先定义好的垂直偏离角度范围。单级倒立摆的示意图如图2.1所示。 图2.1 直线一级倒立摆系统其中：M是滑块质量，1.09KG，m是摆杆质量，0.109KG。L是杆转动轴心到杆质心的长度0.25m。x是滑块位置2.2.2 直线一级倒立摆系统数学模型 分析滑块水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （2.1）设摆杆受到与垂直方向夹角为的干扰力Fg，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力Fs、垂直干扰力Fh产生的力矩。 （2.2）对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2.3）即 （2.4）对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可得到下面方程： （2.5）力矩平衡方程如下： （2.6）带入P和N，得到方程：（2.7）设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），带入上式。假设，则可以进行近似处理：由于： 方程化为： （2.8）令：，则化为： （2.9）带入之前给出的实际数据，微分方程如下： （2.10）忽略，系统的微分方程如下： （2.11） 忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的 4 个状态量分别是滑块的位移x、滑块的速度、摆杆的角度、摆杆的角速度。系统输出的观测量为滑块的位移x、摆杆的角度。其控制量为滑块的加速度，是直线一级倒立摆运动中各种干扰因素的综合项，可以等效为干扰力考虑。2.3 旋转一级倒立摆的系统建模2.3.1 旋转倒立摆运动分析 在建立倒立摆系统的模型时，传统的方法一般采用牛顿运动定律求解。但是当质点组存在约束情况时，还需要确定各质点间的相互作用力、位移、速度、加速度关系，联立求解这些方程则更困难。因此在旋转倒立摆系统建模中，是采用分析力学中的拉格朗日方程推导旋转倒立摆的系统模型。 旋转倒立摆的模型结构如图2.2所示，在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为两个匀质杆，其中旋臂长度为r，相对其水平方向零位的角位移为；摆杆质心与铰链距离为L，相对其竖直方向零位的角位移为。为旋臂角速度，为摆杆角速度。图2.2 旋转倒立摆系统模型摆杆质心的速度由水平和竖直两个分量构成： （2-12）其中，表示摆杆质心的水平速度分量，表示摆杆质心的竖直速度分量。旋臂和摆杆一起运动，其沿水平方向x的线速度为： （2-13）摆杆质心在x方向和y方向的速度分量为： （2-14）方程组（2-14）给出了完整的摆杆速度描述，应用拉格朗日方程可推导出系统的动态方程。2.3.2 旋转倒立摆系统数学模型 以悬臂所在水平面为零势能面，则系统的势能V即为摆杆的重力势能，因此系统势能V可以表示为：。 系统的动能T由四部分因素构成，包括：旋臂在水平面内的转动，摆杆在竖直平面内的转动，摆杆质心沿x轴方向的速度，沿y方向的速度，对应的动能分量用T1，T2，T3，T4表示。 因此系统动能T为四者之和，T=T1+T2+T3+T4，其中,。设R为摆杆长度，由于L为R的一半，R=2L。因此，摆杆对其质心的转动惯量为。带入动能等式中，可推导出拉格朗日函数H=T-V： （2-15） 应用拉格朗日方程，其中H为拉格朗日算子，q为系统广义坐标，T为系统动能，V为系统势能。拉格朗日方程由广义坐标qi和H表示为：。I=1,2，q=，为旋臂角位移，为摆杆角位移，Qi为系统沿广义坐标方向上的外力，于是的方程组： （2-16） 其中为输出转矩。因已知式（2-15），所以可计算出（2-16）中的各分量。 另外易知，。之后将四个分量带入方程组（2-16），可得到旋转倒立摆系统的非线性方程：（2-17）将输出转矩带入，其中令，可以列出一个关于的方程组（2-18）然后将带入，进一步化简，然后将带入（2-18），最后再化简，并且为方便起见，令，并将x1,x2,y1,y2,替换为，则，最终得到旋转倒立摆系统的非线性状态方程：+y=1 0 1 0 T (2-19) 考虑旋转倒立摆的初始位置再平衡点附近的情况，假设此时和同1rad相比，远远小于1rad，则，将他们带入（2-19），于是该方程组可局部线性化为：+y=1 0 1 0 T （2-20） 则（2-20）即为最终得到的旋转倒立摆系统的线性化状态方程。2.4 系统的稳定性分析任何一个系统最为重要的特性莫过于它的稳定性。因为一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的。