向量在立体几何中教与学的探究大学毕业论文.doc

定西师范高等专科学校10 级 数学 系毕业论文开题报告专业班级: 数学教育四班 姓名: 指导教师: 一 论文题目: 向量在立体几何中教与学的探究二 选题依据:向量既是“代数”的，又是“几何”的，向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。三 相关理论研究综述:向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。四 研究方法:本文尝试在对向量的基础知识的掌握，向量运用的推广，对向量教学的探讨这三个方面作一些较深入的整理和研究以加深对向量的工具性作用的认识，推广向量法五 论文结构: 一、摘要 二、预备知识 三、例题证明 四、小结 五、参考文献六 撰写计划: 充分运用有关数学思想，寻求向量灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找与设计立体图形运用向量合理简捷的运算途径。在向量运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对向量的代数式坐标式和几何表示这三种运算形式缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现向量运算形式相互间的有效转换。运用转化方程数形结合的数学思想，实现向量运算形式相互间的有效转化。让学生利用抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。目录摘 要1关键词1一、预备知识2二、例证说明21、以具体的例子来阐述怎样运用向量解决角与距离问题22、用具体的例子来说明用向量解决角的问题43、用具体的例子来看法向量的应用54、用具体例子说明向量与平行有关的探索性问题85、用具体例子说明向量与角有关的探索性问题96、用具体例子来说明向量与距离有关的探索性问题10参考文献:12向量在立体几何中教与学的探究摘 要 向量既是“代数”的，又是“几何”的，向量从运算的角度促进了代数和几何的联系，也促进了“数”与“型”的结合，所以整体把握知识点的基本结构，理解和掌握向量的多种运算形式，有助于学生更好地记忆知识进而运用知识。充分运用有关数学思想，寻求向量灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找与设计立体图形运用向量合理简捷的运算途径。在向量运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对向量的代数式坐标式和几何表示这三种运算形式缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现向量运算形式相互间的有效转换。运用转化方程数形结合的数学思想，实现向量运算形式相互间的有效转化。让学生利用抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。但调查表明受传统数学知识的负迁移，无论是对向量的基础知识的掌握，还是向量运用的推广，甚至对向量教学的探讨都是今后一个艰难的课题本文尝试在这三个方面作一些较深入的整理和研究以加深对向量的工具性作用的认识，推广向量法关键词 向量的垂直 共线 平行 方法分析 例证说明 提高空间想象力 有效途径Abstract The vector is a "algebra", and another is "geometry", and vector from a computing point of view of algebra and geometry for the link, but also to promote the "number" and "type" combination, the overall grasp of the basic structure of knowledge points to understand and master a variety of vector operation forms, can help students to better memory of knowledge and then apply knowledge. Make full use of the mathematical ideas, seeking flexible computing vector ideas, dig the title of the implied condition that the use of search and design of three-dimensional vector graphics and reasonable computing simple way. In the vector operation, the student's thinking is often an important reason for delay is the vector of algebraic and geometric style coordinates of these three operations, said the lack of an overall grasp of the form, it should be to guide students in solving computing vector operations to achieve an effective form of inter - conversion. The use of transformation equations some lines of combination mathematical ideas to realize the form of vector operations between the effective conversions. Allow students to use the combination of abstract thinking and thinking in images, through "to help shape the number of" and "the number of solution-shaped" so that simplify complex problems, abstract the problem specific, and thus serve the purpose of optimization problem-solving approach. But the survey shows that the negative by the traditional mathematical knowledge transfer, either for mastery of basic knowledge of vector, or vector used to promote, or even the teaching of vector is a difficult task in the future. This paper attempts to in these three areas to make some more in-depth the collation and research. To enhance the role of the vector of instrumental knowledge, promote vector method. Key words Vector is vertical Share line It is parallel Method is analyses Illustration explains Raise space imagination Effective channel 一、预备知识1、用向量解决立体几何中距离和角的问题2、例谈法向量在立体几何中的应用3、与平行有关的探索性问题4、与角有关的探索性问题5、与距离有关的探索性问题二、例证说明1、以具体的例子来阐述怎样运用向量解决角与距离问题异面直线、的距离可先设、的公垂线段、，再由垂直向量性质得，从而得到、的坐标，最后算出所求.