因此如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。系统的稳定性，表示为系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种特性。 在经典控制理论中，对于单输入单输出的线性定常系统，应用劳斯（Routh）判据和胡维茨（Hurwitz）判据等代数方法判定系统的稳定性，非常方便有效。至于频域中的奈奎斯特（H.Nyquist）判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向。2.5 本章小结本章主要综述了数学建模的基本概念、基本方法等，并对直线与旋转一级倒立摆进行了系统建模，进行了运动分析和数学模型建立。 第三章 单级倒立摆的控制方法3.1 系统概述根据单级倒立摆系统的系统建模，建立了单级倒立摆系统的系统模型框图。具体的系统框图如图3.1所示。3.1 单级倒立摆系统框图 该系统主要分为控制器和倒立摆两大部分。该系统通过输入一个信号作为系统的初始状态，再通过选定的控制器经由状态反馈来控制倒立摆，使摆杆与竖直方向呈0°，系统达到稳定状态并保持。因此，如何设计一个有效的控制器使系统保持稳定状态是本论文研究的重中之重。3.2 控制方法概述3.2.1 线性系统理论控制方法单级倒立摆系统是一种非线性的不稳定系统，将它的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，再利用各种线性控制方法得到期望的控制器。在线性控制方法中，PID控制、状态反馈控制、LQR控制算法等都是较为典型的控制方法。a). PID控制将偏差的比例P( Proportional)、积分I( Integral)、微分D( Differential)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，称为PID 控制。这是在工业控制系统中应用最为广泛的一种控制规律， 实际运行经验和理论分析证明该控制规律对于众多被控对象，通过合理地调节PID控制器的参数，都能取得满意的效果。对于单级倒立摆控制的早期一般按常规PID理论进行控制：通过对单级倒立摆物理模型的分析，建立单级倒立摆的动力学模型，然后利用工程数学方法将模型转换成传递函数的形式。b). 状态反馈控制通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对单级倒立摆的控制。c). LQR控制倒立摆系统是非线性、强藕合、多变量和自然不稳定的系统。线性二次型最优控制（Linear Quadratic RegulatorLQR）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置。由于线性二次型（LQ）性能指标易于分析、处理和计算，而且通过线性二次型最优设计方法得到的控制系统具有较好的鲁棒性与动态特性等优点，线性二次型在控制界得到普遍重视。3.2.2 智能控制理论 智能控制（intelligent controls）是在无人干预的情况下能自主地驱动智能机器实现控制目标的自动控制技术。它是以控制理论、计算机科学、人工智能、运筹学等学科为基础，扩展了相关的理论和技术。它源自于实践经验，不需要精确的数学模型，是目前应用较为广泛的控制方法。其中应用较多的有模糊逻辑、神经网络、专家系统、遗传算法等理论和自适应控制、自组织控制、自学习控制等技术。 在本设计中基于研究对象为单级倒立摆，本身的结构较之于其它二级乃至多级倒立摆的结构更为简单。因此，本文就建立单级倒立摆的数学模型，接着对数学模型进行线性化，然后用线性理论控制方法来对单级倒立摆进行控制。线性控制方法是建立在系统的线性模型基础上，对于单级倒立摆系统，由于其线性化后误差较小且模型简单，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。本次设计将会采用PID控制，状态反馈以及LQR三种控制方法。3.3 PID控制器3.3.1 PID控制原理 如图3.2为模拟PID控制系统原理图PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值c(t)构成控制偏差e(t)。将偏差的比例 P、积分 I 和微分 D 通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称 PID 控制器。直线一级倒立摆系统的开环传递函数为： （3.1）其控制规律为： （3.2） 写成传递函数为： （3.3）式中Kp比例系数：TI积分时间常数；TD微分时间常数 在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成如下形式: （3.4）简单说来，PID 控制器各校正环节的作用如下：A、比例环节P：成比例地反映控制系统的偏差信号e(t),偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。B、积分环节I：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数Tl,其越大，积分作用越弱，反之则越强。C、微分环节D：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。3.3.2 PID参数的确定方法A：根轨迹法确定 PID 参数 PID数学模型可化为： （3.5） 相当于给系统增加了一个位于原点的开环极点和两个位置可变的开环零点，因此对于低阶已知数学模型的系统，根据期望的性能指标可以采用根轨迹法确定 PID 参数。B：频域法确定 PID 参数 对于已知频率特性曲线的系统， PID 控制器相当于给频率特性曲线增加了积分环节和一个二阶微分环节，通过调整 PID 参数，可以改变 PID 控制器的频率特性，进而改变闭环系统的频率特性。C：试凑法确定PID参数 在 PID 参数进行整定时如果能够用理论的方法确定 PID 参数当然是最理想的，但是在实际的应用中，由于各种因素影响，更主要的是通过凑试法来确定 PID 的参数。 增大比例系数 P 一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差，但是过大的比例系数会使系统有比较大的超调，并产生振荡，使稳定性变坏。 增大积分时间 I 有利于减小超调，减小振荡，使系统得稳定性增加，但是系统静差消除时间变长。 增大微分时间 D 有利于加快系统的响应速度，使系统超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。 在凑试时，可参考以上参数对系统控制过程的影响趋势，对参数调整实行先比例、后积分、再微分的整定步骤。 首先整定比例部分，将比例系数由小变大，并观察相应的系统响应，直至得到反应快、超调小的响应曲线。如果系统没有静差或静差已小到允许范围内，并且对响应曲线已经满意，则只需要比例调节器即可。如果在比例调节的基础上系统的静差不能满足设计要求，则必须加入积分环节。在整定时先将积分时间设定到一个比较大的值，然后将已经调节好的比例系数略为缩小（一般缩小为原值的8 . 0），然后减小积分时间，使得系统在保持良好动态性能的情况下，静差得到消除，在此过程中，可根据系统的响应曲线的好坏反复改变比例系数和积分时间，以期得到满意的控制过程和整定参数。3.4 状态反馈控制3.4.1 状态反馈控制原理1. 状态方程的建立 实验所使用的直线一级倒立摆系统是以加速度x 作为系统的控制输入，所以根据之前建模得出的式子建立系统的状态方程为： （3.6） 整理后得到系统状态方程： （3.7） (3.8) 将实际参数带入后有： (3.9) (3.10)2. 状态反馈原理设维线性定常系统：, 其中，x、u、y分别是n维、p维、q维向量；A、B、C分别是n*n、n*p、n*q维实数矩阵。状态反馈系统的控制量u取为状态x的线性函数：其中，v为p维参考输入向量，K为p*n维实反馈增益矩阵。加入状态反馈后系统的结构图如下：则系统状态反馈的动态方程为：, 3.4.2 单级倒立摆系统可控性分析 由之前整理得出的状态方程可知，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统。输入为滑块的加速度，输出为滑块的位移x、摆杆与垂直方向的夹角；系统有四个状态量，分别是滑块位移x，滑块速度 ，摆杆与垂直方向的夹角，摆杆与垂直方向上的角速度。由于系统是不稳定的，必须设计相应的控制系统，才可使系统稳定。能控性秩判据：对连续时间线性时不变系统：,其中x为n维状态量，u为p维输入量，A和B为n*n维和n*p维长值矩阵。对上述所示连续时间线性时不变系统，构造能控性秩判别矩阵： (3.11)则系统完全能控的充分必要条件为： (3.12)根据3.3.1节中的状态方程构造判别矩阵Qc，可求得秩为4，直线一级倒立摆系统完全能控。3.4.3 全状态反馈调节器的实现 状态反馈的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。而状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系统是可控的。一般情况下，倒立摆系统滑块速度、摆杆角速度是通过对采样所得滑块位移x、摆杆角度求差商得到的，即： 其中ts是系统的采样间隔。 设系统状态已经通过上述方法得到，系统期望极点为1,2,3,4，则系统期望特征多