【BCDAC1D1AyxzEF例1】 正方体的边长为，求异面直线、的距离？【分析】 从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设是所求的公垂线，令=、，则=， ，的坐标为，同理，再由、，算得、，最后算出、.在此题中，求垂足的坐标的方法和例1中求垂足的方法相同，都是先根据向量共线性质设得的坐标，然后根据向量垂直性质列式，最后算出，从而得到坐标.这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.点到平面的距离先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离.【例2】 正四棱柱，是的中点，EABCDA1B1C1D1yxz求点到平面的距离.【分析】 如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面的法向量为=由，得；令，得法向量在上的投影为，点到平面的距离为.此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。2、用具体的例子来说明用向量解决角的问题求二面角的大小已知二面角l，分别是平面和平面的一个法向量，设二面角l的大小为，规定0，则这里若平面的法向量是二面角的内部指向平面内的一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图2-22-12-2ABCDl二面角的大小如右图，也可用两个向量所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线、，从图中可知：等于、所成的角.【例3】 三棱柱，且，xyzABOA1B1O1H1H求：二面角的余弦值大小.【分析】 以点为原点，分别以、所在直线为、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则、.作、，结合、在上，算得，从而算得,，即为所求.【例4】 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，求：侧面与面所成的二面角的余弦值大小。AzyxDCBS解 ： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则，然平面的一个法向量为，设平面SCD的一个法向量为，则 平面 则 3、用具体的例子来看法向量的应用【例5】 (2007年高考全国卷理科19题)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点(1)求证：EF平面SAD;(2)设SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小.解： (1) 以D为原点,分别以向量的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图2所示. 设DA=2,则、,于是、. 平面法向量 又在平面外 平面2) 设平面AEF的法向量为 , 令,得设二面角的平面角为,则 .【例6】 (2007年高考全国卷理科19题)如图,四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知°，(1) 证明：；(2) 求直线与平面所成角的大小.(3) 求异面直线、的距离.解：(1)作于点,则又 ,即点是的中点.又， ,即是的中垂线.又 侧面底面面(2) 以为原点, 分别以向量的正方向为轴、轴、轴的非负半轴,建立空间直角坐标系, 如图4所示.容易求得SE=1, 于是设平面的法向量 , 令,得又 设直线与平面所成的角为,则 (3) 平面设异面直线、的距离为 即点到平面的距离,则 .4、用具体例子说明向量与平行有关的探索性问题【例7】 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点.试确定点的位置，使得；解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则5、用具体例子说明向量与角有关的探索性问题【例8】 在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且另一个侧面是正三角形，在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.解：作面于，连、，则四边形是正方形，且，以为原点，以为轴，为轴建立空间直角坐标系如上图，则设是线段上一点，则平面的一个法向量为要使与面成30°角，由图可知与的夹角为60°，所以 .故线段上存在点，且，时与面成 角.两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角是立体几何中与角有关的主要问题，利用向量法解决此类问题可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用公式.其中、为两直线的方向向量或为两平面的法向量，就可以使此类问题巧妙获解.6、用具体例子来说明向量与距离有关的探索性问题【例 9】 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧 是的中点，试问上是否存在一点使得点到面的距离为解： 以、为、轴建立空间直角坐标系，则有 、设到AB的距离为，则则设向量为面的法向量，则有即令得于是由题意知 解得即所以，当点为的中点时，到平面的距离为三、小结：在角与距离问题的方法上，向量运用的关键在于认识角、距离与向量的关系、熟悉向量的运算、深入理解数量积公式中各个因素之间的内在联系.向量的运用使得角与距离问题转化成代数运算的形式，摆脱了传统解法复杂多样、在逻辑上难以理解的困惑，改变了过去想方设法构造角与距离、在概念、定理、空间想象方面死下功夫的做法，从而使立体几何教学显得简明易懂，提高教学效果，这是新课程改革的一个成功典例. 新教材立体几何有A、B两个版本,高考命题要兼顾两个版本的不同情况, 而B版本中引进了空间向量,对于解答立体几何问题增加了新的思路和方法,因此,加强对空间向量应和提高学生数学成绩都意义重大.  空间的线线、线面、面面垂直，都可转化为两向量的垂直来解决.若向量、分别为直线、的方向向量，、分别为平面、的法向量，则 参考文献:1席振伟张明向量法证几何题，重庆出版社，19822陈志云，张本金向量与中学几何教材高等函授学报，20003日小西荣一，刘俊山译线性代数向量分析沈阳：辽宁人民出版社，19814数学通讯武汉：华中师范大学出版社，200420075数学通报北京：北京师范大学出版社，2004200714